北京市密云区2022届高三上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-08-29 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x < 2}$ ， $B = {- 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${- 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ B、 ${- 1 ， 0 ， 1}$ C、 $(- \infty ， 2]$ D、 $(- \infty ， 2)$

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2. 如图所示，角 $α$ 的终边与单位圆在第一象限交于点 $P$ ．且点 $P$ 的横坐标为 $\frac{5}{13}$ ，若角 $β$ 的终边与角 $α$ 的终边关于 $y$ 轴对称，则（）

A、 $s i n β = \frac{5}{13}$ B、 $s i n β = - \frac{5}{13}$ C、 $s i n β = \frac{12}{13}$ D、 $s i n β = - \frac{12}{13}$

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3. 已知 $a > b$ ，且 $a b \neq 0$ ， $c \in R$ ，则下列不等式中一定成立的是（）

A、 $a^{2} > b^{2}$ B、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ C、 $\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{a b}$ D、 $\frac{a}{c^{2} + 1} > \frac{b}{c^{2} + 1}$

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4. 下列函数中，既是偶函数，又在 $(0 ， + ∞)$ 上单调递增的是（）

A、 $y = c o s x$ B、 $y = \frac{1}{x^{2} + 1}$ C、 $y = 2^{x} - 2^{- x}$ D、 $y = l n | x |$

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5. 若数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n} = \frac{1}{2} a_{n + 1}$ ， $n \in N^{*}$ ，且 $S_{1} = 2$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $a_{3} = 4$ B、 $a_{3} = \frac{1}{2}$ C、 $S_{10} - S_{9} = 2^{10}$ D、 $S_{10} - S_{9} = \frac{1}{2^{8}}$

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6. 在△ $A B C$ 中， $a$ ， $b$ ， $c$ 分别是角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边，若 $\sqrt{3} a s i n B = b c o s A$ ，且 $b = 2 \sqrt{3}$ ， $c = 2$ ，则 $a$ 的值为（）

A、 $2 \sqrt{7}$ B、2 C、 $2 \sqrt{3} - 2$ D、1

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7. 如果函数 $y = f (x)$ 在 $[a ， b]$ 上的图象是连续不断的一条曲线，那么“ $f (a) \cdot f (b) < 0$ ”是“函数 $y = f (x)$ 在 $(a ， b)$ 内有零点”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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8. 已知函数 $f (x) = c o s^{2} x + s i n x$ ， $x \in [\frac{π}{6} ， \frac{2 π}{3}]$ ，则（）

A、最大值为2，最小值为1 B、最大值为 $\frac{5}{4}$ ，最小值为1 C、最大值为 $\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，最小值为1 D、最大值为 $\frac{5}{4}$ ，最小值为 $- 1$

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9. 已知抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点 $F$ 到准线的距离为2，过焦点 $F$ 的直线与抛物线交于 $A$ 、 $B$ 两点，且 $| A F | = 2 | F B |$ ，则点 $A$ 到 $y$ 轴的距离为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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10. 心理学家有时使用函数 $L (t) = A (1 - e^{- k t})$ 来测定在时间 $t (m i n)$ 内能够记忆的量 $L$ ，其中A表示需要记忆的量， $k$ 表示记忆率．假设一个学生有200个单词要记忆，心理学家测定在5min内该学生记忆20个单词．则记忆率 $k$ 所在区间为（）

A、 $(0 ， \frac{1}{20})$ B、 $(\frac{1}{20} ， \frac{1}{15})$ C、 $(\frac{1}{15} ， \frac{1}{10})$ D、 $(\frac{1}{10} ， 1)$

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二、填空题

11. 在复平面内，复数 $\frac{3 + i}{2 - i}$ 对应的点为 $Z$ ，则点 $Z$ 的坐标为．

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12. 设函数 $f (x)$ 满足条件 $\forall x \in R$ ， $f (- x) = f (x)$ ， $f (x + 2) = f (x)$ ，且在区间 $[0 ， 1]$ 上， $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} ， x \in M ， \\ x ， x \notin M . \end{array}$ 其中集中 $M = {x | x = \frac{m}{m + 1} ， m \in N}$ ．给出下列四个结论：
① $f (\frac{5}{4}) = \frac{9}{16}$ ；
②函数 $f (x)$ 的值域为 $[0 ， 1]$ ；
③函数 $f (x)$ 在 $(\frac{m}{m + 1} ， \frac{m + 1}{m + 2}) (m \in N)$ 上单调递增；
④函数 $f (x)$ 在 $[2 m - 1 ， 2 m] (m \in N)$ 上单调递减．
其中所有正确结论的序号是．

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13. 设 $(2 x + 1)^{n}$ 的展开式的二项式系数之和为32，则 $n =$ ，其展开式的第三项为．

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14. 已知直线 $l ： y + 2 = k (x - 1)$ 过定点 $A$ ，圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 4 x - 4 y + 7 = 0$ ，若直线 $l$ 与圆 $C$ 相切于点 $P$ ，则 $\vec{A C} \cdot \vec{A P}$ 的值为；使得直线 $l$ 与圆 $C$ 相交的 $k$ 的取值可以是（写出一个即可）．

