福建省福州市四校联盟2021-2022学年高二下学期数学期末联考试卷

试卷更新日期：2022-08-26 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $M = {x ∣ y = \sqrt{2 - x}}$ ， $N = {x ∣ - 2 < x < 3}$ ，则 $M ∩ N =$ （）

A、 ${x ∣ - 3 < x \leq 2}$ B、 ${x ∣ - 3 < x < 2}$ C、 ${x ∣ - 2 < x \leq 2}$ D、 ${x ∣ - 2 < x < 2}$

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2. 若复数z满足 $z = (1 - 2 i) \cdot i$ ，则复平面内z对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. “ $m > n > 0$ ”是 $m^{2} > n^{2}$ 的（）

A、充分不必要条件 B、充要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分又不必要条件

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4. 函数 $y = \sqrt{l o g_{2} (3 x - 2)}$ 的定义域是（）

A、 $(- \infty ， \frac{2}{3})$ B、 $(\frac{2}{3} ， + \infty)$ C、 $(\frac{2}{3} ， 1]$ D、 $[1 ， + \infty)$

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5. 函数f（x）＝sinx﹣ $\sqrt{3}$ cosx（x∈[﹣π，0]）的单调递增区间是（）

A、[﹣π，﹣ $\frac{5 π}{6}$ ] B、[﹣ $\frac{5 π}{6}$ ， ﹣ $\frac{π}{6}$ ] C、[﹣ $\frac{π}{3}$ ， 0] D、[﹣ $\frac{π}{6}$ ， 0]

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6. 我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数的图象的特征，如函数 $f (x) = \frac{1}{2} x - s i n x$ 的图像大致是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ， $x + 2 y = 1$ ，则 $\frac{(x + 1) (y + 1)}{x y}$ 的最小值为（）

A、 $4 + 4 \sqrt{3}$ B、12 C、 $8 + 4 \sqrt{3}$ D、16

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8. 已知m，n表示两条不同直线， $α$ 表示平面，下列说法正确的是（）

A、若 $m / / α ， n / / α ，$ 则 $m / / n$ B、若 $m ⊥ α$ ， $n \subset α$ ，则 $m ⊥ n$ C、若 $m ⊥ α$ ， $m ⊥ n$ ，则 $n / / α$ D、若 $m / / α$ ， $m ⊥ n$ ，则 $n ⊥ α$

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二、多选题

9. 下列选项中，与 $s i n \frac{5 π}{6}$ 的值相等的是（）

A、 $c o s (- \frac{π}{3})$ B、 $c o s 18 ° c o s 42 ° - s i n 18 ° s i n 42 °$ C、 $2 s i n 15 ° s i n 75 °$ D、 $\frac{t a n 30 ° + t a n 45 °}{1 - t a n 30 ° t a n 45 °}$

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10. 有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：
甲   $\begin{array}{l} 7 & 8 & 7 & 9 & 5 & 4 & 9 & 10 & 7 & 4 \end{array}$
乙   $\begin{array}{l} 9 & 5 & 7 & 8 & 7 & 6 & 8 & 6 & 7 & 7 \end{array}$
在这次射击中，下列说法正确的是（    ）

A、甲成绩的极差比乙成绩的极差大 B、甲成绩的众数比乙成绩的众数大 C、甲的成绩没有乙的成绩稳定 D、甲成绩的中位数比乙成绩的中位数大

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11. 已知四边形ABCD为正方形，GD⊥平面ABCD，四边形DGEA与四边形DGFC也都为正方形，连接EF，FB，BE，H为BF的中点，则下列结论正确的是（）

A、DE⊥BF B、EF与CH所成角为 $\frac{π}{3}$ C、EC⊥平面DBF D、BF与平面ACFE所成角为 $\frac{π}{4}$

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12. 在某社区举办的“环保我参与”有奖问答比赛活动中，甲、乙、丙3个家庭同时回答一道有关环保知识的问题，已知甲家庭回答对这道题的概率是 $\frac{3}{4}$ ，甲、丙2个家庭都回答错的概率是 $\frac{1}{12}$ ，乙、丙2个家庭都回答对的概率是 $\frac{1}{4}$ ，若各家庭回答是否正确互不影响，则下列说法正确的是（）

A、乙家庭回答对这道题的概率为 $\frac{3}{8}$ B、丙家庭回答对这道题的概率为 $\frac{7}{8}$ C、有0个家庭回答对的概率为 $\frac{5}{96}$ D、有1个家庭回答对的概率为 $\frac{7}{12}$

