河北省石家庄市2021-2022学年高二下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-08-26 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知函数 $f (x) = \sqrt{x}$ ， $f^{'} (16) =$ （）

A、 $\frac{1}{8}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、2

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2. 在下列两个分类变量X，Y的样本频数列联表中，可以判断X、Y之间有无关系的是（）．

$y_{1}$
$y_{2}$
总计
$x_{1}$
$a$
$b$
$a + b$
$x_{2}$
$c$
$d$
$c + d$
总计
$a + c$
$b + d$
$a + b + c + d$

A、 $| \frac{a}{a + b} - \frac{b}{c + d} |$ B、 $| \frac{c}{a + b} - \frac{d}{c + d} |$ C、 $| \frac{b}{a + b} - \frac{c}{c + d} |$ D、 $| \frac{a}{a + b} - \frac{c}{c + d} |$

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3. 使函数 $f (x) = x + \sqrt{2} c o s x$ 在 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上取得最大值的 $x$ 为（）

A、0 B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{2}$

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4. 已知三个正态分布密度函数 $ϕ_{i} (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π} σ} e^{- \frac{(x - μ_{i})^{2}}{2 σ_{i}^{2}}} (x \in R ， i = 1 ， 2 ， 3)$ 的图象如图所示，则下列结论正确的是（）

A、 $σ_{1} = σ_{2}$ > $σ_{3}$ B、 $μ_{1} > μ_{3}$ C、 $μ_{1} = μ_{2}$ D、 $σ_{2} < σ_{3}$

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5. 函数 $f (x) = \frac{1}{x - \ln x - 1}$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 对具有线性相关关系的变量x，y有一组观测数据 $(x_{i} ， y_{i}) (i = 1 ， 2 ， \cdot \cdot \cdot ， 8)$ 其回归直线方程是 $\hat{y} = \frac{1}{3} x + \hat{a}$ ，且 $x_{1} + x_{2} + \cdot \cdot \cdot + x_{8} = 2 (y_{1} + y_{2} + \cdot \cdot \cdot + y_{8}) = 6$ ，则当 $x = - \frac{3}{4}$ 时， $y$ 的估计值为（）．

A、 $- \frac{1}{8}$ B、 $\frac{1}{8}$ C、 $- \frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{4}$

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7. 七巧板，又称七巧图、智慧板，是中国古代劳动人民的发明，其历史至少可以追溯到公元前一世纪，到了明代基本定型，于明、清两代在民间广泛流传．某同学用边长为4 dm的正方形木板制作了一套七巧板，如图所示，包括5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形．若该同学从5个三角形中任取出2个，则这2个三角形的面积之和不小于另外3个三角形面积之和的概率是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{3}{10}$

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8. 已知 $a < 3$ 且 $a e^{3} = 3 e^{a}$ ， $b < 4$ 且 $b e^{4} = 4 e^{b}$ ， $c < 5$ 且 $c e^{5} = 5 e^{c}$ ，则（）

A、 $c < b < a$ B、 $b < c < a$ C、 $a < c < b$ D、 $a < b < c$

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二、多选题

9. 从某大学随机选取的8名女大学生，其体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据 $(x_{i} ， y_{i}) (i = 1 ， 2 \cdot \cdot \cdot ， 8)$ ，用最小二乘法建立的回归方程为 $\hat{y} = 0.849 x - 85.712$ ，则下列结论中正确的是（）．

A、若某女大学生身高增加1cm，则其体重约增加0.849kg B、若某女大学生身高为172cm，则可断定其体重必为60.316kg C、若根据样本数据计算出样本相关系数为 $r = 0.985$ ，则表明体重与身高有很强的正相关关系 D、若根据样本数据计算出的决定系数 $R^{2}$ 越接近1，则表明线性回归模型拟合的效果越好

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10. 甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以 $A_{1}$ ， $A_{2}$ 和 $A_{3}$ 表示从甲罐取出的球是红球、白球、黑球，再从乙罐中随机取出一球，以B表示从乙罐取出的球是红球．则下列结论中正确的是（）

A、 $P (B ∣ A_{1}) = \frac{5}{11}$ B、 $P (B) = \frac{2}{5}$ C、事件B与事件 $A_{1}$ 相互独立 D、 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， $A_{3}$ 两两互斥

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11. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a x^{2}$ （ $a$ 为常数， $e$ 为自然对数的底数），则下列结论正确的有（）

A、 $a = 1$ 时， $f (x) \geq 0$ 恒成立 B、 $a = \frac{1}{2}$ 时， $f (x)$ 有唯一零点 $x_{0}$ 且 $- 1 < x_{0} < - \frac{1}{2}$ C、 $a = \frac{e}{2}$ 时， $x = 1$ 是 $f (x)$ 的极值点 D、若 $f (x)$ 有3个零点，则 $a$ 的范围为 $(\frac{e^{2}}{4} ， + ∞)$

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12. 已知 $f (x) = \frac{l n x}{1 + x} - l n x$ ， $f (x)$ 在 $x = x_{0}$ 处取得最大值，则（）．

A、 $f (x_{0}) < x_{0}$ B、 $f (x_{0}) = x_{0}$ C、 $0 < k \leq 1$ D、 $f^{'} (x) > 0$

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三、填空题

13. 设随机变量 $ξ$ 的分布列为 $P (ξ = i) = a \cdot {(\frac{1}{2})}^{i}$ ，（ $i = 1$ ， 2，3），则a的值为.

