河北省石家庄市六县联考2021-2022学年高二下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-08-29 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | 2 - x < 1}$ ， $B = {x | - 1 < x < 4}$ ，则 $A ∪ B =$ （）

A、 $(1 ， 4)$ B、 $(- 1 ， 1)$ C、 $(- \infty ， 4)$ D、 $(- 1 ， + \infty)$

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2. 7月3日，甲、乙两人从邢台各自乘坐火车到石家庄，当天从刑台到石家庄有11个车次，其中有5个车次的发车时间为凌晨1点到凌晨5点，有6个车次的发车时间为早上7点到晚上6点.已知甲选择凌晨6点以后出发的车次，乙选择凌晨1点到晚上6点出发的车次，则两人车次的不同选择共有（）

A、11种 B、36种 C、66种 D、121种

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3. 已知四边形 $A B C D$ 为平行四边形，则“ $A C = B D$ ”是“ $\vec{A B} \cdot \vec{A D} = 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、充要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 从4名女志愿者和5名男志愿者中各选2名，并将选取的4名志愿者分到4个不同的社区，每个社区分配1名志愿者，则不同的分配方法种数为（）

A、960 B、1200 C、1260 D、1440

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5. 向某容器内注入水，已知容器中水的高度h（单位： $c m$ ）与时间t（单位：s）的函数关系式为 $h = \frac{1}{3} t^{3} + t^{2} - \frac{4}{t + 1} + 4$ ，则当 $t = 1$ 时，容器中水的高度的瞬时变化率为（）

A、 $2 c m / s$ B、 $4 c m / s$ C、 $3 c m / s$ D、 $\frac{8}{3} c m / s$

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6. 某市场供应的电子产品中，来自甲厂的占65%，来自乙厂的占35%.已知甲厂产品的合格率是92%，乙厂产品的合格率是90%.若从该市场供应的电子产品中任意购买一件电子产品，则该产品是合格品的概率为（）

A、59.8% B、90.6% C、91.3% D、91.4%

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7. 某箱脐橙共有18个，其中有少部分是坏果.若从这箱脐橙中任取2个，恰好取到1个坏果的概率为 $\frac{5}{17}$ ，则这箱脐橙中坏果的个数为（）

A、3 B、5 C、2 D、4

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8. 已知实数 $a > 0$ ， $b > 0$ ， $a \neq 1$ ，且 $l n b = \frac{a - 1}{\sqrt{a}}$ ，则必有（）

A、 $l o g_{a} b > 1$ B、 $a < b$ C、 $l o g_{a} b < 1$ D、 $a > b$

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二、多选题

9. 一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4.连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A为“两次记录的数字之和为奇数”，事件B为“第一次记录的数字为奇数”，事件C为“第二次记录的数字为偶数”，则下列结论错误的是（）

A、事件B与事件C是对立事件 B、事件A与事件B不是相互独立事件 C、 $P (A B C) = \frac{1}{8}$ D、 $P (A) \cdot P (B) \cdot P (C) = \frac{1}{8}$

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10. 已知 ${(8 - 9 x)}^{7} = a_{0} + a_{1} x + ⋯ + a_{7} x^{7}$ ，则（）

A、 $a_{0} + a_{1} + ⋯ + a_{7} = 1$ B、 $a_{1} = - 63 \times 8^{6}$ C、 $a_{1} + 2 a_{2} + 3 a_{3} + ⋯ + 7 a_{7} = - 63$ D、 $| a_{0} | + | a_{1} | + ⋯ + | a_{7} | = 1 7^{7}$

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11. 下列说法正确的是（）

A、甲､乙､丙､丁4人站成一排，甲不在最左端，则共有 $C_{3}^{1} A_{3}^{3}$ 种排法 B、3名男生和4名女生站成一排，则3名男生相邻的排法共有 $A_{4}^{4} A_{3}^{3}$ 种 C、3名男生和4名女生站成一排，则3名男生互不相邻的排法共有 $A_{4}^{4} A_{5}^{3}$ 种 D、3名男生和4名女生站成一排，3名男生互不相邻且女生甲不能排在最左端的排法共有1296种

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12. 若两曲线 $y = x^{2} - 1$ 与 $y = a l n x - 1$ 存在公切线，则正实数a的取值可能是（）

A、1.2 B、4 C、5.6 D、 $2 e$

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三、填空题

13. 已知某地区家兔的寿命超过6岁的概率为0.72，超过8岁的概率为0.12.那么在该地区一只寿命超过6岁的家兔的寿命超过8岁的概率为.

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14. 已知 $a b > 0 ， a + b = 1$ ，则 $\frac{a + 4 b}{a b}$ 的最小值为.

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15. 据文献记载，《百家姓》成文于北宋初年，下表记录了《百家姓》开头的24大姓氏：
赵
钱
孙
李
周
吴
郑
王
冯
陈
褚
卫
蒋
沈
韩
杨
朱
秦
尤
许
何
吕
施
张
下表记录2021年中国人口最多的前12大姓氏：
1：李
2：王
3：张
4：刘
5：陈
6：杨
7：赵
8：黄
9：周
10：吴
11：徐
12：孙
从《百家姓》开头的24大姓氏中随机选取3个姓氏，则这3个姓氏至多有2个是2021年中国人口最多的前12大姓氏的概率为.（用最简分数表示）

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16. 设函数 $f (x)$ 满足 $2 f (x) + f (- x) = x^{3} - 9 x^{2}$ ，则函数 $g (x) = f (f (x) + 3)$ 的零点个数为.

