福建省三明市普通高中2022届高三上学期数学期末质量检测试卷

试卷更新日期：2022-08-29 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | 0 \leq x \leq 3}$ ， $B = {x | x = 2 n + 1 ， n \in Z}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $\emptyset$ B、{1} C、{3} D、{ $1 ， 3$ }

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2. 若复数z满足 $i z = 1 - i$ （i为虚数单位）， $\bar{z}$ 为z的共轭复数，则 $| \bar{z} | =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、2

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3. 北京冬奥会将于2022年2月4日正式开幕，4名大学生将参加冬奥会志愿者服务，他们被随机安排到3个场馆工作，每人只能去一个场馆，每个场馆至少一人，则不同的安排方案有（）

A、16种 B、36种 C、48种 D、60种

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4. 已知△ABC中， $A B = A C = 1$ ， $B C = \sqrt{2}$ ，点O是△ABC的外心，则 $\vec{C O} \cdot \vec{A B} =$ （）

A、－ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、－ $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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5. 若直线 $x - y + 1 = 0$ 与圆 ${(x - a)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 4$ 没有公共点，则实数a的取值范围是（）

A、（－4 $\sqrt{2}$ ， 4 $\sqrt{2}$ ） B、（－2 $\sqrt{2}$ ， 2 $\sqrt{2}$ ） C、（－∞，－4 $\sqrt{2}$ ）U（4 $\sqrt{2}$ ，＋∞） D、 $(- \infty ， - 2 \sqrt{2}) ∪ (2 \sqrt{2} ， + \infty)$

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6. 著名物理学家牛顿在1701年提出的牛顿冷却定律是传热学的基本定律之一：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为 ${θ_{1}}^{∘} C$ ，空气温度为 $θ_{0}^{∘}$ C，则t分钟后物体的温度 $θ$ （单位： $^{∘} C$ ）满足： $θ = θ_{0} + (θ_{1} - θ_{0}) e^{- k t}$ ，其中k是一个根据物体与空气接触情况而定的正常数，现有 $4 2^{∘} C$ 的物体放在 $2^{∘} C$ 的空气中冷却，2分钟后物体的温度为 $2 2^{∘} C$ ，则再过4分钟该物体的温度可冷却到（）

A、 $6^{∘} C$ B、 $7^{∘} C$ C、 $8^{∘} C$ D、 $9^{∘} C$

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7. 函数 $f (x) = \frac{2 c o s (\frac{3 π}{2} + x)}{x^{2} + 1} (x \in [- 2 ， 2])$ 的大致图像是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 已知三棱锥 $S - A B C$ 的所有顶点都在表面积为64π的球面上，且SA⊥平面ABC， $S A = 4$ ， $∠ B A C = \frac{2 π}{3}$ ， $A B = 2 \sqrt{3}$ ， M是边BC上一动点，则直线SM与平面ABC所成的最大角的正切值为（）

A、3 B、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{3}{2}$

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二、多选题

9. 设 $a > b > 0$ ，则下列不等式中一定成立的是（）

A、 $e^{a} > e^{b}$ B、 $l o g_{\frac{1}{2}} a > l o g_{\frac{1}{2}} b$ C、 $\frac{b}{a} < \frac{b + 1}{a + 1}$ D、 $\frac{1}{a + b} < \frac{1}{a b}$

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10. 已知等差数列{ $a_{n}$ }中， $| a_{2} | = | a_{8} |$ ，公差 $d < 0$ ，则使其前n项和 $S_{n}$ 取得最大值的自然数n是（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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11. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E，F分别为 $B_{1} C_{1}$ ， $B B_{1}$ 的中点，G为侧面 $A D D_{1} A_{1}$ 内一点，且满足 $∠ C_{1} G D_{1} = ∠ B G A$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $D_{1} F ⊥ C E$ B、 $E F ⊥ B_{1} G$ C、存在点G，使平面EFG//平面 $A C D_{1}$ D、三棱锥 $B_{1} - E F G$ 的体积为定值

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12. 已知函数 $f (x) = x l n x - \frac{a}{2} x^{2}$ 有两个极值点 $x_{1}$ ， $x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，则（）

A、a的取值范围为（－∞，1） B、 $x_{1} + x_{2} > 2$ C、 $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} > 2$ D、 $x_{2} - x_{1} > \frac{1}{a} - 1$

