安徽省“皖东县中联盟”2021-2022学年高三上学期理数期末联考试卷

试卷更新日期：2022-08-29 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知全集 $U = R ， A = {x ∣ x \leq 0} ， B = {x ∣ x \geq 2}$ ，则集合 $∁_{U} (A ∪ B) =$ （）

A、 ${x ∣ x > 0}$ B、 ${x ∣ x < 2}$ C、 ${x ∣ 0 \leq x \leq 2}$ D、 ${x ∣ 0 < x < 2}$

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2. 若 $(1 - i) z = 2 - 4 i$ ， i为虚数单位，则 $| z | =$ （）

A、10 B、 $\sqrt{10}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{2}$

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3. 在平面直角坐标系中，若角 $θ$ 的终边经过点 $P (- s i n \frac{π}{6} ， c o s \frac{π}{3})$ ，则 $c o s θ =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$

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4. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，已知 $a_{3} + a_{13} = 12$ ，则 $S_{15} =$ （）

A、90 B、180 C、45 D、135

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5. 若直线l经过圆 $C ： x^{2} + y^{2} + 4 x - 2 \sqrt{3} y = 0$ 的圆心，且倾斜角为 $\frac{5 π}{6}$ ，则直线l的方程为（）

A、 $\sqrt{3} x - y + 3 \sqrt{3} = 0$ B、 $x + \sqrt{3} y - 1 = 0$ C、 $\sqrt{3} x + y + \sqrt{3} = 0$ D、 $x - \sqrt{3} y + 5 = 0$

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6. 在如今这个5G时代，6G研究已方兴未艾.2021年8月30日第九届未来信息通信技术国际研讨会在北京举办．会上传出消息，未来6G速率有望达到1Tbps，并启用毫米波、太赫兹、可见光等尖端科技，有望打造出空天地融合的立体网络，预计6G数据传输速率有望比5G快100倍，时延达到亚毫秒级水平．香农公式 $C = W l o g_{2} (1 + \frac{S}{N})$ 是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中 $\frac{S}{N}$ 叫做信噪比．若不改变带宽W，而将信噪比 $\frac{S}{N}$ 从9提升至161，则最大信息传递率C会提升到原来的（）参考数据： $l o g_{2} 3 = 1.58 ， l o g_{2} 5 = 2.32$ ．

A、2.4倍 B、2.3倍 C、2.2倍 D、2.1倍

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7. 已知m，n不全为0，则“直线 $m x - n y - 2 = 0$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 相离”是“点 $(m ， n)$ 在圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 内”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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8. 已知F为双曲线 $C ： \frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的上焦点，过F作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为P，若 $| P F |^{2} - | O P |^{2} = a^{2}$ ，则双曲线C的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、3

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9. 若函数 $f (x) = e^{x} (c o s x - a)$ 在区间 $[0 ， π]$ 上单调递减，则实数a的取值范围是（）

A、 $[- \sqrt{2} ， + \infty)$ B、 $[1 ， + \infty)$ C、 $(1 ， + \infty)$ D、 $(- \sqrt{2} ， + \infty)$

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10. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x - 2)$ 的图像关于直线 $x = 2$ 对称，当 $x \leq 0$ 时， $f (x) = 2^{x} + 2 x$ ，若 $f (2 x - 1) > f (x + 3)$ ，则实数x的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， 4)$ B、 $(4 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， - \frac{2}{3}) ∪ (4 ， + \infty)$ D、 $(- \frac{2}{3} ， 4)$

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11. 已知点A，B在椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 上，点A在第一象限，O为坐标原点，且 $O A ⊥ A B$ ．若 $△ O A B$ 是等腰三角形（点O，A，B按顺时针排列），则OA的斜率为（）

A、 $3 + \sqrt{5}$ 或 $3 - \sqrt{5}$ B、 $\sqrt{5} + 1$ 或 $\sqrt{5} - 1$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 或 $\sqrt{3}$ D、 $2 + \sqrt{3}$ 或 $2 - \sqrt{3}$

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12. 足球运动成为当今世界上开展最广、影响最大、最具魅力、拥有球迷数最多的体育项目之一，2022年卡塔尔世界杯是第22届世界杯足球赛．比赛于2022年11月21日至12月18日在卡塔尔境内7座城市中的12座球场举行．已知某足球的表面上有四个点A，B，C，D满足 $A B = B C = A D = B D = C D = \sqrt{2} d m$ ，二面角 $A - B D - C$ 的大小为 $\frac{2 π}{3}$ ，则该足球的体积为（）

