浙江省衢州市2022年中考数学试卷

试卷更新日期：2022-09-01 类型：中考真卷

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一、选择题（本题共有10小题，每小题3分，共30分）

1. 下列图形是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 计算结果等于2的是（）

A、 $| - 2 |$ B、 $- | 2 |$ C、 $2^{- 1}$ D、 ${(- 2)}^{0}$

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3. 在平面直角坐标系中，点 $P (- 1 ， - 2)$ 位于 $($ 　　 $)$

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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4. 如图是某品牌运动服的S号，M号，L号，XL号的销售情况统计图，则厂家应生产最多的型号为（）

A、S号 B、M号 C、L号 D、XL号

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5. 线段a、b、c首尾顺次相接组成三角形，若a=1，b=3，则c的长度可以是（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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6. 某班环保小组收集废旧电池，数据统计如下表．问1节5号电池和1节7号电池的质量分别是多少？设1节5号电池的质量为x克，1节7号电池的质量为y克，列方程组，由消元法可得x的值为（）

	5号电池（节）	7号电池（节）	总质量（克）
第一天	2	2	72
第二天	3	2	96

A、12 B、16 C、24 D、26

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7. 不等式组 ${\begin{cases} 3 x - 2 < 2 （ x + 1 ） \\ \frac{x - 1}{2} > 1 \end{cases}$ ，的解集是（）

A、 $x < 3$ B、无解 C、 $2 < x < 4$ D、 $3 < x < 4$

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8. 西周数学家商高总结了用“矩”（如图1）测量物高的方法：把矩的两边放置成如图2的位置，从矩的一端A（人眼）望点E，使视线通过点C，记人站立的位置为点B，量出BG长，即可算得物高EG．令BG=x（m）， EG=y（m），若a=30cm，b=60cm，AB=1.6m，则y关于x的函数表达式为（）

A、 $y = \frac{1}{2} x$ B、 $y = \frac{1}{2} x + 1.6$ C、 $y = 2 x + 1.6$ D、 $y = \frac{1800}{x} + 1.6$

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9. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=36°．分别以点A，C为圆心，大于 $\frac{1}{2} A C$ 的长为半径画弧，两弧相交于点D，E，作直线DE分别交AC，BC于点F，G．以G为圆心，GC长为半径画弧，交BC于点H，连结AG，AH．则下列说法错误的是（）

A、 $A G = C G$ B、 $∠ B = 2 ∠ H A B$ C、 $△ C A H ≅ △ B A G$ D、 $B G^{2} = C G \cdot C B$

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10. 已知二次函数 $y = a {(x - 1)}^{2} - a (a \neq 0)$ ，当 $- 1 \leq x \leq 4$ 时，y的最小值为 $- 4$ ，则a的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ 或4 B、 $\frac{4}{3}$ 或 $- \frac{1}{2}$ C、 $- \frac{4}{3}$ 或4 D、 $- \frac{1}{2}$ 或4

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二、填空题（本题共有6小题，每小题4分，共24分）

11. 计算： $\sqrt{2^{2}} =$ ．

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12. 不透明袋子里装有仅颜色不同的 4 个白球和2个红球，从袋子中随机摸出一球，“摸出红球”的概率是．

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13. 如图，AB切⊙O于点 $B$ ， AO的延长线交⊙O于点C，连接BC，若∠A=40°，则∠C的度数为．

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14. 将一个容积为360cm³的包装盒剪开铺平，纸样如图所示．利用容积列出图中x（cm）满足的一元二次方程：（不必化简）．

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15. 如图，在△ABC中，边AB在x轴上，边AC交y轴于点E．反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象恰好经过点C，与边BC交于点D．若AE=CE，CD=2BD， $S_{△ A B C} = 6$ ，则k= ．

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16. 希腊数学家海伦给出了挖掘直线隧道的方法：如图，A，B是两侧山脚的入口，从B出发任作线段BC，过C作CD⊥BC，然后依次作垂线段DE，EF，FG，GH，直到接近点A，作AJ⊥GH于点J．每条线段可测量，长度如图所示．分别在BC，AJ上任选点M，N，作MQ⊥BC，NP⊥AJ，使得 $\frac{P N}{A N} = \frac{Q M}{B M} = k$ ，此时点P，A，B，Q共线．挖隧道时始终能看见P，Q处的标志即可．

(1)、 $C D - E F - G J =$ km．

(2)、 $k$ = ．

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三、解答题（本题共有8小题，第17~19小题每小题6分，第20~21小题每小题8分，第22~23小题每小题10分，第24小题12分，共66分，请务必写出解答过程）

17.

