福建省福州市2022届高三上学期数学期末质量抽测试卷

试卷更新日期：2022-08-29 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {- 2 ， - 1}$ ， $B = {x \in N^{*} | x^{2} - x - 2 \leq 0}$ ，则 $A ∪ B =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 ${- 2 ， - 1 ， 1}$ C、 ${- 2 ， - 1 ， 1 ， 2}$ D、 ${- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2}$

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2. 已知 $z = 3 - 4 i$ ，则 $| z | + z i =$ （）

A、 $1 + 3 i$ B、 $8 - 4 i$ C、 $9 + 3 i$ D、 $29 + 3 i$

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3. 已知甲､乙､丙､丁､戊五位同学高一入学时年龄的平均数､中位数均为16，方差为0.8，则三年后，下列判断错误的是（）

A、这五位同学年龄的平均数变为19 B、这五位同学年龄的中位数变为19 C、这五位同学年龄的方差仍为0.8 D、这五位同学年龄的方差变为3.8

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4. $(3 x - \frac{1}{\sqrt{x}})^{6}$ 展开式中的常数项为（）

A、-540 B、-15 C、15 D、135

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5. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{3} + 1 ， x > 0 \\ a x^{3} + b ， x < 0 \end{array}$ 为偶函数，则 $2^{a} + b =$ （）

A、3 B、 $\frac{3}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- \frac{3}{2}$

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6. 已知一张边长为2的正方形纸片绕着它的一条边所在的直线旋转 $\frac{π}{4}$ 弧度，则该纸片扫过的区域形成的几何体的表面积为（）

A、 $2 π$ B、 $π + 8$ C、 $2 π + 8$ D、 $4 π + 8$

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7. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x - φ)$ 的部分图象如图所示，则 $f (x)$ 的单调递增区间为（）

A、 $[k π - \frac{1}{6} ， k π + \frac{5}{6}]$ ， $k \in Z$ B、 $[2 k π - \frac{1}{6} ， 2 k π + \frac{5}{6}]$ ， $k \in Z$ C、 $[k - \frac{1}{6} ， k + \frac{5}{6}]$ ， $k \in Z$ D、 $[2 k - \frac{1}{6} ， 2 k + \frac{5}{6}]$ ， $k \in Z$

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8. 已知O为坐标原点，F是双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{x}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左焦点，A为C的右顶点，过F作C的渐近线的垂线，垂足为M，且与y轴交于点P.若直线AM经过OP的中点，则C的离心率为（）

A、2 B、 $\frac{3}{2}$ C、3 D、 $\frac{4}{3}$

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二、多选题

9. 已知向量 $\vec{m} + \vec{n} = (3 ， 1)$ ， $\vec{m} - \vec{n} = (1 ， - 1)$ 则（）

A、 $(\vec{m} - \vec{n}) ∥ \vec{n}$ B、 $(\vec{m} - \vec{n}) ⊥ \vec{n}$ C、 $| \vec{m} | = \sqrt{2} | \vec{n} |$ D、 $〈 \vec{m} ， \vec{n} 〉 = 45 °$

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10. 某人有6把钥匙，其中n把能打开门.如果随机地取一把钥匙试着开门，把不能开门的钥匙扔掉，设第二次才能打开门的概率为p，则下列结论正确的是（）

A、当 $n = 1$ 时， $p = \frac{1}{6}$ B、当 $n = 2$ 时， $p = \frac{1}{3}$ C、当 $n = 3$ 时， $p = \frac{3}{10}$ D、当 $n = 4$ 时， $p = \frac{4}{5}$

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11. 已知 $A (- 3 ， 0)$ ， $B (3 ， 0)$ ，动点C满足 $| C A | = 2 | C B |$ ，记 $C$ 的轨迹为 $Γ$ .过 $A$ 的直线与 $Γ$ 交于 $P ， Q$ 两点，直线 $B P$ 与 $Γ$ 的另一个交点为 $M$ ，则（）

A、 $Q ， M$ 关于 $x$ 轴对称 B、 $△ P A B$ 的面积的最大值为 $6 \sqrt{3}$ C、当 $∠ P M Q = 45 °$ 时， $| P Q | = 4 \sqrt{2}$ D、直线 $A C$ 的斜率的范围为 $[- \sqrt{3} ， \sqrt{3}]$

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12. 设函数 $f (x) = x e^{x} + (1 - x) e^{1 - x}$ ，则（）

A、 $f (x) = f (1 - x)$ B、函数 $f (x)$ 有极大值为 $\sqrt{e}$ C、若 $x_{1} + x_{2} = 1$ ，则 $x_{1} f (x_{1}) + x_{2} f (x_{2}) \geq \sqrt{e}$ D、若 $x_{1} + x_{2} < 1$ ，且 $x_{2} > \frac{1}{2}$ ，则 $f (x_{2}) < f (1 - x_{1})$

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三、填空题

13. 曲线 $f (x) = x + l n x$ 在 $x = 1$ 处的切线方程是.

