天津市南开区2021-2022学年高二下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-08-29 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，2，5}，∁_UB={4，5，6}，则集合A∩B=（　　）

A、{1，2} B、{5} C、{1，2，3} D、{3，4，6}

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2. 已知命题 $p$ ： $\forall x > 0$ ，总有 $(x + 1) e^{x} > 1$ ，则命题 $p$ 的否定为（）

A、 $\exists x_{0} \leq 0$ ，使得 $(x_{0} + 1) e^{x_{0}} \leq 1$ B、 $\exists x_{0} > 0$ ，使得 $(x_{0} + 1) e^{x_{0}} \leq 1$ C、 $\forall x > 0$ ，总有 $(x + 1) e^{x} \leq 1$ D、 $\exists x \leq 0$ ，总有 $(x + 1) e^{x} \leq 1$

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3. 若 $a ， b$ 为实数，则“ $0 < a b < 1$ ”是“ $b < \frac{1}{a}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 已知函数 $y = f (x)$ 的大致图像如图所示，则函数 $y = f (x)$ 的解析式应为（）

A、 $f (x) = e^{x} l n x$ B、 $f (x) = e^{- x} l n | x |$ C、 $f (x) = e^{x} l n | x |$ D、 $f (x) = e^{| x |} l n | x |$

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5. 已知 $a = 2^{- \frac{1}{3}}$ ， $b = {log}_{2} \frac{1}{3}$ ， $c = {log}_{\frac{1}{2}} \frac{1}{3}$ ，则（）．

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $c > a > b$ D、 $c > b > a$

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6. 在 $(1 - x)^{5} + (1 - x)^{6} + (1 - x)^{7} + (1 - x)^{8}$ 的展开式中，含 $x^{3}$ 的项的系数是（）

A、74 B、121 C、-74 D、-121

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7. 某化工厂生产中需依次投放2种化工原料，现已知有5种原料可用，但甲、乙两种原料不能同时使用，且依次投料时，若使用甲原料，则甲必须先投放，则不同的投放方案有（）.

A、10种 B、12种 C、15种 D、16种

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8. 已知变量 $x$ 和 $y$ 的统计数据如下表：

$x$

3

4

5

6

7

$y$

2.5

3

4

4.5

6

根据上表可得回归直线方程为 $\hat{y} = \hat{b} x - 0.25$ ，据此可以预测当 $x = 8$ 时， $y$ 的估计值为（）

A、6.4 B、6.25 C、6.55 D、6.45

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9. 某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度（支持与不支持）的关系，运用 $2 \times 2$ 列联表进行独立性检验，经计算 $K^{2} = 6.705$ ，则所得到的统计学结论是：认为“学生性别与支持该活动没有关系”的把握有（）
附：
$P (K^{2} \geq k_{0})$
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
$K_{0}$
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828

A、99.9% B、99% C、1% D、0.1%

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10. 已知函数 $f (x) = x^{2} + (b - \sqrt{4 - a^{2}}) x + 2 a - b$ 是偶函数，则f（x）的图象与y轴交点的纵坐标的最大值是（）.

A、6 B、4 C、2 D、0

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二、填空题

11. ${(\frac{\sqrt{x}}{3} - \frac{3}{\sqrt{x}})}^{12}$ 的展开式的中间一项为.

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12. 从一副不含大小王的52张扑克牌中，每次从中随机抽出1张扑克牌，抽出的牌不再放回.已知第一次抽到A牌，则第二次抽到A牌的概率为.

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13. 计算： $2 (l o g_{4} 3 + l o g_{8} 3) (l o g_{3} 2 + l o g_{9} 2) =$

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14. 已知随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (3 ， 1)$ ，且 $P (X > 2 c - 1) = P (X < c + 3)$ ，则 $c =$ ．

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15. 已知x＞0，y＞0，x+3y+xy=9，则x+3y的最小值为

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三、解答题

16. 一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球共10个，已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是 $\frac{2}{5}$ ；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是 $\frac{7}{9}$ .

(1)、求白球的个数；

(2)、从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为 $ζ$ ，求随机变量 $ζ$ 的数学期望E $ζ$

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17. 已知函数 $f (x) = x^{3} + x - 16$

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点（2，—6）处的切线的方程；

(2)、已知函数 $g (x) = f (x) - 3 a x^{2} + (2 b - 1) x + 16$ 在点 $x = 1$ 处有极小值—1，试确定a，b的值，并求出g（x）的单调区间.

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18. 已知函数 $f (x) = \ln \frac{x + 1}{x - 1}$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的定义域，并判断函数 $f (x)$ 的奇偶性；

(2)、对于 $x \in [2, 6]$ ， $f (x) > \ln \frac{m}{(x - 1) (7 - x)}$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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19. 如图，A地到火车站共有两条路径 $L_{1}$ 和 $L_{2}$ ，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在各时间段内的频率如下表：
时间（分钟）
$10 ∼ 20$
$20 ∼ 30$
$30 ∼ 40$
$40 ∼ 50$
$50 ∼ 60$
$L_{1}$ 的频率
0.1
0.2
0.3
0.2
0.2
$L_{2}$ 的频率
0
0.1
0.4
0.4
0.1
现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站．
（Ⅰ）为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？
（Ⅱ）用X表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对（Ⅰ）的选择方案，求X的分布列和数学期望．

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20. 已知函数 $f (x) = (x^{2} - 3 x + 3) \cdot e^{x}$ 定义域为 $[- 2 ， t] (t > - 2)$ ，设 $f (- 2) = m ， f (t) = n$ .

(1)、试确定 $t$ 的取值范围，使得函数 $f (x)$ 在 $[- 2 ， t]$ 上为单调函数；

(2)、求证： $n > m$ ；

(3)、求证：对于任意的 $t > - 2$ ，总存在 $x_{0} \in (- 2 ， t)$ ，满足 $\frac{f^{^{'}} (x_{0})}{e^{x_{0}}} = \frac{2}{3} (t - 1)^{2}$ ，并确定这样的 $x_{0}$ 的个数.

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$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.100	0.050	0.025	0.010	0.001
$K_{0}$	2.706	3.841	5.024	6.635	10.828

时间（分钟）	$10 ∼ 20$	$20 ∼ 30$	$30 ∼ 40$	$40 ∼ 50$	$50 ∼ 60$
$L_{1}$ 的频率	0.1	0.2	0.3	0.2	0.2
$L_{2}$ 的频率	0	0.1	0.4	0.4	0.1

$x$	3	4	5	6	7
$y$	2.5	3	4	4.5	6