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三、填空题

13. 函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x ， & x < 0 ， \\ e^{x} - 1 ， & x \geq 0 ， \end{array}$ 则 $f (2) + f (- 1) =$ ．

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14. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $\vec{a} = (- 1 ， \sqrt{3})$ ， $\vec{b} = (1 ， 0)$ ，则向量 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为．

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15. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + φ)$ （ $ω > 0$ ， $| ϕ | < \frac{π}{2}$ ）部分图像如图所示， $ω =$ ．

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16. 函数 $f (x) = 2^{x} + 3 x - 4$ 的零点所在的区间是 $(a ， a + 1)$ 则整数 $a =$ ．

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四、解答题

17. 4月23日是世界读书日，其设立的目的是推动更多的人去阅读和写作，某市教育部门为了解全市中学生课外阅读的情况，从全市随机抽取1000名中学生进行调查，统计他们每日课外阅读的时长，下图是根据调查结果绘制的频率分布直方图.

(1)、求频率分布直方图中a的值，并估计1000名学生每日的平均阅读时间（同一组中的数据用该组区间的中点值代表该组数据平均值）；

(2)、若采用分层抽样的方法，从样本在［60，80）［80，100]内的学生中共抽取5人来进一步了解阅读情况，再从中选取2人进行跟踪分析，求抽取的这2名学生来自不同组的概率.

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18. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} s i n 2 x - 2 c o s^{2} x + m + 1 (x \in R)$ 的最小值为-2.

(1)、求实数 $m$ 的值；

(2)、在 $Δ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $f (A) = 2$ ， $c = 5$ ， $c o s B = \frac{1}{7}$ ，求 $A C$ 的长.

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19. 已知向量 $\vec{a} = (s i n x ， \sqrt{3} s i n (π + x))$ ， $\vec{b} = (c o s x ， - s i n x)$ ，函数 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期及 $f (x)$ 图像的对称轴方程；

(2)、先将 $f (x)$ 的图像上每个点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度得到函数 $g (x)$ 的图像，若函数 $y = g (x) - m$ 在区间 $[\frac{π}{6} ， \frac{5 π}{6}]$ 内有两个零点，求m的取值范围．

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20. 如图，在正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，已知 $A B = A D = 2$ ， $A A_{1} = 5$ ， E，F分别为 $D D_{1}$ ， $B B_{1}$ 上的点，且 $D E = B_{1} F = 1$ ．

(1)、求证： $B E ⊥$ 平面ACF：

(2)、求点B到平面ACF的距离．

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21. 已知函数 $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x}$ ，函数 $g (x) = l o g_{2} x$ .

(1)、若 $g (m x^{2} + 2 x + m)$ 的定义域为R，求实数m的取值范围；

(2)、当 $x \in [- 1 ， 1]$ 时，函数 $y = {[f (x)]}^{2} - 2 a f (x) + 3$ 的最小值为1，求实数a的值.

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22. 党的十九大报告明确指出要坚决打赢脱贫攻坚战，让贫困人口和贫困地区同全国一道进入全面小康社会，要动员全党全国全社会力量，坚持精准扶贫、精准脱贫，确保到2020年我国现行标准下农村贫困人口实现脱贫.现有扶贫工作组到某山区贫困村实施脱贫工作.经摸底排查，该村现有贫困农户100户，他们均从事水果种植，2017年底该村平均每户年纯收入为1万元，扶贫工作组一方面请有关专家对水果进行品种改良，提高产量；另一方面，抽出部分农户从事水果包装、销售工作，其户数必须小于种植的户数.从2018年初开始，若该村抽出 $4 x$ 户（ $x \in Z$ ， $1 \leq x \leq 12$ ）从事水果包装、销售.经测算，剩下从事水果种植农户的年纯收入每户平均比上一年提高 $\frac{x}{20}$ ，而从事包装销售农户的年纯收入每户平均为 $(3 - \frac{1}{5} x)$ 万元.（参考数据： $1.1 2^{3} = 1.404$ ， $1.1 5^{3} = 1.520$ ， $1.1 8^{3} = 1.643$ ， $1 . 2^{3} = 1.728$ ）.

(1)、至2018年底，该村每户年均纯收入能否达到1.32万元？若能，请求出从事包装、销售的户数；若不能，请说明理由；

(2)、至2020年底，为使从事水果种植农户能实现脱贫（即每户（水果种植农户）年均纯收入不低于1.6万元），至少要抽出多少户从事包装、销售工作？

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