河北省张家口市2021-2022学年高二下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-08-29 类型：期末考试

进入出卷网下载

一、单选题

1. 设全集 $U = R$ ，集合 $A = {x | - 1 \leq x < 1} ， B = {- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ ，则集合 $(∁_{U} A) ∩ B =$ （）

A、 ${1 ， 2}$ B、 ${- 1 ， 0}$ C、 ${- 2 ， 1 ， 2}$ D、 ${- 2 ， - 1 ， 2}$

查看试题解析
2. $A_{4}^{2} - C_{5}^{3} =$ （）

A、2 B、22 C、12 D、10

查看试题解析
3. 已知 $a ， b$ 为实数，则“ $a^{2} > b^{2}$ ”是“ $a^{3} > b^{3} > 0$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

查看试题解析
4. 已知 $X ∼ N (2 ， σ^{2})$ ，且 $P (X < 4) = 0.7$ ，则 $P (0 < X < 4) =$ （）

A、0.3 B、0.4 C、0.6 D、0.7

查看试题解析
5. 中国古乐中以“宫､商､角､徵､羽”为五个基本音阶，故有成语“五音不全”之说，若用这五个基本音阶排成5音阶的所有音序，则“宫”､“羽”两音阶不相邻的音序共有（）

A、72种 B、36种 C、48种 D、24种

查看试题解析
6. 已知函数 $f (x) = 3 x + x s i n x + c o s x ， f^{'} (x)$ 是函数 $f (x)$ 的导数，则 $f^{'} (\frac{π}{2}) =$ （）

A、0 B、π C、 $\frac{π}{2}$ D、3

查看试题解析
7. 某个闯关游戏规定：闯过前一关才能去闯后一关，若某一关没有通过，则游戏结束.小明闯过第一关的概率为 $\frac{3}{4}$ ，连续闯过前两关的概率为 $\frac{1}{2}$ ，连续闯过前三关的概率为 $\frac{1}{3}$ ，且各关相互独立.事件 $A$ 表示小明第一关闯关成功，事件 $C$ 表示小明第三关闯关成功，则 $P (C | A) =$ （）

A、 $\frac{1}{8}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{4}{9}$

查看试题解析
8. 函数 $f (x) = \frac{\sqrt{(x^{2} + 1) (16 x^{2} + 1)}}{4 x^{2} + 1}$ 的最大值是（）

A、2 B、 $\frac{7}{4}$ C、 $\frac{5}{4}$ D、 $\frac{3}{4}$

查看试题解析

二、多选题

9. 下列命题中正确的是（）

A、若 $a b > b^{2}$ ，则 $a > b$ B、已知 $a ＞ 0 ， b ＞ 0$ ，若 $a + b = 4$ ，则 $a b \leq 4$ C、已知 $a ＞ 0 ， b ＞ 0$ ，若 $a b = 4$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq 1$ D、命题“ $\forall a \geq b$ ，都有 $\frac{1}{a} \leq \frac{1}{b}$ 成立”的否定是“ $\exists a < b$ ，使 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ 成立”

查看试题解析
10. 变量 $x$ 与 $y$ 的成对数据的散点图如下图所示，并由最小二乘法计算得到回归直线 $l_{1}$ 的方程为 $\hat{y} = {\hat{b}}_{1} x + {\hat{a}}_{1}$ ，相关系数为 $r_{1}$ ，决定系数为 $R_{1}^{2}$ ；经过残差分析确定第二个点 $B$ 为离群点（对应残差过大），把点 $B$ 去掉后，再用剩下的7组数据计算得到回归直线 $l_{2}$ 的方程为 $\hat{y} = {\hat{b}}_{2} x + {\hat{a}}_{2}$ ，相关系数为 $r_{2}$ ，决定系数为 $R_{2}^{2}$ .则以下结论中正确的是（）

A、 ${\hat{a}}_{1} < {\hat{a}}_{2}$ B、 ${\hat{b}}_{1} < {\hat{b}}_{2}$ C、 $r_{1} > r_{2}$ D、 $R_{1}^{2} < R_{2}^{2}$

查看试题解析
11. 已知 ${(1 + x - x^{2})}^{5} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + ⋯ + a_{10} x^{10}$ ，则（）

A、 $a_{0} + a_{1} + a_{2} + a_{3} + ⋯ + a_{10} = 1$ B、 $a_{1} + a_{3} + a_{5} + a_{7} + a_{9} = - 1$ C、 $a_{0} + a_{2} + a_{4} + a_{6} + a_{8} + a_{10} = 0$ D、 $a_{1} + 2 a_{2} + 3 a_{3} + ⋯ + 10 a_{10} = - 5$

查看试题解析
12. 一种疾病需要通过核酸检测来确定是否患病，检测结果呈阴性即没患病，呈阳性即为患病，已知7人中有1人患有这种疾病，先任取4人，将他们的核酸采样混在一起检测.若结果呈阳性，则表明患病者为这4人中的1人，然后再逐个检测，直到能确定患病者为止；若结果呈阴性，则在另外3人中逐个检测，直到能确定患病者为止.则（）

A、最多需要检测4次可确定患病者 B、第2次检测后就可确定患病者的概率为 $\frac{2}{7}$ C、第3次检测后就可确定患病者的概率为 $\frac{2}{7}$ D、检测次数的期望为 $\frac{22}{7}$

查看试题解析

三、填空题

13. 在 ${(x - 2)}^{6}$ 的展开式中，含 $x^{4}$ 项的系数为．

查看试题解析
14. 函数 $f (x) = x + l n x$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程为.

