河北省沧州市2021-2022学年高二下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-08-26 类型：期末考试

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一、单选题

1. 若集合 $A = {x ∣ 3 + 5 x - 2 x^{2} > 0} ， B = {x ∣ - 2 < x \leq 5 ， x \in N^{*}}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $(- \frac{1}{2} ， 3)$ B、 ${4 ， 5}$ C、 $\emptyset$ D、 ${1 ， 2}$

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2. 已知 $x$ 与 $y$ 的数据如表所示，根据表中数据，利用最小二乘法求得 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程为 $\hat{y} = 0.7 x + 1.05$ ，则 $m$ 的值是（）
$x$
2
3
4
5
$y$
$2.5$
$3.0$
$m$
$4.5$

A、3.8 B、3.9 C、4.0 D、4.1

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3. 某学校召集高二年级6个班级的部分家长座谈，高二（1）班有2名家长到会，其余5个班级各有1名家长到会，会上任选3名家长发言，则发言的3名家长来自3个不同班级的可能情况的种数为（）

A、15 B、30 C、35 D、42

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4. 已知随机变量 $X$ 的分布列如表所示，其中 $a ， b ， c$ 成等差数列，则 $a b c$ 的最大值是（）
$X$
1
2
3
$P$
$a$
$b$
$c$

A、 $\frac{1}{9}$ B、 $\frac{1}{16}$ C、 $\frac{1}{27}$ D、 $\frac{1}{32}$

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5. 已知 $a = l o g_{3} 2 ， b = l o g_{5} 2 ， c = {(\frac{1}{3})}^{a - 1}$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $c < a < b$ D、 $c < b < a$

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6. 某射击选手射击目标两次，第一次击中目标的概率是 $\frac{9}{10}$ ，两次均击中目标的概率是 $\frac{3}{5}$ .则该选手在第一次射击已经击中目标的前提下，第二次射击也击中目标的概率是（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{27}{50}$ D、 $\frac{81}{100}$

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7. 我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量，服从正态分布的随机变量称为正态随机变量.概率论中有一个重要的结论：若随机变量 $Y \sim B (n ， p)$ ，当 $n$ 充分大时，二项随机变量 $Y$ 可以由正态随机变量 $X$ 来近似地替代，且正态随机变量 $X$ 的期望和方差与二项随机变量 $Y$ 的期望和方差相同.法国数学家棣莫弗 $(1667 - 1754)$ 在1733年证明了 $p = \frac{1}{2}$ 时这个结论是成立的，法国数学家､物理学家拉普拉斯 $(1749 - 1827)$ 在1812年证明了这个结论对任意的实数 $p \in (0 ， 1]$ 都成立，因此，人们把这个结论称为棣莫弗一拉普拉斯极限定理.现拋掷一枚质地均匀的硬币900次，利用正态分布估算硬币正面向上次数不少于420次的概率为（） $($ 附：若 $X ∼ N (μ ， σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ ⩽ X ⩽ μ + σ) \approx 0.6827 ， P (μ - 2 σ ⩽ X ⩽ μ + 2 σ) \approx 0.9545$ ， $P (μ - 3 σ ⩽ X ⩽ μ + 3 σ) \approx 0.9973)$

A、0.97725 B、0.84135 C、0.65865 D、0.02275

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8. 设函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ， $f (x - 1)$ 为奇函数， $f (x + 2)$ 为偶函数，当 $x \in [- 1 ， 2]$ 时， $f (x) = a x^{2} + b .$ 若 $f (1) + f (3) = 0$ ，且 $f (- 4) + f (3) = - 3$ ，则 $f (\frac{13}{2}) =$ （）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $- \frac{3}{2}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $- \frac{3}{4}$

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二、多选题

9. 若 $\frac{1}{a} < 0 < \frac{1}{b}$ ，则下列结论一定正确的是（）

A、 $a b < b^{2}$ B、 $a^{2} < b^{2}$ C、 ${(\frac{1}{2})}^{a} > {(\frac{1}{2})}^{b}$ D、 $| a - b | > | a + b |$

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10. 随着疫情的有效控制，沧州动物园于2022年4月16日起恢复开园.开园当天，沧州师范学院学生会的3名男生和2名女生在动物园的入口处对游客进行新冠肺炎防疫知识宣传.闭园后，这5名同学排成一排合影留念，则下列说法正确的是（）