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三、填空题

13. 已知命题p： $\exists x \in R ， x^{2} - a x + a < 0$ ，若命题P为假命题，则实数a的取值范围是．

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14. 已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 的左焦点为F，M是该双曲线一条渐近线上的点，且 $O M ⊥ M F$ ， O为坐标原点，若 $△$ OMF的面积为4，则双曲线C的离心率为．

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15. 已知某正三角形的一条内角平分线所在直线的斜率为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，写出与该角平分线相邻两边中，其中一边所在直线的斜率为．

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16. 一个二元码是由0和1组成的数字串． $x_{1} x_{2} x_{3} ⋯ x_{n} (n \in N^{*})$ ，其中 $x_{k} (k = 1 ， 2 ， ⋯ ， n)$ 称为第k位码元．二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由0变为1，或者由1变为0）．已知某种二元码 $x_{1} x_{2} x_{3} ⋯ x_{7}$ 的码元满足如下校验方程组： ${\begin{array}{l} x_{1} \oplus x_{2} \oplus x_{6} \oplus x_{7} = 1 \\ x_{1} \oplus x_{3} \oplus x_{5} \oplus x_{7} = 0 \\ x_{3} \oplus x_{4} \oplus x_{6} \oplus x_{7} = 0 \end{array}$ ，其中运算 $\oplus$ 定义为： $0 \oplus 0 = 0 ， 0 \oplus 1 = 1 ， 1 \oplus 0 = 1 ， 1 \oplus 1 = 0$ ．现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101011，那么利用上述校验方程组可判定k等于．

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四、解答题

17. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， $2 a c o s A = \sqrt{3} (c c o s B + b c o s C) ， b = \sqrt{3} c ， a = 1$ ，求△ABC的面积．

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18. 定义 $G_{n} = \frac{a_{1} + 2 a_{2} + 3 a_{3} + ⋯ + n a_{n}}{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的“匀称值”，若数列 ${a_{n}}$ 的“匀称值”为 $2$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = {\begin{array}{l} n^{2} a_{n} ， n 为奇数 \\ \frac{a_{n}}{n + 2} ， n 为偶数 \end{array}$ ， ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，求 $S_{20}$ ．

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19. 为树立和践行“绿水青山就是金山银山”的理念，三明市某公司将于2022年3月12日开展植树活动，为提高职工的积极性，活动期间将设置抽奖环节，具体方案为：根据植树的棵数可以选择在甲箱或乙箱中摸奖，每箱内各有除颜色外完全相同的10个球，甲箱内有红、黄、黑三种颜色的球，其中a个红球、b个黄球、5个黑球（ $a ， b \in N^{*}$ ），乙箱内有6个红球、4个黄球．若在甲箱内摸球，则每次摸出一个球后放回原箱，摸得红球奖100元，摸得黄球奖50元，摸得黑球则没有奖金；若在乙箱内摸球，则每次摸出两球后放回原箱，两球均为红球奖150元，否则没有奖金．
附参考数据：若 $X \sim N (μ ， σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < X \leq μ + σ) \approx 0.6827$ ， $P (μ - 2 σ < X \leq μ + 2 σ) \approx 0.9545$ ．

(1)、据统计，每人的植树棵数X服从正态分布N（15，25），现有1000位植树者，请估计植树的棵数X在区间（10，25）内的人数（结果四舍五入取整数）；

(2)、根据植树的棵数，某职工可选择以下两种方案摸奖，方案一：三次甲箱内摸奖机会；方案二：两次乙箱内摸奖机会．请根据奖金的数学期望分析该职工如何选择摸奖方案．

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20. 如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面ABC是边长为2的正三角形，侧面 $B C C_{1} B_{1}$ 为菱形， $∠ B C C_{1} = 6 0^{∘}$ ．

(1)、证明： $A C_{1} ⊥ B C$ ；

(2)、若 $A B_{1} = \sqrt{7}$ ，求二面角 $A_{1} - B C_{1} - B_{1}$ 的余弦值．

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21. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ， $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 为椭圆的左、右焦点，焦距为2 $\sqrt{2}$ ， P（ $\sqrt{2} ，$ － $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ）为椭圆上一点．

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、已知过点（0，－ $\frac{1}{2}$ ）的直线l与C交于A，B两点；线段AB的中点为M，在 $y$ 轴上是否存在定点N，使得 $∠ A M N = 2 ∠ A B N$ 恒成立？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

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22. 已知函数 $f (x) = (a x^{2} + x + a) e^{x}$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若函数 $f (x)$ 有两个不大于 $- 1$ 的极值点，证明： $f (x) \geq e^{x} + l n (x - 1) + x + 1$ ．

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