河北省保定市2021-2022学年高二下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-08-26 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} - x - 6 < 0}$ ， $B = {x | 2 - x < 1}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${x | 1 < x < 2}$ B、 ${x | 1 < x < 3}$ C、 ${x | - 3 < x < 1}$ D、 ${x | - 2 < x < 1}$

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2. 命题“ $\forall x > 0$ ， $x^{2} - 2 x + 3 < 0$ ”的否定是（）

A、 $\exists x > 0$ ， $x^{2} - 2 x + 3 ⩾ 0$ B、 $\exists x ⩽ 0$ ， $x^{2} - 2 x + 3 < 0$ C、 $\forall x > 0$ ， $x^{2} - 2 x + 3 ⩾ 0$ D、 $\forall x ⩽ 0$ ， $x^{2} - 2 x + 3 < 0$

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3. 已知 $a > b$ ，则下列不等式一定成立的是（）

A、 $a c^{2} > b c^{2}$ B、 $\frac{a}{b} > 1$ C、 $a^{2} > b^{2}$ D、 $a^{3} > b^{3}$

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4. 已知 $a = 0 . 9^{1.5}$ ， $b = l o g_{2} 0.9$ ， $c = l o g_{0.3} 0.2$ ，则（）

A、 $a > c > b$ B、 $a > b > c$ C、 $c > a > b$ D、 $c > b > a$

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5. “ $x - 1 > y > 0$ ”是“ $l n x > l n y$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 小华、小明等7名同学相约去游玩，在某景点排成一排拍照留念，则小明不在两端，且小华不在正中间位置的概率是（）

A、 $\frac{8}{21}$ B、 $\frac{10}{21}$ C、 $\frac{11}{21}$ D、 $\frac{13}{21}$

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7. 已知函数 $f (x) = a x^{3} + b s i n x + x - 2$ ，若 $f (m) = 7$ ，则 $f (- m) =$ （）

A、-11 B、-7 C、-3 D、3

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8. 在如图所示的5个区域内种植花卉，每个区域种植1种花卉，且相邻区域种植的花卉不同，若有6种不同的花卉可供选择，则不同的种植方法种数是（）

A、1440 B、720 C、1920 D、960

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二、多选题

9. 关于函数 $f (x) = \frac{3 - x}{x + 1}$ ，下列判断正确的是（）

A、 $f (x)$ 在 $(- 1 ， + \infty)$ 上单调递减 B、 $f (x)$ 在 $(- 1 ， + \infty)$ 上单调递增 C、 $f (x)$ 在 $(- \infty ， - 1)$ 上单调递减 D、 $f (x)$ 在 $(- \infty ， - 1)$ 上单调递增

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10. 目前，全国多数省份已经开始了新高考改革，改革后，考生的高考总成绩由语文、数学、外语3门全国统一考试科目成绩和3门选择性科目成绩组成.选择性科目是由学生从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中任选3门，则（）

A、不同的选科方案有20种 B、若某考生计划在物理和生物中至少选一科，则不同的选科方案有12种 C、若某考生确定不选物理，则不同的选科方案有10种 D、若某考生在物理和历史中选择一科，则不同的选科方案有12种

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11. 若 $x^{6} + x^{12} = a_{0} + a_{1} (x - 1) + a_{2} (x - 1)^{2} + ⋯ + a_{11} (x - 1)^{11} + a_{12} (x - 1)^{12}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $a_{0} = 2$ B、 $a_{12} = 12$ C、 $a_{1} - a_{2} + a_{3} - ⋯ + a_{11} - a_{12} = 2$ D、 $a_{10} = 66$

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12. 已知正实数x，y满足 $3 x + y + x y - 13 = 0$ ，且 $2 t^{2} - t - 4 ⩽ 2 y - x y$ 恒成立，则t的取值可能是（）

A、 $- \frac{3}{2}$ B、-1 C、1 D、 $\frac{3}{2}$

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三、填空题

13. 新能源汽车不仅降低了对石油进口的依赖，也减少了对整个地球环境的污染，下表是某新能源车2017~2021年销量统计表：
年份
2017
2018
2019
2020
2021
年份编号x
1
2
3
4
5
销量y/十万辆
2.5
3
4
m
5
若销量y与年份编号x线性相关，且求得经验回归方程为 $\hat{y} = 0.65 x + 1.85$ ，则 $m =$ .