查看试题解析
15. 已知甲盒和乙盒中有大小相同的球，甲盒中有4个红球和2个白球，乙盒中有3个红球和2个白球，先从乙盒中任取两球，放入甲盒中，然后从甲盒中任取一球，则最终取到的球是白球的概率为.

查看试题解析
16. 已知函数 $f (x) = e x^{2} - a e^{x}$ 有三个零点，则实数 $a$ 的取值范围是.

查看试题解析

四、解答题

17. 已知函数 $f (x) = \frac{2}{3} x^{3} - x^{2} - 4 x + 5$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[- 3 ， 3]$ 上的最大值和最小值.

查看试题解析
18. 某班4名女生和3名男生站在一排.

(1)、求4名女生相邻的站法种数；

(2)、在这7人中随机抽取3人，记其中女生的人数为X，求随机变量X的分布列和期望 $E (X)$ 的值.

查看试题解析
19. 某市统计了近7年的实际利用外资金额 $y$ （单位：亿元）的数据，得到下面的表格：
年份
2015
2016
2017
2018
2019
2020
2021
年份代号 $x$
1
2
3
4
5
6
7
实际利用外资金额 $y$ （单位：亿元）
25
41
50
58
64
78
89
由表中数据，求得变量 $x ， y$ 的相关系数 $r \approx 0.9931$ ，可判定变量 $x ， y$ 线性相关关系较强.
附：对于一组数据 $(x_{1} ， y_{1}) ， (x_{2} ， y_{2}) ， ⋯ ， (x_{n} ， y_{n})$ ，其回归直线 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 的料率和截距的最小二乘估计分别为： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \cdot \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}} ， \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ .参考数据： $\sum_{i = 1}^{7} y_{i} = 405 ， \sum_{i = 1}^{7} x_{i} y_{i} = 1900$ .

(1)、建立 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程；

(2)、根据（1）的结果，预测该市实际利用外资金额首次超过150亿元的年份.

查看试题解析
20. 某中医研究所研制了一种治疗A疾病的中药，为了解其对A疾病的作用，要进行双盲实验.把60名患有A疾病的志愿者随机平均分成两组，甲组正常使用这种中药，乙组用安慰剂代替中药，全部疗期后，统计甲､乙两组的康复人数分别为20和5.
附表：
$α$
0.100
0.05
0.01
0.005
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10828
附： $χ^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
注：双盲实验：是指在实验过程中，测验者与被测验者都不知道被测者所属的组别，（实验组或对照组），分析者在分析资料时，通常也不知道正在分析的资料属于哪一组.旨在消除可能出现在实验者和参与者意识当中的主观偏差和个人偏好.安慰剂：是指没有药物治疗作用，外形与真药相像的片､丸､针剂.

(1)、根据所给数据，完成下面2×2列联表，并依据小概率值 $α = 0.001$ 的独立性检验，能否认为使用这种中药与A疾病康复有关联？

康复
末康复
单位：
甲组
乙组
合计

(2)、若将乙组末用药（用安慰剂代替中药）而康复的频率视为这种疾病的自愈概率，现从患有 $A$ 疾病的人群中随机抽取4人，记其中能自愈的人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望.

查看试题解析
21. 已知投资甲､乙两个项目的利润率分别为随机变量 $X_{1}$ 和 $X_{2}$ .经统计分析， $X_{1}$ 和 $X_{2}$ 的分布列分别为
表1：
$X_{1}$
0.3
0.18
0.1
$P$
0.2
0.5
0.3
表2：
$X_{2}$
0.25
0.15
$P$
0.2
0.8

(1)、若在甲､乙两个项目上各投资100万元， $Y_{1}$ 和 $Y_{2}$ 分别表示投资甲､乙两项目所获得的利润，求 $Y_{1}$ 和 $Y_{2}$ 的数学期望和方差，并由此分析投资甲､乙两项目的利弊；

(2)、若在甲､乙两个项目总共投资100万元，求在甲､乙两个项目上分别投资多少万元时，可使所获利润的方差和最小？注：利润率 $= \frac{利润}{投资额}$ .

查看试题解析
22. 已知函数 $f (x) = x - (x + 1) l n (x + 1)$ .

(1)、证明： $f (x) \leq 0$ ；

(2)、若 $x \geq 0$ 时， $f (x) \geq a x^{2}$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.

查看试题解析

年份	2015	2016	2017	2018	2019	2020	2021
年份代号 $x$	1	2	3	4	5	6	7
实际利用外资金额 $y$ （单位：亿元）	25	41	50	58	64	78	89

$α$	0.100	0.05	0.01	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10828

	康复	末康复	单位：
甲组
乙组
合计

$X_{1}$	0.3	0.18	0.1
$P$	0.2	0.5	0.3

$X_{2}$	0.25	0.15
$P$	0.2	0.8