河北省唐山市滦南县2021-2022学年高二下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-08-29 类型：期末考试

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一、单选题

1. 若随机变量X的分布列如下表所示，则a的值为（）

X

1

2

3

P

0.2

a

3a

A、0.1 B、0.2 C、0.3 D、0.4

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2. 函数 $f (x) = \frac{x}{l n x} (x > 1)$ 单调递减区间是（）

A、 $(1 ， + \infty)$ B、 $(1 ， e^{2})$ C、 $(e ， + \infty)$ D、 $(1 ， e)$

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3. 盒中装有10个乒乓球，其中5个新球，5个旧球，不放回地依次取出2个球使用，在第一次摸出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{1}{10}$ C、 $\frac{4}{9}$ D、 $\frac{2}{5}$

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4. 函数 $y = x l n (2 x + 5)$ 的导数为（）

A、 $l n (2 x + 5) - \frac{x}{2 x + 5}$ B、 $l n (2 x + 5) + \frac{2 x}{2 x + 5}$ C、 $2 x l n (2 x + 5)$ D、 $\frac{x}{2 x + 5}$

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5. 某学校高三模拟考试中数学成绩 $X$ 服从正态分布 $N (75, 121)$ ，考生共有1000人，估计数学成绩在75分到86分之间的人数约为（）人．
参考数据： $P (μ - σ < X < μ + σ) = 0.6826$ ， $P (μ - 2 σ < X < μ + 2 σ) = 0.9544$ ）

A、261 B、341 C、477 D、683

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6. 已知二项式 ${(2 x^{2} - \frac{1}{x})}^{n}$ 的所有二项式系数之和等于128，那么其展开式中含 $\frac{1}{x}$ 项的系数是（）

A、-84 B、-14 C、14 D、84

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7. 为了宣传防疫知识，某单位安排甲、乙、丙、丁4位志愿者到A，B，C三处宣讲且每处至少一人，问甲、乙不去同一地点的概率为（）

A、 $\frac{5}{6}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{25}{27}$ D、 $\frac{1}{6}$

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8. 直线 $y = a$ 分别与曲线 $y = 2 (x + 1)$ ， $y = x + l n x$ 交于 $A ， B$ ，则 $| A B |$ 的最小值为

A、 $\frac{3}{2}$ B、2 C、 $\frac{3 \sqrt{2}}{4}$ D、3

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二、多选题

9. 已知 $(2 - x)^{8} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{8} x^{8}$ ，则（）

A、 $a_{0} = 2^{8}$ B、 $a_{1} + a_{2} + ⋯ + a_{8} = 1$ C、 $| a_{1} | + | a_{2} | + | a_{3} | + ⋯ + | a_{8} | = 3^{8}$ D、 $a_{1} + 2 a_{2} + 3 a_{3} + ⋯ + 8 a_{8} = - 8$

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10. 4名男生和3名女生并坐一排，下列说法正确的是（）

A、男生必须接在一起的坐法有576种 B、女生互不相邻的坐法有1440种 C、男生相邻､女生也相邻的坐法有144种 D、男女生相间的坐法有288种

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11. 设X是随机变量，那么（）

A、若 $X \sim B (4 ， \frac{1}{4})$ ，则 $E (2 X + 3) = 5$ B、若 $X - N (1 ， σ^{2})$ ， $P (X ≤ 4) = 0.79$ ，则 $P (X ≤ - 2) = 0.21$ C、若 $X ∼ N (3 ， 2^{2})$ ， $X = 2 Y + 3$ ，则 $D (Y) = 1$ D、若 $X - B (4 ， \frac{1}{4})$ ，则 $σ (2 X + 3) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

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12. 设函数 $f (x) = (x^{2} - 3) e^{x}$ ，则（）

A、若方程 $f (x) = b$ 恰有三个不同实根，则 $- 2 e < b < \frac{6}{e^{3}}$ B、若方程 $f (x) = b$ 恰有一个实根，则 $b > \frac{6}{e^{3}}$ C、 $f (x)$ 有极大值，但无最大值 D、 $f (x)$ 有极小值，也有最小值

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三、填空题

13. 某地区气象台统计，该地区下雨的概率是 $\frac{4}{15}$ ，刮风的概率为 $\frac{2}{15}$ ，既刮风又下雨的概率为 $\frac{1}{10}$ ，则在刮风天里，下雨的概率为.

