贵州省贵阳市普通中学2022届高三上学期理数期末监测考试试卷

试卷更新日期：2022-09-01 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 4 x \leq 0}$ ， $B = {x | x = 2 n - 1 ， n \in N}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、{3} B、 ${1 ， 3}$ C、 ${1 ， 3 ， 4}$ D、 ${1 ， 2 ， 3 ， 4}$

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2. 设复数 $z = \frac{- 3 + i}{1 - i}$ ，则在复平面内 $z$ 的共轭复数对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 已知双曲线的方程为 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{12} = 1$ ，双曲线的右顶点A到渐近线的距离为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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4. 已知函数 $f (x)$ 为R上的奇函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = e^{x} + 1$ ，则 $f (l n \frac{1}{2}) =$ （）

A、-3 B、-1 C、1 D、3

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5. “直播电商”已经成为当前经济发展的新增长点，某电商平台的直播间经营化妆品和服装两大类商品，2020年前三个季度，该直播间每个季度的收入都比上一季度的收入翻了一番，其前三季度的收入情况如图所示，则下列说法正确的是（）

A、该直播间第三季度总收入是第一季度总收入的3倍 B、该直播间第二季度化妆品收入是第三季度化妆品收入的 $\frac{1}{2}$ C、该直播间第一季度化妆品收入是第三季度化妆品收入的 $\frac{1}{6}$ D、该直播间第三季度服装收入高于前两个季度的服装收入之和

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6. 若 $t a n (α - \frac{π}{4}) = - \frac{1}{3}$ ，则 $c o s 2 α$ 等于（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、-3

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7. 正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $P ， Q ， R$ 分别是 $A_{1} D_{1} ， C_{1} D_{1} ， A A_{1}$ 的中点.那么过 $P ， Q ， R$ 三点的截面图形是（）

A、三角形 B、四边形 C、五边形 D、六边形

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8. 已知向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，且 $| \vec{a} | = | \vec{a} - \vec{b} |$ ，则向量 $\vec{a}$ 与 $2 \vec{a} - \vec{b}$ 的夹角是（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{2}$

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9. 由直线x+2y-7=0 上一点P引圆 $x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y + 2 = 0$ 的一条切线，切点为A，则 $| P A |$ 的最小值为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{17}$ C、 $2 \sqrt{5}$ D、 $2 \sqrt{7}$

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10. 若 $a = l n 3 ， b = l g 5 ， c = l o g_{12} 6$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > c > a$ C、 $c > b > a$ D、 $a > c > b$

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11. 已知三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的6个顶点全部在球 $O$ 的表面上， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 120 °$ ，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的侧面积为 $8 + 4 \sqrt{3}$ ，则球 $O$ 表面积的最小值是（）

A、4π B、16π C、 $\frac{16 π}{3}$ D、 $\frac{32 π}{3}$

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12. 过抛物线 $E : x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点F作两条互相垂直的弦AB，CD，设P为抛物线上的一动点， $Q (1, 2)$ ，若 $\frac{1}{| A B |} + \frac{1}{| C D |} = \frac{1}{4}$ ，则 $| P F | + | P Q |$ 的最小值是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题

13. 若 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x - y ⩾ 0 \\ x + y - 2 ⩽ 0 \\ y ⩾ 0 \end{array}$ ，则 $z = 3 x - 4 y$ 的最小值为．

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14. 在 ${(x - \frac{2}{x})}^{6}$ 的展开式中，常数项是.（用数字作答）

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15. 将函数 $y = 2 s i n (ω x - \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 的图像分别向左､向右各平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度后，所得的两个函数图象的对称轴重合，则 $ω$ 的最小值为.

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16. 已知 $Δ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别是 $a ， b ， c$ ，且 $(a^{2} + b^{2} - c^{2})$ $\cdot (a c o s B + b c o s A)$ $= a b c$ ，若 $a + b = 2$ ，则 $c$ 的取值范围为．

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三、解答题

17. 设 ${a_{n}}$ 是首项为1的等比数列，数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = \frac{n \cdot a_{n}}{3}$ ，已知 $9 a_{1} ， 3 a_{2} ， a_{3}$ 成等差数列.

