天津市部分区2021-2022学年高二下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-08-29 类型：期末考试

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一、单选题

1. 如图所示，散点图中需要去掉一组数据，使得剩下的四组数据的相关系数最大，则应去掉的数据所对应的点为（）

A、A B、B C、C D、D

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2. 已知 $C_{n}^{2} = 6$ ，则 $n$ 的值为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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3. 下列说法中错误的是（）

A、设 $ξ \sim N (0 ， σ^{2})$ ，且 $P (ξ < - 2) = \frac{1}{4}$ ，则 $P (0 < ξ < 2) = \frac{1}{2}$ B、经验回归方程过成对样本数据的中心点 $(\bar{x} ， \bar{y})$ C、两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1 D、若变量 $x$ 和 $y$ 满足关系 $y = 1 - 0.3 x$ ，且变量 $y$ 与 $z$ 正相关，则 $x$ 与 $z$ 负相关

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4. 下列运算正确的个数是（）
① ${(s i n \frac{π}{7})}^{^{'}} = c o s \frac{π}{7}$ ；② ${(5^{x})}^{^{'}} = x \cdot 5^{x - 1}$ ；③ ${(l o g_{3} x)}^{^{'}} = \frac{1}{x l n 3}$ ；④ ${(x^{5})}^{^{'}} = 5 x^{4}$ .

A、1 B、2 C、3 D、4

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5. 在 ${(x - \frac{1}{x})}^{6}$ 的展开式中， $x^{4}$ 的系数是（）

A、15 B、6 C、-6 D、-15

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6. 某校从高一、高二、高三三个年级中各选派10名同学集中观看“庆祝中国共产主义青年团成立100周年大会”，其中三个年级选派同学中女生人数分别为5、6、7，观看后学校在选派的30名同学中随机选取一名同学汇报心得体会，则在选取一名女同学的条件下该名女同学来自高三年级的概率为（）

A、 $\frac{7}{30}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{11}{30}$ D、 $\frac{7}{18}$

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7. 随机变量 $X$ 的分布列为

$X$

0

1

$m$

$P$

$\frac{1}{5}$

$n$

$\frac{3}{10}$

若 $E (X) = 1.1$ ，则 $D (X) =$ （）

A、0.49 B、0.69 C、1 D、2

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8. 在6件产品中，有4件合格品，2件次品，每次从中任取一件检测，取后不放回，直到2件次品全被测出为止，则第二件次品恰好在第3次被测出的所有检测方法种数有（）

A、48 B、24 C、16 D、8

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9. 已知函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 1) = {\begin{array}{l} a x + a ， x \leq - 1 \\ l n (x + 1) ， x > - 1 \end{array}$ 函数 $g (x) = f (x) - f (- x)$ 恰有5个零点，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- \frac{1}{e} ， 0)$ B、 $(0 ， \frac{1}{e})$ C、 $(- \frac{1}{e} ， \frac{1}{e})$ D、 $(\frac{1}{e} ， + ∞)$

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二、填空题

10. 曲线 $y = e^{x} + 1$ 在点 $(0 ， 2)$ 处的切线方程为.

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11. 设随机变量 $ξ ∼ B (6 ， \frac{1}{2})$ ，则 $P (ξ = 2)$ 等于.

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12. 已知10名同学中有2名女生，若从中选取2名同学作为学生代表，则恰好选取1名女生的概率为.

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13. 根据历年气象统计资料显示，某地四月份吹东风的概率为 $\frac{9}{30} ，$ 下雨的概率为 $\frac{11}{30}$ ，既吹东风又下雨的概率为 $\frac{8}{30}$ ，则在吹东风的条件下下雨的概率为.

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14. 若5个人排成一排照相，要求甲､乙两人必须相邻，则有种不同的排法（用数字作答）.

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15. 已知函数 $f (x) = e^{x} (x - 1)$ ，则 $f (x)$ 的极小值为；若函数 $g (x) = m x - \frac{1}{2}$ ，对于任意的 $x_{1} \in [- 2 ， 2]$ ，总存在 $x_{2} \in [- 1 ， 2]$ ，使得 $f (x_{1}) > g (x_{2})$ ，则实数 $m$ 的取值范围是.

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三、解答题

16. 为调查某商品一天的销售量及其价格是否具有线性相关关系，某市发改委随机选取五个超市的销售情况进行统计，数据如下表：
价格 $x$ （元）
8
$9.5$
10
$10.5$
12
销售量 $y$ （件）
11
10
8
6
5
通过分析，发现商品的销售量y与价格x具有线性相关关系.
附：在经验回归方程 $\hat{y} = \hat{b} t + \hat{a}$ 中， $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}} ， \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x} ， \sum_{i = 1}^{5} x_{i} y_{i} = 386 ， \sum_{i = 1}^{5} x_{i}^{2} = 508.5$

(1)、根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的经验回归方程；（ $\hat{b}$ 保留两位小数）

(2)、根据（1）所得的经验回归方程，若使销售量为12件，估计价格是多少，（结果保留两位小数）

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17. 已知函数 $f (x) = x^{2} (x - 2)$ .

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、求 $f (x)$ 在区间 $[- 1 ， 3]$ 上的最大值和最小值.

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18. 心理健康越来越受到人们的重视，某高校将录制的心理健康讲座视频放在网站上播放.为了解观看该视频的人群年龄结构情况，从全市随机抽取了50人，对是否观看的情况进，行调查，结果如下表：
年龄（单位：岁）
$[20 ， 30)$
$[30 ， 40)$
$[40 ， 50)$
$[50 ， 60)$
$[60 ， 70)$
$[70 ， 80]$
调查人数
4
11
15
8
7
5
观看讲座人数
4
11
12
6
3
1

(1)、以年龄50岁为分界点，由以上统计数据完成下面 $2 \times 2$ 列联表.

年龄低于50岁的人数
年龄不低于50岁的人数
合计
观看讲座人数
未观看讲座人数
合计

(2)、根据（1）中列联表判断是否有99%的把握认为是否观看讲座与人的年龄有关.
下面的临界值表供参考：
$P (x^{2} \geq x_{a})$
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
$x_{a}$
2.027
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
独立性检验统计量 $χ^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$

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19. 已知条件①采用无放回抽取：②采用有放回抽取，请在上述两个条件中任选一个，补充在下面问题中横线上并作答，选两个条件作答的以条件①评分.
问题：在一个口袋中装有3个红球和4个白球，这些球除颜色外完全相同，若_______，从这7个球中随机抽取3个球，记取出的3个球中红球的个数为X，求随机变量X的分布列和期望.

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20. 设函数 $f (x) = e^{x} - a x + 3$ （ $a \in R$ ）.

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的极值；

(2)、若函数 $f (x)$ 在区间 $[1 ， 2]$ 上的最小值是4，求a的值.

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价格 $x$ （元）	8	$9.5$	10	$10.5$	12
销售量 $y$ （件）	11	10	8	6	5

年龄（单位：岁）	$[20 ， 30)$	$[30 ， 40)$	$[40 ， 50)$	$[50 ， 60)$	$[60 ， 70)$	$[70 ， 80]$
调查人数	4	11	15	8	7	5
观看讲座人数	4	11	12	6	3	1

	年龄低于50岁的人数	年龄不低于50岁的人数	合计
观看讲座人数
未观看讲座人数
合计

$P (x^{2} \geq x_{a})$	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$x_{a}$	2.027	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

$X$	0	1	$m$
$P$	$\frac{1}{5}$	$n$	$\frac{3}{10}$