A、若让其中的男生甲排在两端，则这5名同学共有24种不同的排法 B、若要求其中的2名女生相邻，则这5名同学共有48种不同的排法 C、若要求其中的2名女生不相邻，则这5名同学共有72种不同的排法 D、若要求其中的1名男生排在中间，则这5名同学共有72种不同的排法

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11. 2022年6月，上海市要求复工复产的相关人员须持48/小时核酸检测阴性证明方能进入工厂.现有两种检测方式：（1）逐份检测；（2）混合检测：即将其中 $k$ 份核酸样本混合在一起检测，若检测结果为阴性，则这 $k$ 份核酸全为阴性，如果检测结果为阳性，则需要对这 $k$ 份核酸再逐份检测.假设检测的核酸样本中，每份样本的检测结果相互独立，且每份样本是阳性的概率都为 $p (0 < p < 1)$ ，若 $k = 20$ ，则能使得混合检测比逐份检测更方便的 $p$ 的值可能是（）（参考数据 $： l g 2 = 0.3010 ， l g 0.8609 = - 0.06505)$

A、0.11 B、0.13 C、0.15 D、0.17

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12. 学校食坣每天中都会提供 $A ， B$ 两种套餐供学生选择（学生只能选择其中的一种），经过统计分析发现：学生第一天选择 $A$ 套餐的概率为 $\frac{2}{3}$ ，选择 $B$ 套餐的概率为 $\frac{1}{3}$ .而前一天选择了 $A$ 套餐的学生第二天诜择 $A$ 套餐的概率为 $\frac{1}{4}$ ，选择 $B$ 套餐的概率为 $\frac{3}{4}$ ；前一天选择 $B$ 套餐的学生第一天选择 $A$ 套餐的概率为 $\frac{1}{2}$ ，选择 $B$ 套餐的概率也是 $\frac{1}{2}$ ，如此往复.记某同学第 $n$ 天选择 $A$ 套餐的概率为 $A_{n}$ ，选择 $B$ 套餐的概率为 $B_{n}$ .一个月（30天）后，记甲､乙､丙3位同学选择 $B$ 套餐的人数为 $X$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $A_{n} + B_{n} = 1$ B、数列 ${A_{n} - \frac{2}{5}}$ 是等比数列 C、 $P (X = 1) \approx 0.288$ D、 $E (X) = 1.5$

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三、填空题

13. 在 ${(x + \frac{2}{x})}^{n}$ 的展开式中，所有二项式系数的和是16，则展开式中的常数项为.

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14. 已知 $a ， b$ 都是非零实数，若 $a^{2} + 4 b^{2} = 3$ ，则 $\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}}$ 的最小值为.

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15. 如图所示的电路，有 $A ， B ， C ， D$ 四个开关，若开关 $A ， B ， C ， D$ 自动闭合的概率分别为 $0.8 ， 0.7 ， 0.8 ， 0.9$ ，则灯泡甲亮的概率为.

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16. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} l n (- \frac{1}{x + 1}) ， x < - 1 \\ 2 x + 1 ， x ⩾ - 1 \end{array}$ ，则函数 $f (x)$ 的零点是；若函数 $g (x) = f (f (x)) - a$ ，且函数 $g (x)$ 有三个不同的零点，则实数 $a$ 的取值范围是.

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四、解答题

17. 下表是某农村居民2017年至2021年家庭人均收入（单位：万元）.
年份
2017
2018
2019
2020
2021
年份代码 $x$
1
2
3
4
5
家庭人均收入 $y$ （万元）
1.2
1.4
1.5
1.6
1.8
参考公式：相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x y}}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} \sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ ，回归直线 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 中， $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n \bar{x^{2}}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ，参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.414$ .

(1)、利用相关系数 $r$ 判断 $y$ 与 $x$ 的相关关系的强弱（当 $0.75 < | r | ⩽ 1$ 时， $y$ 与 $x$ 的相关关系较强，否则相关关系较弱，精确到0.01）；

(2)、求 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ，并预测2022年该农村居民的家庭人均收入.

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18. 已知函数 $f (x) = - 3 x^{2} + a (6 - a) x + 6 ， a \in R$ .

(1)、解关于 $a$ 的不等式 $f (- 3) < 0$ ；

(2)、若 $m \in R ， a > 0$ ，关于 $x$ 的不等式 $f (x) + a^{3} + 21 > 0$ 的解集为 $(m - 4 ， m + 5)$ ，求 $a$ 的值.

