河南省2022届高三上学期理数1月质量检测巩固试卷

试卷更新日期：2022-09-01 类型：月考试卷

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一、单选题

1. $\frac{3 + 4 i}{1 - 2 i} - \frac{3 - 4 i}{1 + 2 i} =$ （）

A、-4 B、4 C、 $- 4 i$ D、 $4 i$

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2. 已知全集 $U = R$ ，集合 $M = {x | 3 x^{2} - 13 x - 10 < 0}$ 和 $N = {x | x = 2 k ， k \in Z}$ 的关系的韦恩（Venn）图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、无穷个

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3. 某产品生产厂家的市场部在对4家商场进行调研时，获得该产品的售价 $x$ （单位：元）和销售量 $y$ （单位：百个）之间的四组数据如下表：
售价 $x$
4
$a$
5.5
6
销售量 $y$
12
11
10
9
用最小二乘法求得销售量 $y$ 与售价 $x$ 之间的线性回归方程 $\hat{y} = - 1.4 x + 17.5$ ，那么表中实数 $a$ 的值为（）

A、4 B、4.7 C、4.6 D、4.5

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4. 已知 ${(2 \sqrt{x} + \frac{1}{x})}^{n}$ 的展开式中二项式系数之和为256，则该展开式中含x项的系数为（）

A、896 B、1024 C、1792 D、2048

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5. 有一程序框图如图所示，要求运行后输出的值为大于1000的最小数值，则在空白的判断框内可以填入的是（）

A、i＜6 B、i＜7 C、i＜8 D、i＜9

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6. 《周髀算经》中提出了“方属地，圆属天”，也就是人们常说的“天圆地方”我国古代铜钱的铸造也蕴含了这种“外圆内方”“天地合一”的哲学思想.现将铜钱抽象成如图所示的图形，其中圆的半径为 $r$ ，正方形的边长为 $a (0 < a < r)$ ，若在圆内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率是（）

A、 $1 - \frac{a^{2}}{π r^{2}}$ B、 $\frac{a^{2}}{π r^{2}}$ C、 $\frac{a}{r}$ D、 $1 - \frac{a}{r}$

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7. 已知 $f (x)$ 为定义在 $R$ 上的奇函数， $g (x) = f (x) - x$ ，且对任意的 $x_{1}, x_{2} \in [0, + \infty)$ ，当 $x_{1} < x_{2}$ 时， $g (x_{1}) < g (x_{2})$ ，则不等式 $f (2 x - 1) - f (x + 2) \geq x - 3$ 的解集为（）

A、 $(3, + \infty)$ B、 $(- \infty, 3]$ C、 $[3, + \infty)$ D、 $(- \infty, 3)$

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8. 函数 $f (x) = s i n (ω x + φ)$ 的部分图象如图所示，则 $f (x)$ 在 $[1 ， 2]$ 上的单调递减区间为（）

A、 $[1 ， \frac{11}{6}]$ B、 $[\frac{11}{6} ， 2]$ C、 $[\frac{5}{3} ， 2]$ D、 $[1 ， \frac{5}{3}]$

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9. 如图，已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，点 $E$ 为 $B B_{1}$ 上一动点，现有以下四个结论，其中不正确的结论是（）

A、平面 $A C_{1} E ⊥$ 平面 $A_{1} B D$ B、 $A E / /$ 平面 $C D D_{1} C_{1}$ C、当 $E$ 为 $B B_{1}$ 的中点时， $Δ A E C_{1}$ 的周长取得最小值 D、三棱锥 $A_{1} - A E C_{1}$ 的体积不是定值

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10. △ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 $(a + c)^{2} = b^{2} + 2 \sqrt{3} a b s i n C$ ，则B＝（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{π}{3}$

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11. 已知点 $F_{2}$ 为双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右焦点，直线 $y = k x$ 交 $C$ 于 $A ， B$ 两点，若 $∠ A F_{2} B = \frac{2 π}{3}$ ， $S_{Δ A F_{2} B} = 2 \sqrt{3}$ ，则 $C$ 的虚轴长为（）

A、1 B、2 C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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12. 设函数 $f (x)$ 在定义域 $(0, + \infty)$ 上是单调函数，且 $\forall x \in (0, + \infty), f [f (x) - e^{x} + x] = e$ ，若不等式 $f (x) + f' (x) \geq a x$ 对 $x \in (0, + \infty)$ 恒成立，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, e - 2]$ B、 $(- \infty, e - 1]$ C、 $(- \infty, 2 e - 3]$ D、 $(- \infty, 2 e - 1]$

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二、填空题

13. 已知单位向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 的夹角为 $60 °$ ，则 $(2 \vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - 3 \vec{b}) =$ ．

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14. 若实数x，y满足约束条件 ${\begin{array}{l} x + 2 y - 5 \leq 0 \\ x - y - 2 \leq 0 \\ x \geq 0 \end{array}$ ，则 $z = \frac{2 y}{x + 1}$ 的最大值为.