A、 $\frac{7 \sqrt{42} π}{27} d m^{3}$ B、 $\frac{35 \sqrt{2} π}{27} d m^{3}$ C、 $\frac{14 π}{27} d m^{3}$ D、 $\frac{32 \sqrt{2} π}{27} d m^{3}$

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二、填空题

13. 若变量x，y满足约束条件 ${\begin{array}{l} x + y \leq 4 \\ 2 x - y \geq 2 ， \\ x - 2 y \leq 1 \end{array}$ 则目标函数 $z = 2 x + y$ 的最大值为．

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14. 已知225的所有正约数之和可按如下方法得到：因为 $225 = 3^{2} \times 5^{2}$ ，所以225的所有正约数之和为 $(1 + 3 + 3^{2}) + (5 + 5 \times 3 + 5 \times 3^{2}) + (5^{2} + 5^{2} \times 3 + 5^{2} \times 3^{2}) = (1 + 3 + 3^{2}) (1 + 5 + 5^{2}) = 403$ ，参照上述方法，可求得500的所有正约数之和为．

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15. 在等腰梯形ABCD中， $A B / / C D ， A B = 2 C D = 4$ ，梯形ABCD的面积为6，E为AB的中点，F为线段AD上的动点（含端点），则 $\vec{E F} \cdot \vec{B F}$ 的取值范围是．

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16. 设函数 $f (x) = x l n x + 2$ ，若存在区间 $[a ， b] \subseteq [\frac{1}{e} ， e]$ ，使 $f (x)$ 在 $[a ， b] (a \neq b)$ 上的值域为 $[k (a + 1) ， k (b + 1)]$ ，则实数k的取值范围是．

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三、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $s i n^{2} A + s i n^{2} C = s i n^{2} B + s i n A s i n C$ ．

(1)、求B；

(2)、若点M在AC上，且满足BM为 $∠ A B C$ 的平分线， $B M = 2 ， c o s C = \frac{\sqrt{21}}{7}$ ，求BC的长．

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和 $S_{n} = \frac{n^{2} + 3 n}{2} ， n \in N^{*}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = 3^{a_{n}} + (- 1)^{n - 1} a_{n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $2 n$ 项和．

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19. 已知平面向量 $\vec{m} = (\sqrt{2} c o s x - 1 ， s i n x) ， \vec{n} = (\sqrt{2} c o s x + 1 ， 2 \sqrt{3} c o s x)$ ，函数 $f (x) = \vec{m} \cdot \vec{n}$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期和对称轴；

(2)、将函数 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位，然后再将各点的横坐标伸长到原来的2倍得到函数 $g (x)$ 的图像，若函数 $g (x)$ 经过点 $(θ ， \frac{8}{5}) ， θ \in (- \frac{π}{3} ， \frac{2}{3} π)$ ，求 $s i n θ$ 的值．

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20. 如图，在三棱锥 $M - A B C$ 中， $M B ⊥$ 平面ABC， $∠ A C B = 90 ° ， M B = 2 ， A B = 4$ ．

(1)、求证：平面 $M A C ⊥$ 平面MBC；

(2)、若直线AB与平面MBC所成角为 $45 °$ ，点E为AM的中点，求二面角 $B - C E - A$ 的正弦值．

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21. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F，点 $P (4 ， y_{0})$ 是抛物线C上一点，点Q是PF的中点，且Q到抛物线C的准线的距离为 $\frac{7}{2}$ ．

(1)、求抛物线C的方程；

(2)、已知圆 $M ： (x - 2)^{2} + y^{2} = 4$ ，圆M的一条切线l与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点，求证：OA，OB的斜率之差的绝对值为定值．

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22. 已知 $f (x) = - \frac{1}{2} x^{2} + m x ， g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + m x - m l n x (m \in R)$ ．

(1)、若函数 $f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线斜率为1，求函数 $g (x)$ 的单调区间；

(2)、已知 $h (x) = f (x) - g (x)$ 的两个零点为 $x_{1} ， x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，且 $x_{0}$ 为 $h (x)$ 的唯一极值点，求证： $2 x_{0} < x_{1} + x_{2}$ ．

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