河北省承德市高新区2021-2022学年八年级下学期期末考试数学试题

试卷更新日期：2022-08-29 类型：期末考试

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一、单选题

1. 下列各式计算正确的（）．

A、 $2 - \sqrt{3} = 1$ B、 $3 \sqrt{2} + 2 \sqrt{3} = 5 \sqrt{5}$ C、 $4 \sqrt{5} \div 2 \sqrt{5} = 2 \sqrt{5}$ D、 $3 \sqrt{2} \times 2 \sqrt{3} = 6 \sqrt{6}$

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2. 如图， $R t △ A B C$ 中， $A C = 2$ ， $A B = 4$ ，则BC的长为（）

A、2 B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{10}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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3. 某同学一周中每天体育运动所花时间（单位：分钟）分别为：35，39，45，40，55，48，45，这组数据的中位数是（）．

A、35 B、40 C、45 D、55

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4. 下列函数① $y = - 5 x$ ；② $y = - 2 x + 1$ ；③ $y = \frac{3}{x}$ ；④ $y = \frac{1}{2} x - 1$ ；⑤ $y = x^{2} - 1$ 中，是一次函数的有（）．

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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5. 如图，平面直角坐标系中，已知点 $A (- 3 ， 0)$ ， $B (0 ， 5)$ ，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x铀的正半轴于点C，则C点的横坐标位于（）．

A、4和5之间 B、3和4之间 C、5和6之间 D、2和3之间

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6. 已知平行四边形 $A B C D$ 中， $∠ A + ∠ C = 240 °$ ，则 $∠ B$ 的度数是（）

A、 $100 °$ B、 $60 °$ C、 $80 °$ D、 $160 °$

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7. 一次函数 $y = - 3 x - 2$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 一艘轮船以16海里/时的速度离开A港向北偏西30°方向航行，另一艘轮船同时以12海里/时的速度离开A港向北偏东60°方向航行，经过1.5小时后它位相距（）

A、6海里 B、25海里 C、30海里 D、42海里

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9. 已知四边形 $A B C D$ 是矩形，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（）

A、 $∠ D = 90$ B、 $B C = C D$ C、 $A D = B C$ D、 $A B = C D$

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10. 满足下列条件的三边长为a、b、c的 $△ A B C$ ，不是直角三角形的是（）

A、 $b^{2} = a^{2} - c^{2}$ B、 $a ： b ： c = 3 ： 4 ： 5$ C、 $∠ C = ∠ B - ∠ A$ D、 $∠ A ： ∠ B ： ∠ C = 3 ： 4 ： 5$

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11. 下列二次根式中，可以与 $\sqrt{3}$ 合并的是（）．

A、 $\sqrt{9}$ B、 $\sqrt{3 a}$ C、 $\sqrt{\frac{2}{9}}$ D、 $\sqrt{12}$

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12. 甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，四人10次射击成绩的平均数都是8.8环，方差分别为 $s_{甲}^{2} = 0.65$ ， $s_{乙}^{2} = 0.54$ ， $s_{丙}^{2} = 0.48$ ， $s_{丁}^{2} = 0.42$ ，则四人中成绩最稳定的是（）

A、甲 B、乙 C、丙 D、丁

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13. 如图是我国数学家赵爽的股弦图，它由四个全等的直角三角形和小正方形拼成的一个大正方形．已知大正方形的面积是26，小正方形的面积是2，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边长为b，那么 ${(a + b)}^{2}$ 的值为（）．

A、28 B、50 C、26 D、169

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14. 如图，在四边形ABCD中， $A B ∥ D C$ ， $A B = A D$ ，对角线AC，BD交于点O，AC平分 $∠ B A D$ ，过点C作 $C E ⊥ A B$ 交AB的延长线与点E，连接OE．
嘉嘉说：“四边形ABCD是菱形．”
琪琪说：“ $O E = \frac{1}{2} A C$ ． ”
对于他俩的说法，正确的是（）

A、嘉嘉正确，琪琪错误 B、嘉嘉错误，琪琪正确 C、他俩都正确 D、他俩都错误

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15. 已知一次函数 $y = (2 m - 1) x + n$ 的图象上两点 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ ，当 $x_{1} < x_{2}$ 时，有 $y_{1} < y_{2}$ ，那么m的值可能是（）．

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $- 1$ D、 $- \frac{1}{3}$

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16. 如图，已知直角三角形的直角边分别为a、b，斜边为c，以直角三角形的三边为边（或直径），分别向外作等边三角形、半圆、等腰直角三角形和正方形．那么，这四个图形中，直角三角形外，其他几个图形面积分别记作 $S_{1}$ 、 $S_{2}$ 、 $S_{3}$ ．
结论Ⅰ： $S_{1}$ 、 $S_{2}$ 、 $S_{3}$ 满足 $S_{1} + S_{2} = S_{3}$ 只有（4）；
结论Ⅱ：∵ $a + b > c$ ， ∴ $S_{1} + S_{2} > S_{3}$ 的有（1）（2）（3）．
对于结论Ⅰ和Ⅱ，判断正确的是（）．

