贵州省名校联盟2022届高三上学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2022-09-01 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 7 x + 6 < 0}$ ， $B = {x | x > 3}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${x | 3 < x < 6}$ B、 ${x | x > 6}$ C、 ${x | 1 < x < 3}$ D、 ${x | x < 3}$

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2. 已知复数z满足 $z^{2} = 3 + 4 i$ ，则 $| z | =$ （）

A、5 B、4 C、 $\sqrt{5}$ D、2

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3. 在等比数列 ${a_{n}}$ 中， $4 a_{3} + a_{7} = 8$ ， $a_{5} = 2$ ，则 $a_{9} =$ （）

A、4 B、8 C、16 D、32

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4. 某工厂为了检验一条生产线生产的某种零件的质量，从该生产线生产的这种零件中随机抽取2000个，测量其长度（单位：厘米），将所得数据分成 $[2 ， 4)$ ， $[4 ， 6)$ ， $[6 ， 8)$ ， $[8 ， 10)$ ， $[10 ， 12]$ 五组，得到如图所示的频率分布直方图．已知零件长度在 $[6 ， 10)$ 内的是一等品，则该生产线生产的10000个零件中，估计一等品的数量是（）

A、3125个 B、3750个 C、4250个 D、6250个

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5. 函数 $f (x) = \frac{s i n x}{| x | + 1}$ 的部分图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 江西景德镇青花瓷始创于元代，到明清两代达到了顶峰，它蓝白相映怡然成趣，晶莹明快，美观隽永.现有某青花瓷花瓶的外形可看成是焦点在 $x$ 轴上的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，如图所示，若该花瓶的瓶身最小的直径是4，瓶口和底面的直径都是8，瓶高是6，则该双曲线的标准方程是（）

A、 $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{8} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{3} = 1$

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7. 已知 $a = 2^{- 1.01}$ ， $b = 1 . 2^{0.1}$ ， $c = l o g_{4} 3$ ，则（）

A、 $b > a > c$ B、 $c > b > a$ C、 $a > b > c$ D、 $b > c > a$

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8. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} + a_{5} + 20 = 0$ ， $a_{9} - a_{2} - 21 = 0$ ，数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = a_{n} \cdot a_{n + 1} \cdot a_{n + 2}$ ，记数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则当 $S_{n}$ 取得最小值时， $n$ 的值为（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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9. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} s i n 2 x - 2 c o s^{2} x$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 的周期为 $π$ 的奇函数 B、 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{12} ， 1)$ 对称 C、 $f (x)$ 在 $[\frac{5 π}{6} ， \frac{4 π}{3}]$ 上单调递增 D、 $f (x)$ 的值域是 $[- 1 ， 3]$

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10. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别是 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，直线 $y = k x (k \neq 0)$ 与椭圆C交于A，B两点，若 $| A B | = | F_{1} F_{2} |$ ，且四边形 $A F_{1} B F_{2}$ 的面积为 $c^{2}$ （c是椭圆C的半焦距），则椭圆C的离心率是（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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11. 数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“等腰四面体”就是其中之一，它是三组对棱分别相等的四面体．已知某等腰四面体的三组对棱长分别是4， $2 \sqrt{5}$ ， $2 \sqrt{7}$ ，则该等腰四面体的体积是（）

A、 $4 \sqrt{3}$ B、 $\frac{16 \sqrt{3}}{3}$ C、 $8 \sqrt{3}$ D、 $\frac{32 \sqrt{3}}{3}$

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12. 已知函数 $f (x) = e^{a x} - 2 l n x - x^{2} + a x$ ，若 $f (x) > 0$ 恒成立，则实数a的取值范围为（）

A、 $(\frac{1}{e} ， + \infty)$ B、 $(1 ， + \infty)$ C、 $(\frac{2}{e} ， + \infty)$ D、 $(e ， + \infty)$

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二、填空题

13. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 不共线，且 $(k \vec{a} - 4 \vec{b}) / / (\vec{a} - k \vec{b})$ ，则 $k =$ .

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14. ${(2 \sqrt{x} - \frac{1}{x})}^{7}$ 的展开式中 $x^{2}$ 的系数是．（用数字作答）

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15. 很多购物网站都有手机验证码功能，这样可以保证购物的安全性．一般手机验证码由0，1，2，…，9中的4个数字（数字可以相同）随机组成．已知某人收到一个四位数的手机验证码，则该验证码由3个不同数字组成的概率是．

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16. 在三棱锥 $P - A B C$ 中，底面是以 $A B$ 为斜边的等腰直角三角形， $A B = 4$ ， $P A = P B = P C = \sqrt{13}$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 外接球的表面积为．

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三、解答题

17. 在△ $A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知 $2 c - a = 2 b c o s A$ .

(1)、求角B的值；

(2)、若 $a = 8$ ，点D是边BC的中点，且 $A D = \sqrt{21}$ ，求b.

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18. 某6人小组利用假期参加志愿者活动，已知参加志愿者活动次数为2，3，4的人数分别为1，3，2，现从这6人中随机选出2人作为该组的代表参加表彰会．

(1)、求选出的2人参加志愿者活动次数相同的概率；

(2)、记选出的2人参加志愿者活动次数之和为X，求X的分布列和期望．

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19. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面ABCD，底面ABCD是直角梯形， $B C ∥ A D$ ， $A D ⊥ A B$ ， E，F分别是棱AB，PC的中点．

(1)、证明： $E F / /$ 平面PAD．

(2)、若 $P A = A B = B C$ ， $A D = 2 B C$ ，求平面AEF与平面CDF所成锐二面角的余弦值．

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20. 已知抛物线 $C ： x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，点 $P (t ， 2)$ 在抛物线 $C$ 上， $O$ 为坐标原点， $△ O P F$ 是直角三角形．

(1)、求抛物线 $C$ 的方程．

(2)、若点 $P$ 在第一象限，直线 $l$ 与抛物线 $C$ 交于异于点 $P$ 的 $A ， B$ 两点，以线段 $A B$ 为直径的圆经过点 $P$ ．直线 $l$ 是否过定点？若是，求出所过定点的坐标；若不是，请说明理由．

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21. 已知函数 $f (x) = a x^{2} + c o s x$ .

(1)、当 $a = \frac{1}{2}$ 时，讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $x \geq 0$ 时， $f (x) \geq 1$ ，求a的取值范围.

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = - 3 - \frac{\sqrt{3}}{2} t ， \\ y = \frac{1}{2} t \end{array}$ ( $t$ 为参数)，以坐标原点 $O$ 为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $ρ^{2} c o s^{2} θ - 4 ρ^{2} s i n^{2} θ - 4 = 0$ ．

(1)、求直线 $l$ 的普通方程和曲线 $C$ 的直角坐标方程；

(2)、若直线 $l$ 与曲线 $C$ 交于 $P$ ， $Q$ 两点，点 $M (- 3 ， 0)$ ，求 $\frac{1}{| M P |} + \frac{1}{| M Q |}$ 的值．

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23. 已知函数 $f (x) = | 2 x + 3 | + | x - 1 |$ ．

(1)、求不等式 $f (x) > 6$ 的解集；

(2)、求直线 $y = 6$ 与函数 $f (x)$ 的图象围成的封闭图形的面积．

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