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14. 有 $3$ 名男演员和2名女演员，演出的出场顺序要求2名女演员之间恰有1名男演员，则不同的出场顺序共种

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15. 两个线性相关变量x与y的统计数据如表：

x

9

9.5

10

10.5

11

y

11

10

8

6

5

其回归直线方程是 $\hat{y} = \hat{b} x + 40$ ，则相应于点 $(9 ， 11)$ 的残差为．

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16. 设 $\lim_{Δ x \to 0} \frac{f (2 + Δ x) - f (2 - Δ x)}{Δ x} = - 2$ ，则曲线 $y = f (x)$ 在点 $(2 ， f (2))$ 处的切线的倾斜角是．

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四、解答题

17. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + a x + b$ ，当 $x = 2$ 时， $y = f (x)$ 有极小值 $- \frac{4}{3}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式：

(2)、求函数 $f (x)$ 在 $[- 4 ， 1]$ 上的最大值和最小值.

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18. 为过接2022年北京冬季奥运会，普及冬奥知识，某校开展了“冰雪答题王”冬奥知识竞赛活动，现从参加冬奥知识竞赛活动的学生中随机抽取了100名学生，将他们的比赛成绩（满分为100分）为6组： $[40 ， 50)$ ， $[50 ， 60)$ ， $[60 ， 70)$ ， $[70 ， 80)$ ， $[80 ， 90)$ ， $[90 ， 100]$ ，得到如图所示的频率分布直方图.
参考公式及数据： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (n + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$ .
$P (K^{2} \geq x_{0})$
0.10
0.05
0.025
0.01
0.005
0.001
$x_{0}$
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

(1)、求a的值；

(2)、记A表示事件“从参加冬奥知识竞赛活动的学生中随机抽取一名学生，该学生的比赛成绩不低于80分”，估计A的概率；

(3)、在抽取的100名学生中，规定：比赛成绩不低于80分为“优秀”，比赛成低于90分为“非优秀”，请将下面的 $2 \times 2$ 列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”？

优秀
非优秀
合计
男生
40
女生
50
合计
100

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19. 某种水果按照果径大小可分为四类：标准果、优质果、精品果、礼品果.某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：
等级
标准果
优质果
精品果
礼品果
个数
10
30
40
20

(1)、若将频率视为概率，从这100个水果中有放回地随机抽取4个，求恰好有2个水果是礼品果的概率.（结果用分数表示）

(2)、用样本估计总体，果园老板提出两种购销方案给采购商参考.
方案1：不分类卖出，单价为20元 $/ k g$ .
方案2：分类卖出，分类后的水果售价如下：
等级
标准果
优质果
精品果
礼品果
售价(元/kg）
16
18
22
24
从采购商的角度考虑，应该采用哪种方案？

(3)、用分层抽样的方法从这100个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中随机抽取3个， $X$ 表示抽取的是精品果的数量，求 $X$ 的分布列及数学期望 $E (X)$ .

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20. 已知函数 $f (x) = l n x + \frac{2}{x}$

(1)、求 $f (x)$ 的极小值；

(2)、已知函数 $g (x) = f (x) + \frac{3 x}{a} - 2 x^{2} - \frac{2}{x}$ ，其中 $a$ 为常数且 $a \neq 0$ ，若函数 $g (x)$ 在区间 $[1 ， 2]$ 上为单调增函数，求实数 $a$ 的取值范围.

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21. 某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得下表数据：
x
6
8
10
12
y
2
3
5
6
参考公式： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ；相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} \sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ ；

(1)、请根据上表提供的数据，用相关系数r说明y与x的线性相关程度；（结果保留小数点后两位，参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.414$ ）

(2)、请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ；

(3)、试根据求出的线性回归方程，预测记忆力为9的同学的判断力．

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22. 已知函数 $f (x) = a e^{x} - s i n x - 1$ ，其中 $a \in R$ ， e是自然对数的底数．

(1)、当 $a = 1$ 时，证明：对 $\forall x \in [0 ， + ∞)$ ， $f (x) \geq 0$ ；

(2)、若函数 $f (x)$ 在 $(0 ， \frac{π}{2})$ 上存在极值，求实数a的取值范围．

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$P (K^{2} \geq x_{0})$	0.10	0.05	0.025	0.01	0.005	0.001
$x_{0}$	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

等级	标准果	优质果	精品果	礼品果
售价(元/kg）	16	18	22	24

X	1	2	3
P	0.2	a	3a

x	9	9.5	10	10.5	11
y	11	10	8	6	5

	优秀	非优秀	合计
男生		40
女生			50
合计			100