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四、解答题

17. 已知 ${(\sqrt{3} a - \sqrt{2} b)}^{n}$ （n为正整数）展开式的各项二项式系数之和为256.

(1)、求展开式中的第3项；

(2)、若 $b = \frac{1}{a}$ ，求展开式中的常数项.

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18. 2022年北京冬奥组委发布的《北京2022年冬奥会和冬残奥会经济遗产报告（2022）》显示，北京冬奥会签约了50家赞助企业.为了解这50家赞助企业每天的销售额与每天线上销售时间之间的相关关系，某平台对这50家赞助企业进行跟踪调查，其中每天线上销售时间不少于8小时的企业有20家，余下的企业中，每天的销售额不足30万元的企业占，统计后得到如下2×2列联表：

每天的销售额不少于30万元
每天的销售额不足30万元
合计
每天线上销售时间不少于8小时
18
每天线上销售时间不足8小时
合计
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d + b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$
$α$
0.10
0.05
0.010
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
10.828

(1)、请完成上面的2×2列联表，并依据 $α = 0.05$ 的独立性检验，能否认为赞助企业每天的销售额与每天线上销售时间有关？

(2)、从线上销售时间不少于8小时的赞助企业中随机抽取3家，记销售额不少于30万元的赞助企业的数量为X，求X的分布列.

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19. 某市高二英语会考成绩X服从正态分布 $N (μ ， 9)$ ，且 $P (X \leq 90) = P (X \geq 96)$ ，已知英语成绩不低于90分为及格.
附：若 $X ~ N (μ ， σ^{2})$ ，则① $P (μ - σ \leq X \leq μ + σ) = 0.6827$ ， ② $P (μ - 2 σ \leq X \leq μ + 2 σ) = 0.9545$ ， ③ $P (μ - 3 σ \leq X \leq μ + 3 σ) = 0.9973$ .

(1)、求该市高二英语会考成绩的及格率（结果精确到0.01）；

(2)、若从该市参加高二英语会考的学生中任意选取100名，设Y为这100名学生中英语成绩及格的人数，利用（1）的结果，求 $D (2 Y - 1)$ .

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20. 已知函数 $f (x) = x - \frac{a^{3}}{x}$ ．
注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分．

(1)、从① $f (a) = \frac{1}{4}$ ， ② $f^{'} (1) = 2 a^{3}$ 这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答．
若__________，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(a ， f (a))$ 处的切线方程．

(2)、讨论函数 $g (x) = f (x) - (a^{3} + 1) l n x$ 的单调性．

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21. 某大型工厂有5台大型机器，在1个月中，1台机器至多出现 $1$ 次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需1名工人进行维修．每台机器出现故障的概率为 $\frac{1}{2}$ ．已知1名工人每月只有维修1台机器的能力，每台机器不出现故障或出现故障时有工人维修，就能使该厂获得10万元的利润，否则将亏损3万元．该工厂每月需支付给每名维修工人1.5万元的工资．

(1)、若每台机器在当月不出现故障或出现故障时有工人进行维修，则称工厂能正常运行．若该厂只有2名维修工人，求工厂每月能正常运行的概率；

(2)、已知该厂现有4名维修工人．
（ⅰ）记该厂每月获利为 $X$ 万元，求 $X$ 的分布列与数学期望；
（ⅱ）以工厂每月获利的数学期望为决策依据，试问该厂是否应再招聘1名维修工人？

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22. 已知函数 $f (x) = (\frac{1}{2} x^{2} - a x) l n x + 2 a x - \frac{3}{4} x^{2}$ （ $0 < a < e$ ）

(1)、当 $x > 0$ 时，比较 $l n x$ 与 $\frac{2 (x - 1)}{x + 1}$ 的大小；

(2)、若 $f (x)$ 存在两个不同的零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $a < x_{1} < e < x_{2}$ ，证明： $x_{1} + x_{2} < \frac{5 e + 4 a}{e}$ .

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赵	钱	孙	李	周	吴	郑	王	冯	陈	褚	卫
蒋	沈	韩	杨	朱	秦	尤	许	何	吕	施	张

1：李	2：王	3：张	4：刘	5：陈	6：杨
7：赵	8：黄	9：周	10：吴	11：徐	12：孙

	每天的销售额不少于30万元	每天的销售额不足30万元	合计
每天线上销售时间不少于8小时	18
每天线上销售时间不足8小时
合计

$α$	0.10	0.05	0.010	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	10.828

赵	钱	孙	李	周	吴	郑	王	冯	陈	褚	卫
蒋	沈	韩	杨	朱	秦	尤	许	何	吕	施	张

赵	钱	孙	李	周	吴	郑	王	冯	陈	褚	卫
蒋	沈	韩	杨	朱	秦	尤	许	何	吕	施	张