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14. 在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = A A_{1} = 2$ ， F是线段 $A_{1} B_{1}$ 上的动点，则 $A F + F C_{1}$ 的最小值为.

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15. 抛物线 $E ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F，点A是E的准线与坐标轴的交点，点P在E上，若 $∠ P A F = 30 °$ ，则 $s i n ∠ P F A =$ .

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16. 函数 $y = [x]$ 称为高斯函数， $[x]$ 表示不超过，x的最大整数，如 $[0.9] = 0$ ， $[l n 99] = 1$ .已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{3} = 3$ ，且 $a_{n} = n (a_{n + 1} - a_{n})$ ，若 $b_{n} = [l g a_{n}]$ ，则数列 ${b_{n}}$ 的2022项和为.

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四、解答题

17. 设数列 ${a_{n}}$ 是首项为1的等差数列，若 $a_{2}$ 是 $a_{1}$ ， $a_{5}$ 的等比中项，且 $a_{2} < a_{3}$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项的和 $S_{n}$ .

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18. 为让人民享受到更优质的教育服务.我国逐年加大对教育的投入，下图是我国2001年至2019年间每年普通本科招生数y（单位：万人）的条形图.
为了预测2022年全国普通本科招生数，建立了y与时间变量t的三个回归模型.其中根据2001年至2019年的数据（时间变量t的值依次为1，2，3，…，19）建立模型①： $\bar{y} = 166.9 e^{0.05 R T}$ ，相关指数 ${R_{1}}^{2} \approx 0.87$ ；模型②： $\hat{y} = 152.4 + 16.3 t$ ，相关系数 $r_{1} \approx 0.97$ ，相关指数 $R_{2}^{2} \approx 0.95$ .根据2014年至2019年的数据（时间变量t的值依次为1，2，3，…，6）建立模型③： $\hat{y} = 372.8 + 9.8 t$ ，相关系数 $r_{1} \approx 0.99$ ，相关指数 $R_{1}^{2} \approx 0.99$ .

(1)、可以根据模型①得到2022年全国普通本科招生数的预测值为671.42万人，请你也分别利用模型②､③，求2022年全国普通本科招生数的预测值；

(2)、你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由.

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19. 记 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $c = a c o s B + c c o s A$ .

(1)、试判断 $△ A B C$ 的形状，并说明理由；

(2)、设点D在边AC上，若 $A D = B D$ ， $s i n ∠ A D B = s i n ∠ A B C$ ，求 $\frac{a}{b}$ 的值.

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20. 如图，在三棱锥 $D - A B C$ 中， $D A ⊥$ 底面ABC， $A C = B C = D A = 1$ ， $A B = \sqrt{2}$ ， $E$ 是 $C D$ 的中点，点 $F$ 在 $D B$ 上，且 $E F ⊥ D B$ .

(1)、证明： $D B ⊥$ 平面 $A E F$ ；

(2)、求二面角 $A - D B - C$ 的大小.

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21. 定义：若点 $(x_{0} ， y_{0})$ ， $({x_{0}}^{^{'}} ， {y_{0}}^{^{'}})$ 在椭圆 $M ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上，并且满足 $\frac{x_{0} {x_{0}}^{^{'}}}{a^{2}} + \frac{y_{0} {y_{0}}^{^{'}}}{b^{2}} = 0$ ，则称这两点是关于M的一对共轭点，或称点 $(x_{0} ， y_{0})$ 关于M的一个共轭点为 $({x_{0}}^{^{'}} ， {y_{0}}^{^{'}})$ .已知点 $A (3 ， 1)$ 在椭圆 $M ： \frac{x^{2}}{12} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ ， O坐标原点.

(1)、求点A关于M的所有共轭点的坐标；

(2)、设点P，Q在M上，且 $\vec{P Q} ∥ \vec{O A}$ ，求点A关于M的所有共轭点和点P，Q所围成封闭图形面积的最大值.

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22. 设函数 $f (x) = a x^{2} + l n x + x$ .

(1)、当 $a = - 1$ 时，判断 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若函数 $f (x)$ 的图象与x轴没有公共点，求a的取值范围.

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