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15. 在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C$ 中， $A B = A C = B C = 2$ ， $A A_{1} = 4$ ，则直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的外接球的体积为．

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16. 已知点 $B (1 ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ 在椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 上，点C是异于点B椭圆上一动点，当 $△ O B C$ 面积最大时，点C的坐标为.

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三、解答题

17. 设数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}, a_{1} = 3$ ，且 $S_{n} = n a_{n + 1} - n^{2} - n$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = \frac{2 n + 1}{n^{2} {(a_{n + 1} - 1)}^{2}}$ ，求 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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18. 如图所示，在四棱锥 $S - A B C D$ 中， $S A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为直角梯形，其中 $A B / / C D ， ∠ A D C = 9 0^{∘} ， A D = A S = 2 ， A B = 1 ， C D = 3$ ，且 $\overset{⇀}{C E} = λ \overset{⇀}{C S}$ ．

(1)、若 $λ = \frac{2}{3}$ ，证明： $B E ⊥ C D$ ；

(2)、若 $λ = \frac{1}{3}$ ，求直线 $B E$ 与平面 $S B D$ 所成角的正弦值．

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19. 为了解成年人的交通安全意识情况，某中学组织学生进行了一次全市成年人安全知识抽样调查．随机地抽取了200名成年人，然后对这200人进行问卷调查，其中拥有驾驶证的占 $\frac{2}{5}$ ．这200人所得的分数都分布在 $[30 ， 100]$ 范围内，规定分数在80以上（含80）的为“具有很强安全意识”，所得分数的频率分布直方图如下．
附临界值表： $K^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．
$P (K^{2} \geq k_{0})$
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
$k_{0}$
2.027
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

(1)、补全下面的 $2 \times 2$ 列联表，并判断能否有95%的把握认为“具有很强安全意识”与“拥有驾驶证”有关？

拥有驾驶证
没有驾驶证
总计
具有很强安全意识
22
不具有很强安全意识
总计
200

(2)、将上述调查所得的频率视为概率，现从全市成年人中随机抽取3人，记“具有很强安全意识”的人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列及数学期望．

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20. 在直角坐标系xOy中，动圆P与圆Q：（x﹣2）²+y²＝1外切，且圆P与直线x＝﹣1相切，记动圆圆心P的轨迹为曲线C.

(1)、求曲线C的轨迹方程；

(2)、设过定点S（﹣2，0）的动直线l与曲线C交于A，B两点，试问：在曲线C上是否存在点M（与A，B两点相异），当直线MA，MB的斜率存在时，直线MA，MB的斜率之和为定值？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

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21. 已知函数 $f (x) = e^{x} + a x^{2} ， g (x) = x + b l n x$ ，若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线与曲线 $y = g (x)$ 在点 $(1 ， g (1))$ 处的切线相交于点 $(0 ， 1)$ ．

(1)、求 $a ， b$ 的值；

(2)、求函数 $g (x)$ 的最小值；

(3)、证明：当 $x > 0$ 时， $f (x) + x g (x) \geq (e - 1) x + 1$ ．

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 2 t + 1 \\ y = | 2 t - 1 | \end{matrix}$ （ $t$ 为参数）.以坐标原点为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $M$ 的极坐标方程为 $ρ^{2} = 4 ρ cos θ + 2 m ρ sin θ - m^{2}$ .

(1)、求 $C$ 和 $M$ 的直角坐标方程；

(2)、若 $C$ 与 $M$ 恰有4个公共点，求 $m$ 的取值范围.

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23. 设函数 $f (x) = | 3 x - a^{2} | + | 3 x - 3 | + a$ .

(1)、当 $a = - 2$ 时，求不等式 $f (x) < 0$ 的解集；

(2)、若 $f (x) > 17$ ，求 $a$ 的取值范围.

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$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$k_{0}$	2.027	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

	拥有驾驶证	没有驾驶证	总计
具有很强安全意识	22
不具有很强安全意识
总计			200

售价 $x$	4	$a$	5.5	6
销售量 $y$	12	11	10	9