广东省中山市2022届高三上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-08-29 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设全集 $U$ 与集合 $M ， N$ 的关系如图所示，则图中阴影部分所表示的集合是（）

A、 $M ∩ N$ B、 $M ∪ N$ C、 $(∁_{U} M) ∪ N$ D、 $(∁_{U} M) ∩ N$

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2. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为60°， $| \vec{a} | = 2$ ， $| \vec{b} | = 1$ ，则 $| \vec{a} + 2 \vec{b} | =$ （）

A、2 B、 $3 \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、12

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3. 已知 ${a_{n}}$ 为正项等比数列，且 $a_{2} a_{4} = 4$ ，设 $T_{n}$ 为该数列的前 $n$ 项积，则 $T_{5} =$ （）

A、8 B、16 C、32 D、64

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4. 3男3女六位同学站成一排，则3位女生中有且只有两位女生相邻的不同排法种数是（）

A、576 B、432 C、388 D、216

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5. 抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x$ 上一点 $(1 ， y_{0})$ 到其焦点的距离为3，则抛物线 $C$ 的方程为（）

A、 $y^{2} = 4 x$ B、 $y^{2} = 8 x$ C、 $y^{2} = 12 x$ D、 $y^{2} = 16 x$

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6. 已知函数 $f (x) = \log_{a} x$ （ $a > 0$ ， $a \neq 1$ ），则 $y = f (| x | - 1)$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，过A₁B且与AC₁平行的平面交B₁C₁于点P，则PC₁＝（）

A、2 B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{2}$ D、1

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8. 甲、乙两支田径队的体检结果为：甲队体重的平均数为60kg，方差为200，乙队体重的平均数为70kg，方差为300，又已知甲、乙两队的队员人数之比为1：4，那么甲、乙两队全部队员的平均体重和方差分别是（）

A、65，280 B、68，280 C、65，296 D、68，296

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二、多选题

9. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(- \frac{π}{6} ， 0)$ 对称 B、函数 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = - \frac{5 π}{12}$ 对称 C、函数 $f (x)$ 在 $[- \frac{2 π}{3} ， - \frac{π}{6}]$ 上单调递减 D、函数 $f (x)$ 图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位可得函数 $y = 2 s i n x$ 的图象

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10. 已知 $a > 0 ， b > 0 ， a + b^{2} = 1$ ，则下列选项中正确的是（）

A、 $3^{a - b}$ 的最大值为 $3$ B、 $b \sqrt{a}$ 的最大值为 $\frac{1}{2}$ C、 $\sqrt{a} + b$ 的最大值为 $\sqrt{2}$ D、 $\frac{1}{a + 1} + \frac{1}{b^{2}}$ 的最小值为 $2$

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11. 已知函数 $f (x) = \log_{2} (1 + 4^{x}) - x$ ，则下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 是偶函数 B、函数 $f (x)$ 是奇函数 C、函数 $f (x)$ 在 $(- \infty ， 0]$ 上为增函数 D、函数 $f (x)$ 的值域为 $[1 ， + \infty)$

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12. 已知球 $O$ 的半径为2，球心 $O$ 在大小为60°的二面角 $α - l - β$ 内，二面角 $α - l - β$ 的两个半平面分别截球面得两个圆 $O_{1}$ ， $O_{2}$ ，若两圆 $O_{1} ， O_{2}$ 的公共弦 $A B$ 的长为2， $E$ 为 $A B$ 的中点，四面体 $O A O_{1} O_{2}$ 的体积为 $V$ ，则下列结论中正确的有（）

A、 $O ， E ， O_{1} ， O_{2}$ 四点共面 B、 $O_{1} O_{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $O_{1} O_{2} = \frac{3}{2}$ D、 $V$ 的最大值为 $\frac{\sqrt{3}}{16}$

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三、填空题

13. 若 $s i n α = \frac{2}{3}$ ，则 $c o s 2 α =$ .

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14. 在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 2$ ， $\sqrt{a_{n + 1}} = \sqrt{a_{n}} + \sqrt{2}$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为．

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15. 已知复数 $z$ 满足方程： $z^{2} - 3 z + 9 = 0$ ，则 $| z | =$ ．

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16. 已知点M为双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 在第一象限上一点，点F为双曲线C的右焦点，O为坐标原点， $4 | M O | = 4 | M F | = 7 | O F |$ ，则双曲线C的离心率为；若 $M F ， M O$ 分别交双曲线C于P、Q两点，记直线QM与PQ的斜率分别为 $k_{1} ， k_{2}$ ，则 $k_{1} \cdot k_{2} =$ ．

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四、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}} ， {b_{n}}$ 满足 $b_{n} = a_{n} - (- 1)^{n} n^{2} ， a_{1} + b_{1} = 1 ， a_{2} + b_{2} = 8$ ，且数列 ${b_{n}}$ 是等差数列.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式：

(2)、设数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，若 $A = {n ∣ n \leq 110$ 且 $T_{n} \leq 110}$ ，求集合A中所有元素的和T.

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18. 已知圆锥 $A O$ 的底面半径为2，母线长为 $2 \sqrt{10}$ ，点C为圆锥底面圆周上的一点，O为圆心，D是 $A B$ 的中点，且 $∠ B O C = \frac{π}{2}$ ．

(1)、求三棱锥 $D - O C B$ 的表面积；

(2)、求A到平面 $O C D$ 的距离．

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19. 在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $\frac{a}{b} = \frac{b + c}{a} = \frac{s i n A}{c o s B}$ ．

(1)、求A；

(2)、如图，已知 $A B = 2$ ， D为 $A C$ 的中点，点P在 $B D$ 上，且满足 $\vec{A P} \cdot \vec{C P} = 1$ ，求 $△ P A C$ 的面积．

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20. 某科技公司组织技术人员进行某新项目研发，技术人员将独立地进行项日中不同类型的实验甲、乙、丙，已知实验甲、乙、丙成功的概率分别为 $\frac{3}{4}$ 、 $\frac{2}{3}$ 、 $\frac{1}{2}$ .

(1)、对实验甲、乙、丙各进行一次，求至少有一次成功的概率；

(2)、该项目研发流程如下：实验甲做一次，若成功，则奖励技术人员1万元并进行实验乙，否则技术人员不获得奖励且该项目终止；实验乙做两次，若两次都成功，则追加技术人员3万元奖励并进行实验丙，否则技术人员不追加奖励且该项目终止；实验丙做三次，若至少两次成功，则项目研发成功，再追加技术员4万元奖励，否则不追加奖励且该项目终止.每次实验相互独立，用X（单位：万元）表示技术人员所获得奖励的数值，写出X的分布列及数学期望.

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为 $F$ ，离心率为 $\frac{1}{2}$ ，直线 $l ： y = x$ 被椭圆截得的弦长为 $\frac{4 \sqrt{42}}{7}$

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程

(2)、若 $P$ 是椭圆 $C$ 上一点， $O$ 是坐标原点，过点 $F$ 与直线 $l$ 平行的直线与椭圆 $C$ 的两个交点为 $A ， B$ ，且 $\overset{⇀}{O P} = λ \overset{⇀}{O A} + μ \overset{⇀}{O B}$ ，求 $λ μ$ 的最大值

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22. 已知函数 $f (x) = (x - 2) e^{x} - a x + a l n x$ （ $a \in R$ ）.

(1)、当 $a = - 1$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、讨论 $f (x)$ 的零点个数.

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