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14. 某班有学生48人，经调查发现，喜欢打羽毛球的学生有35人，喜欢打篮球的学生有20人.设既喜欢打羽毛球，又喜欢打篮球的学生的人数为x，则x的最小值是.

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15. 已知命题“ $\exists x \in [- 6 ， - 1]$ ， $x^{2} - m x + 4 ⩾ 0$ ”是假命题，则m的取值范围是.

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16. 已知 $f (x)$ 是定义在R上的奇函数，且 $f (x) = - f (x - 2)$ .当 $x \in (0 ， 1]$ 时， $f (x) = 3^{x} - 1$ ，则 $f (l o g_{3} 54) =$ .

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四、解答题

17. 某校举办数学竞赛，竞赛分为初赛和决赛.现从通过初赛的学生中选拔男生30名，女生30名参加决赛，根据决赛得分情况，按[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分成5组，得到如图所示的频率分布直方图，若规定得分不低于80分者在本次竞赛中表现优秀，其中表现优秀的女学生有5名.
参考公式： $χ^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
参考数据：
$α$
0.10
0.05
0.010
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
10.828

(1)、求学生得分的平均值（各组数据以该组数据的中点值作代表）；

(2)、请完成下面的 $2 \times 2$ 列联表，并依据 $α = 0.1$ 的独立性检验，能否认为是否在数学竞赛中表现优秀与性别有关？
性别
是否表现优秀
合计
优秀
不优秀
男生
女生
5
合计
60

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18. 已知函数 $f (x) = x^{2} - a l n x + 2 (a \in R)$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $a = 1$ 时，求 $f (x)$ 在 $[\frac{1}{2} ， 2]$ 上的值域.

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19. 已知函数 $f (x) = l o g_{2} (2^{x} + a) - b x$ 是偶函数，且 $f (0) = 1$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式：

(2)、若不等式 $f (x) ⩽ \frac{1}{2} x + m$ 对 $x \in [0 ， + \infty)$ 恒成立，求m的取值范围.

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20. 某电子厂生产某电子元件的固定成本是4万元，每生产x万件该电子元件，需另投入成本 $f (x)$ 万元，且 $f (x) = {\begin{array}{l} \frac{1}{4} x^{2} + 3 x ， 0 < x \leq 6 ， \\ 9 x + \frac{64}{x} - 38 ， 6 < x \leq 20 . \end{array}$ 已知该电子元件每件的售价为8元，且该电子加工厂每月生产的这种电子元件能全部售完.

(1)、求该电子厂这种电子元件的利润y（万元）与生产量x（万件）的函数关系式；

(2)、求该电子厂这种电子元件利润的最大值.

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21. 某校环保协会举办关于环境保护的知识比赛，比赛分为初赛和决赛，初赛分为两轮：第一轮有3道题，第二轮有2道题，若参赛选手在初赛中至少答对4道题，则通过初赛，已知参赛选手甲答对初赛第一轮中每道题的概率是 $\frac{2}{3}$ ，答对初赛第二轮中每道题的概率是 $\frac{3}{5}$ ，且参赛选手甲每次答题相互独立.

(1)、求参赛选手甲通过初赛的概率.

(2)、若参赛选手在初赛第一轮中，答对一道题得1分，答错得0分；在初赛第二轮中，答对一道题得2分，答错得1分，记参赛选手甲答完初赛中的5道题的累计得分为X，求X的分布列与期望.

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22. 已知 $a > 0$ ， $b \in R$ ，函数 $f (x) = \frac{a e^{x} + b}{e^{x} + 1}$ ，且 $f (0) = 0$ .

(1)、求 $f (a) + f (b)$ 的值；

(2)、若对任意 $x \in (0 ， + \infty)$ ，不等式 $e^{f (x)} + \frac{(a - 1) e^{x} - a - 1}{a e^{x} - a} < e$ 恒成立，求a的取值范围.

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年份	2017	2018	2019	2020	2021
年份编号x	1	2	3	4	5
销量y/十万辆	2.5	3	4	m	5

性别	是否表现优秀		合计
性别	优秀	不优秀	合计
男生
女生	5
合计			60

$α$	0.10	0.05	0.010	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	10.828