A、Ⅰ对Ⅱ不对 B、Ⅰ不对Ⅱ对 C、Ⅰ和Ⅱ都对 D、Ⅰ和Ⅱ都不对

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二、填空题

17. 小聪这学期的数学平时成绩90分，期中考试成绩80分，期末考试成绩82分，那么，小聪这学期数学平均成绩为分；若计算总评成绩的方法如下：平时成绩∶期中成绩∶期末成绩=3∶3∶4，则小聪总评成绩是分．

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18. 甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面20m高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升10s．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y（单位：m）与无人机上升的时间x（单位：s）之间的关系如图所示，甲无人机的飞行速度为m/s；s时甲、乙两架无人机相距10m．

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19. 如图，正方形ABCD中， $A B = 6$ ，点E在CD边上，且 $C E = 2 D E$ ．将 $△ A D E$ 沿AE对折至 $△ A F E$ ，延长EF交边BC于点G，连结AG、CF．则 $∠ E A G =$ ， $S_{△ F G C} =$ ．

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三、解答题

20. 定义新运算： $a \oplus b = a (1 - b)$ ，其中等号右边是常规的乘法和减法运算，
例如： $(- 2) \oplus 1 = (- 2) \times (1 - 1) = 0$ ．

(1)、计算： $(2 + \sqrt{2}) \oplus (\sqrt{2} - 1)$ ；

(2)、有同学说：若 $a + b = 0$ ，则 $a \oplus a + b \oplus b = 2 a b$ ，你是否同意他的观点，请说明理由．

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21. 如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F是对角线AC上的两点，且 $A E = C F$ ，连接DE、DF、BE、BF．

(1)、求证： $△ A D E$ ≌ $△ C B F$ ；

(2)、若 $A B = 3 \sqrt{2}$ ， $A E = 2$ ，求四边形BEDF的面积．

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22. 如图所示，在 $△ A B C$ 中，点D为BC边上的一点， $A D = 24$ ， $B D = 32$ ， $A B = 40$ ， $C D = 18$ ．

(1)、试说明 $A D ⊥ B C$ ；

(2)、求AC的长及 $△ A B C$ 的面积；

(3)、判断 $△ A B C$ 是否是直角三角形，并说明理由．

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23. 观察下列各式及其验证过程：
$\sqrt{2 + \frac{2}{3}} = 2 \sqrt{\frac{2}{3}}$ ，验证： $\sqrt{2 + \frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{2 \times 3 + 2}{3}} = \sqrt{\frac{2^{3}}{3}} = 2 \sqrt{\frac{2}{3}}$ ；
$\sqrt{3 + \frac{3}{8}} = 3 \sqrt{\frac{3}{8}}$ ，验证： $\sqrt{3 + \frac{3}{8}} = \sqrt{\frac{3 \times 8 + 3}{8}} = \sqrt{\frac{3^{3}}{8}} = 3 \sqrt{\frac{3}{8}}$ ；

(1)、按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想 $\sqrt{5 + \frac{5}{24}}$ 的变形结果并进行验证；

(2)、针对上述各式反映的规律，写出用n（n为大于1的整数）表示的等式并给予验证．

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24. 某中学举行“书香进校园”知识竞赛，初、高中部根据初赛成绩，各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛．两个队各选出的5名选手的决赛成绩（满分为100分）如图所示．

平均数
中位数
众数
初中部
85
85
高中部
85

(1)、根据图示填写表格；

(2)、结合两学部决赛成绩的平均数和中位数，分析哪个学部的决赛成绩较好．

(3)、如果规定选手成绩较稳定的学部胜出，你认为哪个学部能胜出？请说明理由．

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25. 某公司准备组织20辆汽车将A、B、C三种水果共100吨运往外地销售．按计划，20辆车都要装运，每辆汽车只能装运同一种水果，且必须装满．根据下表提供的信息，解答以下问题：
水果品种
A
B
C
每辆汽车运载量（吨）
6
5
4
每吨水果获利（元）
1400
1500
1200

(1)、设装运A种水果的车辆数为x，装运B种水果的车辆数为y，求y与x之间的函数关系式；

(2)、如果装运每种水果的车辆数都不少于4辆，那么车辆的安排方案有几种？并写出每种安排方案；

(3)、若要使此次销售获利最大，应采用哪种安排方案？并求出此时的最大利润．

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26. 如图，在平面直角坐标系中，过点 $C (1 ， 4)$ ， $D (4 ， 1)$ 分别作x轴的垂线，垂足分别为A、B．

(1)、求直线CD和直线OD的解析式；

(2)、点M为直线OD上的一个动点，过点M作x轴的垂线交x轴于点P，交直线CD于点N．
①当PM为 $△ O B D$ 中位线时，求MN的长；
②是否存在这样的点M，使得以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时点M的横坐标；若不存在，请说明理由．

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水果品种	A	B	C
每辆汽车运载量（吨）	6	5	4
每吨水果获利（元）	1400	1500	1200

	平均数	中位数	众数
初中部		85	85
高中部	85