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19. 2022年北京与张家口联合承办了第24届冬季奥运会.某校为了调查学生喜欢冰雪运动是否与性别有关，对高二年级的400名学生进行了问卷调查，得到部分数据如下表：

喜欢
不喜欢
合计
男生
80
$y$
160
女生
$x$
$z$
240
合计
180
220
400
附：参考公式及数据 $： χ^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
$α$
0.10
0.05
0.025
0.01
0.005
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

(1)、求表中 $x ， y ， z$ 的值，依据小概率值 $α = 0.10$ 的独立性检验，能否认为喜欢冰雪运动与性别有关？

(2)、学校从喜欢冰雪运动的学生中用分层随机抽样的方法抽取9人，再从这9人中选取3人进行访谈，记这3人中男生的人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列与数学期望.

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20. 已知函数 $f (x) = a (e^{x} + x^{2}) + e^{- x}$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，其中 $a \in R$ ， $e$ 是自然对数的底数.

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、若关于 $x$ 的不等式 $m f (x) \leq e^{- x} + m x^{2} + m - 1$ 对 $\forall x \in (0 ， + \infty)$ 都成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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21. 李师傅每天都会利用手机在美团外卖平台购买1份水果，该平台对水果的描述用数学语言表达是：每份水果的重量服从期望为1000克，标准差为50克的正态分布，李师傅从2022年3月1日至6月8日连续100天，每天都在平台上购买一份水果，经统计重量在 $[1000 ， 1050]$ （单位：克）上的有60份，重量在 $[950 ， 1000)$ （单位：克）上的有40份.
附：①随机变量 $η$ 服从正态分布 $N (μ ， σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ ⩽ η ⩽ μ + σ) = 0.6827 ， P (μ - 2 σ ⩽ η ⩽ μ + 2 σ) = 0.9545 ， P (μ - 3 σ ⩽ η ⩽ μ + 3 σ) = 0.9973$ ②通常把发生概率小于 $0.05$ 的事件称为小概率事件，小概率事件基本不㕕发生.

(1)、李师傅的儿子刚参加完2022年高考，准备于6月9日在家中招待几名同学，李师傅为此在平台上网购了4份水果，记这4份水果中，重量不少于1000克的有 $X$ 份，试以这100天的频率作为概率，求 $X$ 的分布列与数学期望；

(2)、已知如下结论：若 $X ∼ N (μ ， σ^{2})$ ，从 $X$ 的取值中随机抽取 $k (k \in N^{*} ， k ⩾ 2)$ 个数据，记这 $k$ 个数据的平均值为 $Y$ ，则随机变量 $Y \sim N (μ ， \frac{σ^{2}}{k})$ .记李师傅这100天购买的每份水果平均重量为 $Y$ 克，试利用该结论来解决下面的问题：
①求 $P (Y ⩽ 990)$ ；
②如果李师傅这100天得到的水果的重量都落在 $[950 ， 1050]$ （单位：克）上，且每份水果重量的平均值 $Y = 988.72$ ，李师傅通过分析，决定向有关部门举报该平台商家卖出的水果缺斤少两，试从概率角度说明李师傅的举报是有道理的.

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22. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \frac{1}{2} | x + 4 | - 1 ， x ⩽ - 2 \\ 2 f (x - 4) ， x > - 2 \end{array}$ .

(1)、求 $f (1) ， f (3)$ 的值；

(2)、若对任意 $x \in (- \infty ， m]$ ，都有 $f (x) ⩾ - 6$ ，求实数 $m$ 的最大值；

(3)、若函数 $y = f (x) - t$ 在区间 $(- \infty ， 10)$ 上有6个不同的零点 $x_{i} (i = 1 ， 2 ， 3 ， ⋯ ， 6)$ ，求 $\sum_{i = 1}^{6} x_{i} f (x_{i})$ 的取值范围.

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年份	2017	2018	2019	2020	2021
年份代码 $x$	1	2	3	4	5
家庭人均收入 $y$ （万元）	1.2	1.4	1.5	1.6	1.8

	喜欢	不喜欢	合计
男生	80	$y$	160
女生	$x$	$z$	240
合计	180	220	400

$α$	0.10	0.05	0.025	0.01	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

$x$	2	3	4	5
$y$	$2.5$	$3.0$	$m$	$4.5$

$X$	1	2	3
$P$	$a$	$b$	$c$