(1)、因式分解： $a^{2} - 1$ ．

(2)、化简： $\frac{a - 1}{a^{2} - 1} + \frac{1}{a + 1}$ ．

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18. 已知：如图， $∠ 1 = ∠ 2 ， ∠ 3 = ∠ 4$ ．求证： $A B = A D$ ．

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19. 如图，在4×4的方格纸中，点A，B在格点上．请按要求画出格点线段（线段的端点在格点上），并写出结论．

(1)、在图1中画一条线段垂直AB．

(2)、在图2中画一条线段平分AB．

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20. 如图，C，D是以AB为直径的半圆上的两点， $∠ C A B = ∠ D B A$ ，连结BC，CD．

(1)、求证： $C D ∥ A B$ ．

(2)、若 $A B = 4$ ， $∠ A C D = 30 °$ ，求阴影部分的面积．

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21. 【新知学习】在气象学上，“入夏”由两种平均气温与22℃比较来判断：
衢州市2021年5月5日~5月14日的两种平均气温统计表（单位：℃）

注：“五天滑动平均气温”指某一天及其前后各两天的日平均气温的平均数，如：

${\bar{y}}_{5 月 8 日} = \frac{1}{5} （ {\bar{x}}_{5 月 6 日} + {\bar{x}}_{5 月 7 日} + {\bar{x}}_{5 月 8 日} + {\bar{x}}_{5 月 9 日} + {\bar{x}}_{5 月 10 日} ） = \frac{1}{5} （ 21 + 22 + 21 + 24 + 26 ） = 22.8$ (℃)．

已知2021年的 $\bar{y}$ 从5月8日起首次连续五天大于或等于22℃，而 ${\bar{y}}_{5 月 8 日}$ 对应着 ${\bar{x}}_{5 月 6 日}$ ~ ${\bar{x}}_{5 月 10 日}$ ，其中第一个大于或等于22℃的是 ${\bar{x}}_{5 月 7 日}$ ，则5月7日即为我市2021年的“入夏日”．

【新知应用】已知我市2022年的“入夏日”为下图中的某一天，请根据信息解决问题：

衢州市2022年5月24日~6月2日的两种平均气温折线统计图

(1)、求2022年的 ${\bar{y}}_{5 月 27 日}$ .

(2)、写出从哪天开始，图中的 $\bar{y}$ 连续五天都大于或等于22℃．并判断今年的“入夏日”．

(3)、某媒体报道：“夏天姗姗来迟，衢州2022年的春天比去年长．”你认为这样的说法正确吗？为什么？（我市2021年和2022年的入春时间分别是2月1日和2月27日）

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22. 金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车．

(1)、用含a的代数式表示新能源车的每千米行驶费用．

(2)、若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元．
①分别求出这两款车的每千米行驶费用．

②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用=年行驶费用+年其它费用）

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23. 如图1为北京冬奥会“雪飞天”滑雪大跳台赛道的横截面示意图．取水平线OE为x轴，铅垂线OD为y轴，建立平面直角坐标系．运动员以速度 $v (m / s)$ 从D点滑出，运动轨迹近似抛物线 $y = - a x^{2} + 2 x + 20 (a \neq 0)$ ．某运动员7次试跳的轨迹如图2．在着陆坡CE上设置点K（与DO相距32m）作为标准点，着陆点在K点或超过K点视为成绩达标．
（参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.73$ ， $\sqrt{5} \approx 2.24$ ）

(1)、求线段CE的函数表达式（写出 $x$ 的取值范围）．

(2)、当 $a = \frac{1}{9}$ 时，着陆点为P，求P的横坐标并判断成绩是否达标．

(3)、在试跳中发现运动轨迹与滑出速度v的大小有关，进一步探究，测算得7组a与 $v^{2}$ 的对应数据，在平面直角坐标系中描点如图3．
①猜想a关于 $v^{2}$ 的函数类型，求函数表达式，并任选一对对应值验证．

②当v为多少m/s时，运动员的成绩恰能达标（精确到1m/s)？

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24. 如图，在菱形ABCD中，AB=5，BD为对角线.点E是边AB延长线上的任意一点，连结DE交BC于点F，BG平分∠CBE交DE于点G．

(1)、求证： $∠ D B G = 90 °$ .

(2)、若 $B D = 6 ， D G = 2 G E$ ．
①求菱形 $A B C D$ 的面积.

②求 $\tan ∠ B D E$ 的值.

(3)、若 $B E = A B$ ，当 $∠ D A B$ 的大小发生变化时（ $0 ° < ∠ D A B < 180 °$ ），在AE上找一点T，使GT为定值，说明理由并求出ET的值．

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