河北省邢台市2021-2022学年高二下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-08-29 类型：期末考试

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一、单选题

1. 若集合 $M = {x | - 2 < x \leq 4}$ ， $N = {x | 4 \leq x \leq 6}$ ，则（）

A、 $M \subseteq N$ B、 $M ∩ N = {4}$ C、 $M \supseteq N$ D、 $M ∪ N = {x | - 2 < x < 6}$

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2. 若复数z满足 $z i = 1 - 3 i$ ， $\bar{z}$ 为z的共轭复数，则 $\bar{z} =$ （）

A、 $3 + i$ B、 $3 - i$ C、 $- 3 - i$ D、 $- 3 + i$

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3. 若向量 $\vec{a} = (t ， t - 1)$ ， $\vec{b} = (3 ， 2)$ 满足 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $t =$ （）

A、-2 B、2 C、3 D、-3

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4. 一个质点的位移s（单位：m）与时间t（单位：s）满足函数关系式 $s = 3 t^{2} - {(2 t + 1)}^{2} + 1$ ，则当 $t = 1$ 时，该质点的瞬时速度为（）

A、 $2 m / s$ B、 $3 m / s$ C、 $- 3 m / s$ D、 $- 2 m / s$

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5. 设单调递增的等比数列 ${a_{n}}$ 满足 $\frac{1}{a_{2}} + \frac{1}{a_{4}} = \frac{13}{36}$ ， $a_{1} a_{5} = 36$ ，则公比 $q =$ （）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{9}{4}$ C、2 D、 $\frac{5}{2}$

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6. 回文联是我国对联中的一种，它是用回文形式写成的对联，既可顺读，也可倒读，不仅意思不变，而且颇具趣味．相传，清代北京城里有一家饭馆叫“天然居”，曾有一副有名的回文联：“客上天然居，居然天上客；人过大佛寺，寺佛大过人．”在数学中也有这样一类顺读与倒读都是同一个数的正整数，被称为“回文数”，如22，575，1661等．那么用数字1，2，3，4，5可以组成4位“回文数”的个数为（）

A、25 B、20 C、30 D、36

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7. 已知函数 $f (x) = c o s (ω x + \frac{π}{6}) + 2 s i n ω x (ω > 0)$ 的最小正周期为 $π$ ，将函数 $y = f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度后得到函数 $y = g (x)$ 的图象，则函数 $y = g (x)$ 在区间 $(- \frac{π}{3} ， \frac{π}{6})$ 上的值域为（）

A、 $[- \frac{\sqrt{3}}{2} ， \frac{1}{2})$ B、 $(- \frac{\sqrt{3}}{2} ， \frac{\sqrt{3}}{2}]$ C、 $(- \frac{\sqrt{3}}{2} ， \sqrt{3}]$ D、 $(- \frac{\sqrt{3}}{2} ， \sqrt{3})$

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8. 若 $X ~ B (3 ， p)$ ，其中 $0 < p < 1$ ，则 $E (2 X) \cdot D (2 X + 1)$ 的最大值为（）

A、4 B、 $\frac{16}{3}$ C、 $\frac{32}{3}$ D、 $\frac{64}{3}$

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二、多选题

9. 若函数 $f (x)$ 导函数的部分图像如图所示，则（）

A、 $x_{1}$ 是 $f (x)$ 的一个极大值点 B、 $x_{2}$ 是 $f (x)$ 的一个极小值点 C、 $x_{3}$ 是 $f (x)$ 的一个极大值点 D、 $x_{4}$ 是 $f (x)$ 的一个极小值点

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10. 对具有线性相关关系的变量x，y有一组观测数据（ $x_{i}$ ， $y_{i}$ ）（ $i = 1 ， 2 ， 3 ， ⋯ ， 10$ ），已知 $\sum_{i = 1}^{10} x_{i} = 20$ ， $\sum_{i = 1}^{10} y_{i} = 10$ ，则（）

A、数据 $x_{i} - 2 y_{i} + 1$ （ $i = 1 ， 2 ， 3 ， ⋯ ， 10$ ）的平均数为0 B、若变量x，y的经验回归方程为 $\hat{y} = 2 x + \hat{a}$ ，则实数 $\hat{a} = - 3$ C、两个变量x，y的线性相关性越强，则变量x，y的样本相关系数r越大 D、变量x，y的决定系数 $R^{2}$ 越大，则两个变量x，y拟合的效果越好

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11. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ， $a^{2} + b^{2} = 1$ ，则（）

A、 $a b$ 的最大值为 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2 a b + 3}{a + b}$ 的最小值为 $2 \sqrt{2}$ C、 $a^{2} (1 + 2 b^{2})$ 的最大值为 $\frac{9}{4}$ D、 $\frac{1}{a^{2}} + \frac{4}{b^{2}}$ 的最小值为9

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12. 已知函数 $f (x) = e^{x} + x - 2$ 和 $g (x) = l n x + x - 2$ ，若 $f (x_{1}) = g (x_{2}) = 0$ ，则（）