(1)、求 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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18. 为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，教育部开展了招生改革工作一一强基计划.现某机构对某高中学校学生对强基课程学习的情况进行调查，在参加数学和物理的强基计划课程学习的学生中，某机构为研究考生物理成绩与数学成绩之间的关系，从一次考试中随机抽取11名考生的数据，统计如下表：
数学成绩 $x$
46
$65$
79
89
99
109
116
120
123
134
140
物理成绩 $y$
50
54
60
63
66
68
70
0
73
76
80
附：参考公式：对于一组数据 $(x_{1} ， y_{1}) ， (x_{2} ， y_{2}) ， \dots ， (x_{n} ， y_{n})$ 其回归直线 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}} ， \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$
参考数据：（剔除零分前）
$\sum_{i = 1}^{11} x_{i}$
$\sum_{i = 1}^{11} y_{i}$
$\sum_{i = 1}^{11} x_{i} y_{i}$
$\sum_{i = 1}^{11} x_{i}^{2}$
$\frac{2586}{8326}$
1120
660
68586
122726
$0.31$
上表中的 $x_{i}$ 表示样本中第 $i$ 名考生的数学成绩， $y_{i}$ 表示样本中第 $i$ 名考生的物理成绩.

(1)、由表中数据可知，有一位考生因物理缺考导致数据出现异常，剔除该组数据后发现，考生物理成绩 $y$ 与数学成绩 $x$ 之间具有线性相关关系，请根据这10组数据建立 $y$ 关于 $x$ 的回归直线方程，并估计缺考考生如果参加物理考试可能取得的成绩；

(2)、在这次物理强基课程的测试中，剔除缺考考生的物理成绩后，剩余这10名学生物理成绩的统计数据如茎叶图所示.从中抽取3名同学参加学校组织的关于强基计划的访谈调查，记抽到访谈调查的是女同学的人数 $X$ 名，求随机变量 $X$ 的分布列和数学期望.

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是矩形， $P A ⊥$ 平面 $A B C D ， A F ⊥ P B$ ， $F$ 为垂足.

(1)、当点 $E$ 在线段 $B C$ 上移动时，判断 $△ A E F$ 是否为直角三角形，并说明理由；

(2)、若 $P A = A B = 2 ， E F$ $∥$ $P C$ ，且 $P B$ 与平面 $P A E$ 所成角为30°，求二面角 $C - P E - D$ 的大小.

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20. 已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦距为 $2 c$ ，左､右焦点分别是 $F_{1} ， F_{2}$ ，其离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，圆 $F_{1} ： (x + c)^{2} + y^{2} = 1$ 与圆 $F_{2} ： (x - c)^{2} + y^{2} = 9$ 相交，两圆交点在椭圆 $E$ 上.

(1)、求椭圆 $E$ 的方程；

(2)、设直线 $l$ 不经过 $P (0 ， 1)$ 点且与椭圆 $E$ 相交于 $A ， B$ 两点，若直线 $P A$ 与直线 $P B$ 的斜率之和为-2，证明：直线 $l$ 过定点.

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21. 已知函数 $f (x) = e^{x} s i n x$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调递增区间：

(2)、当 $x > 0$ 时， $f (x) > e^{x} (s i n x - 1) + x^{2} + a^{2} - a - 1$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 2 c o s α \\ y = 2 + 2 s i n α \end{array}$ （ $α$ 为参数），以原点 $O$ 为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 $l$ 的极坐标方程为 $\sqrt{2} ρ c o s (θ - \frac{π}{4}) = 3$ .

(1)、求曲线 $C$ 的普通方程和直线 $l$ 的直角坐标方程；

(2)、若点 $P$ 的极坐标为 $(3 ， \frac{π}{2})$ ，直线 $l$ 与曲线 $C$ 交于 $A ， B$ 两点，求 $| | P A | - | P B | |$ 的值.

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23. 已知函数 $f (x) = | x + a | + | x - b |$ .

(1)、当 $a = 1 ， b = 2$ 时，求 $f (x)$ 的最小值；

(2)、若 $a ， b$ 均为正实数，且 $f (x)$ 的最小值为5，求证： $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} ⩾ \frac{4}{5}$ .

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数学成绩 $x$	46	$65$	79	89	99	109	116	120	123	134	140
物理成绩 $y$	50	54	60	63	66	68	70	0	73	76	80

$\sum_{i = 1}^{11} x_{i}$	$\sum_{i = 1}^{11} y_{i}$	$\sum_{i = 1}^{11} x_{i} y_{i}$	$\sum_{i = 1}^{11} x_{i}^{2}$	$\frac{2586}{8326}$
1120	660	68586	122726	$0.31$