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15. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，直线 $l ： y = 2 x - 10$ 过双曲线 $C$ 的一个焦点，并且与双曲线 $C$ 的一条渐近线平行，则双曲线 $C$ 的方程为；若点 $M (- \sqrt{10} ， 2 \sqrt{5})$ ，则 $| M F_{1} | - | M F_{2} |$ 的值为．

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三、解答题

16. 为了解某地区居民每户月均用电情况，采用随机抽样的方式，从该地区随机调查了100户居民，获得了他们每户月均用电量的数据，发现每户月均用电量都在 $50 ～ 350 k W \cdot h$ 之间，进行适当分组后（每组为左闭右开区间），得到如下频率分布直方图：

(1)、记频率分布直方图中从左到右的分组依次为第1组、第2组、 $⋯$ 、第6组，从第5组、第6组中任取2户居民，求他们月均用电量都不低于 $300 k W \cdot h$ 的概率；

(2)、根据上述频率分布直方图，估计月均用电量的样本数据的第90百分位数；

(3)、该地区为提倡节约用电，拟以每户月均用电量为依据，给该地区月均用电量不少于 $w k W \cdot h$ 的居民用户每户发出一份节约用电倡议书，且发放倡议书的数量为该地区居民用户数的2%．请根据此次调查的数据，估计 $w$ 应定为多少合适？（只需写出结论）．

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17. 已知函数 $f (x) = 2 s i n \frac{ω x}{2} c o s (\frac{ω x}{2} - \frac{π}{3}) + m (ω > 0)$ ．在下列条件①、条件②、条件③这三个条件中，选择可以确定 $ω$ 和 $m$ 值的两个条件作为已知．

(1)、求 $f (\frac{π}{4})$ 的值；

(2)、若函数 $f (x)$ 在区间 $[0 ， a]$ 上是增函数，求实数 $a$ 的最大值．
条件①： $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ ；
条件②： $f (x)$ 的最大值与最小值之和为0；
条件③： $f (0) = 2$ ．

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18. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为2的菱形， $∠ A D C = 6 0^{∘}$ ， $△ P A D$ 为正三角形， $O$ 为 $A D$ 的中点，且平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $M$ 是线段 $P C$ 上的点．

(1)、求证： $O M ⊥ B C$ ；

(2)、当点 $M$ 为线段 $P C$ 的中点时，求点 $M$ 到平面 $P A B$ 的距离；

(3)、是否存在点 $M$ ，使得直线 $A M$ 与平面 $P A B$ 的夹角的正弦值为 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ ．若存在，求出此时 $\frac{P M}{P C}$ 的值；若不存在，请说明理由．

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19. 已知函数 $f (x) = x + k e^{x}$ ， $k \in R$ ．

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $M (2 ， f (2))$ 处的切线方程；

(2)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(3)、若函数 $f (x) = x + k e^{x}$ 有两个不同的零点，记较大的零点为 $x_{0}$ ，证明：当 $x_{0} \in (1 ， 2)$ 时， $(1 + k e^{2}) x_{0} - k e^{2} > 0$ ．

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20. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 过 $A (- 3 ， 0)$ ， $B (0 ， - 1)$ 两点．设 $M$ 为第一象限内一点且在椭圆 $C$ 上，直线 $M A$ 与 $y$ 轴交于点 $P$ ，直线 $M B$ 与 $x$ 轴交于点 $Q$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程及离心率；

(2)、设椭圆 $C$ 的右顶点为 $A^{'}$ ，求证：三角形 $A^{'} B Q$ 的面积等于三角形 $A P Q$ 的面积；

(3)、指出三角形 $M P Q$ 的面积是否存在最大值和最小值，若存在，写出最大值，最小值（只需写出结论）．

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21. 在各项均不为零的数列 ${a_{n}}$ 中，选取第 $k_{1}$ 项、第 $k_{2}$ 项、…、第 $k_{m}$ 项，其中 $m \geq 3$ ， $k_{1} < k_{2} < ⋯ < k_{m}$ ，若新数列 $a_{k_{1}} ， a_{k_{2}} ， ⋯ ， a_{k_{m}}$ 为等比数列，则称新数列为 ${a_{n}}$ 的一个长度为 $m$ 的“等比子列”．已知等差数列 ${a_{n}}$ ，其各项与公差 $d$ 均不为零．

(1)、若在数列 ${a_{n}}$ 中，公差 $d = 2$ ， $n \leq 4$ ，且存在项数为3的“等比子列”，求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $a_{n} = \frac{2}{3} n + \frac{4}{3}$ ，数列 $a_{k_{1}} ， a_{k_{2}} ， ⋯ ， a_{k_{n}}$ 为 ${a_{n}}$ 的一个长度为 $n$ 的“等比子列”，其中 $k_{1} = 1$ ，公比为 $q$ ．当 $q$ 最小时，求 $k_{n}$ 的通项公式；

(3)、若公比为 $q$ 的等比数列 ${b_{n}}$ ，满足 $a_{1} = b_{1}$ ， $a_{2} = b_{2}$ ， $b_{3} = a_{i}$ $(i \geq 3 ， i \in N^{*})$ ，证明：数列 ${b_{n}}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的“等比子列”．

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