A、 $x_{1} + x_{2} = 2$ B、 $0 < x_{1} < \frac{1}{2}$ C、 $x_{1} \cdot x_{2} > \sqrt{e}$ D、 $\frac{l n x_{1}}{x_{1}} < - x_{2} l n x_{2}$

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三、填空题

13. ${(\frac{1}{x} - 2 x)}^{4}$ 展开式中的常数项为．

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14. 已知 ${a_{n}}$ 是公差不为零的等差数列， $a_{2} + a_{4} = 14$ ，且 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{6}$ 成等比数列，则 $a_{n} =$ ．

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15. 袋中装有11个除颜色外质地大小都相同的球，其中有9个红球，2个黑球．若从中一次性抽取2个球，则恰好抽到1个红球的概率是．

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16. 在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为4的正方形， $A A_{1} = 3$ ，过点 $A_{1}$ 作平面 $α$ 与 $A B ， A D$ 分别交于M，N两点，且 $A A_{1}$ 与平面 $α$ 所成的角为 $30 °$ ，给出下列说法：
①异面直线 $A_{1} B$ 与 $B_{1} C$ 所成角的余弦值为 $\frac{6}{25}$ ；
② $A_{1} B / /$ 平面 $B_{1} D_{1} C$ ；
③点B到平面 $B_{1} C D_{1}$ 的距离为 $\frac{4 \sqrt{34}}{17}$ ；
④截面 $A_{1} M N$ 面积的最小值为6．
其中正确的是（请填写所有正确说法的编号）

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四、解答题

17. 在无穷数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = - 5$ ， $a_{2} = 1$ ， $a_{3} = 7$ ．

(1)、若 ${a_{n}}$ 是等差数列，求 ${a_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ ；

(2)、若 $a_{n} = a n^{2} + \frac{b}{n} + c$ ，求 ${a_{n}}$ 的通项公式．

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18. 已知函数 $f (x) = - \frac{1}{3} x^{3} + x^{2} + 3 x + 1$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间及极值；

(2)、求 $f (x)$ 在区间 $[0 ， 6]$ 上的最值．

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19. 为提升学生的身体素质，某地区对体育测试选拔赛试行改革．在高二一学年中举行4次全区选拔赛，学生如果在4次选拔赛中有2次成绩达到全区前20名即可取得体育特长生资格，不用参加剩余的比赛．规定：每个学生最多只能参加4次选拔比赛，若前3次选拔赛成绩都没有达到全区前20名，则不能参加第4次选拔赛．
参考公式及数据： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．
$a$
0.15
0.10
0.05
0.010
$χ_{0}$
2.072
2.706
3.841
6.635

(1)、若该赛区某次选拔赛高二年级共有500名学生参加，统计出的参赛学生中男、女生成绩如下表：

前20名人数
第21至第500名人数
合计
男生
15
300
女生
195
合计
20
500
请完成上述2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为选拔赛成绩与性别有关．

(2)、假设某学生每次成绩达到全区前20名的概率都是 $\frac{1}{3}$ ，每次选拔赛成绩能否达到全区前20名相互独立．如果该学生参加本年度的选拔赛（规则内不放弃比赛），记该学生参加选拔赛的次数为 $ξ$ ，求 $ξ$ 的分布列及数学期望．

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20. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为45°， $F_{1}$ 到直线l的距离为 $\sqrt{2}$ ．

(1)、求椭圆C的焦距；

(2)、若 $\vec{A F_{2}} = 3 \vec{F_{2} B}$ ，求椭圆C的方程．

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21. 某单位为了激发党员学习党史的积极性，现利用“学习强国”APP中特有的“四人赛”答题活动进行比赛，活动规则如下：一天内参与“四人赛”活动，仅前两局比赛可获得积分，第一局获胜得3分，第二局获胜得2分，失败均得1分，小张周一到周五每天都参加了两局“四人赛”活动，已知小张第一局和第二局比赛获胜的概率分别为p（0＜p＜1）， $\frac{1}{2}$ ，且各局比赛互不影响.

(1)、若 $p = \frac{2}{3}$ ，记小张一天中参加“四人赛”活动的得分为X，求X的分布列和数学期望；

(2)、设小张在这5天的“四人赛”活动中，恰有3天每天得分不低于4分的概率为 $f (p)$ ，试问当p为何值时， $f (p)$ 取得最大值.

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22. 已知函数 $f (x) = 2 l n x - a x + \frac{1}{x}$ ， $g (x) = e^{x} + c o s x - x - 2$ ．

(1)、当 $0 \leq a < 1$ 时，讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、设m，n为正数，且当 $a = 1$ 时， $f (m) = g (n)$ ，证明： $f (e^{- 2 n}) > g (- \frac{1}{2} l n m)$ ．

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	前20名人数	第21至第500名人数	合计
男生	15		300
女生		195
合计	20		500

$a$	0.15	0.10	0.05	0.010
$χ_{0}$	2.072	2.706	3.841	6.635