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14. 将 $4$ 名志愿者分配到3个小区进行志愿服务，每名志愿者只被分配到1个小区，每个小区至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有种．（用数字表示）

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15. 三行三列的方阵 $(\begin{array}{l} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array})$ 中有9个数 $a_{i j} (i = 1 ， 2 ， 3 ， j = 1 ， 2 ， 3)$ ，从中任取三个数，已知取到 $a_{22}$ 的条件下，至少有两个数位于同行或同列的概率是．

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16. 已知函数 $f (x) = e^{x} (x - 1)$ ，则它的极小值为；若函数 $g (x) = m x$ ，对于任意的 $x_{1} \in [- 2 ， 2]$ ，总存在 $x_{2} \in [- 1 ， 2]$ ，使得 $f (x_{1}) > g (x_{2})$ ，则实数 $m$ 的取值范围是.

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四、解答题

17. 在下列三个条件中任选一个条件，补充在问题中的横线上，并解答．
条件①：展开式中前三项的二项式系数之和为22；条件②：展开式中所有项的二项式系数之和减去展开式中所有项的系数之和等于64；条件③：展开式中常数项为第三项．
问题：已知二项式 ${(\sqrt{x} - \frac{1}{x})}^{n}$ ，若____，求：

(1)、展开式中二项式系数最大的项；

(2)、展开式中所有的有理项．

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18. 设函数 $f (x) = x^{3} - 3 a x^{2} + b$ .

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(2 ， f (2))$ 处与直线 $y = 8$ 相切，求a，b的值；

(2)、讨论函数 $y = f (x)$ 的单调性.

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19. 某网店为预估今年“双11”期间商品销售情况，随机抽取去年“双11”期间购买该店商品的100位买主的购买记录，得到数据如表格所示：

500元及以上
少于500元
合计
男
25
25
50
女
15
35
50
合计
40
60
100
附： $x^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$ ．
$α$
0.10
0.05
0.05
0.01
0.005
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

(1)、依据 $α = 0.05$ 的独立性检验，能否认为购买金额是否少于500元与性别有关？

(2)、为增加销量，该网店计划今年“双11"期间推出如下优惠方案：购买金额不少于500元的买主可抽奖3次，每次中奖概率为 $\frac{1}{3}$ （每次抽奖互不影响），中奖1次减50元，中奖2次减100元，中奖3次减150元．据此优惠方案，求在该网店购买500元商品，实际付款数X（元）的分布列和数学期望．

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20. 设某幼苗从观察之日起，第 $x$ 天的高度为 $y c m$ ，测得的一些数据如下表所示：
第 $x$ 天
1
4
9
16
25
36
49
高度 $y c m$
0
4
7
9
11
12
13
作出这组数据的散点图发现： $y (c m)$ 与 $x$ （天）之间近似满足关系式 $y = b \sqrt{x} + a$ ，其中 $a$ ， $b$ 均为大于0的常数．
附：对于一组数据 $(v_{1} ， μ_{1})$ ， $(v_{2} ， μ_{2})$ ， …， $(v_{n} ， μ_{n})$ ，其回归直线方程 $\hat{μ} = α + β v$ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 $\hat{β} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} v_{i} \cdot μ_{i} - n \bar{v} \cdot \bar{μ}}{\sum_{i = 1}^{n} {v_{i}}^{2} - n {\bar{v}}^{2}}$ ， $\hat{α} = \bar{μ} - \hat{β} \bar{v}$ ．

(1)、试借助一元线性回归模型，根据所给数据，用最小二乘法对 $a$ ， $b$ 作出估计，并求出 $y$ 关于 $x$ 的经验回归方程；

(2)、在作出的这组数据的散点图中，甲同学随机圈取了其中的3个点，记这3个点中幼苗的高度大于 $\bar{y}$ 的点的个数为 $ξ$ ，其中 $\bar{y}$ 为表格中所给的幼苗高度的平均数，试求随机变量 $ξ$ 的分布列和数学期望．

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21. 已知函数 $f (x) = e^{x} - x - a$ ，对于 $\forall x \in R$ ， $f (x) \geq 0$ 恒成立.

(1)、求实数a的取值范围；

(2)、证明：当 $x \in [0 ， \frac{π}{4}]$ 时， $c o s x + t a n x \leq e^{x}$ .

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22. 已知函数 $f (x) = x - l n x + a (a \in R)$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的极值；

(2)、设函数 $f (x)$ 的图象与直线 $y = t$ 交于 $M (x_{1} ， t)$ ， $B (x_{2} ， t)$ 两点，且 $x_{1} < x_{2}$ ，求证：函数 $f (x)$ 在 $x = \frac{x_{1} + x_{2}}{2}$ 处的切线斜率大于0．

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	$y_{1}$	$y_{2}$	总计
$x_{1}$	$a$	$b$	$a + b$
$x_{2}$	$c$	$d$	$c + d$
总计	$a + c$	$b + d$	$a + b + c + d$

	500元及以上	少于500元	合计
男	25	25	50
女	15	35	50
合计	40	60	100

$α$	0.10	0.05	0.05	0.01	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

第 $x$ 天	1	4	9	16	25	36	49
高度 $y c m$	0	4	7	9	11	12	13