北京市延庆区2021-2022学年高二下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-08-26 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | | x | < 2}$ ， $B = {x | \frac{1}{x} < 1}$ ， $a \in A ∩ B$ ，则 $a$ 的值可以是（）

A、3 B、-3 C、 $\frac{1}{3}$ D、 $- \frac{1}{3}$

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2. 已知 $0 < a < 1 ， b < 0$ ，则下列大小关系正确的是（）

A、 $a b < b < a^{2} b$ B、 $b < a b < a^{2} b$ C、 $b < a^{2} b < a b$ D、 $a^{2} b < b < a b$

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3. 下列四个命题中真命题的序号是（）
① 函数 $f (x) = x + \frac{1}{x} (x \neq 0)$ 的最小值为2；② 函数 $f (x) = x + \frac{1}{x - 1} (x > 1)$ 的最小值为3；③ 函数 $f (x) = 3 x + \frac{4}{x} (x < 0)$ 的最大值为 $- 4 \sqrt{3}$ ；④ 函数 $f (x) = \frac{x^{2} + 3}{\sqrt{x^{2} + 2}} (x \in R)$ 的最小值为2．

A、①② B、②③ C、②④ D、③④

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4. 已知 $0 < a < b < 1$ ，设 $x = l o g_{b} \frac{1}{b} ， y = l o g_{b} a ， z = l o g_{b} \frac{1}{a}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $z < x < y$ B、 $x < z < y$ C、 $y < x < z$ D、 $y < z < x$

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5. 已知 $a ， b \in R$ ，下列四个条件中，使 $a > b$ 成立的必要而不充分条件是（）

A、 $a + 1 > b$ B、 $a > b + 1$ C、 $2^{a} > 2^{b}$ D、 $a^{2} > b^{2}$

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6. 为了得到函数 $y = l o g_{2} (2 x + 2)$ 的图象，只需把函数 $y = l o g_{2} x$ 的图象上的所有点（）

A、向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度 B、向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度 C、向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度 D、向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度

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7. $f (x)$ 是定义域为 $R$ 的奇函数，且 $f (1 + x) - f (x) = 0$ ，若 $f (\frac{3}{5}) = - \frac{3}{5}$ ，则 $f (\frac{7}{5}) =$ （）

A、 $- \frac{7}{5}$ B、 $- \frac{3}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{7}{5}$

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8. 函数 $f (x) = \frac{a x - b}{(x + c)^{2}}$ 的图象如图所示，则下列结论一定成立的是（）

A、 $a > 0 ， b < 0 ， c > 0$ B、 $a < 0 ， b < 0 ， c > 0$ C、 $a > 0 ， b < 0 ， c < 0$ D、 $a < 0 ， b > 0 ， c > 0$

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9. 已知不等式 $x y \leq a x^{2} + 2 y^{2}$ ，若对于任意的 $x \in [1 ， 2]$ 且 $y \in [2 ， 3]$ 该不等式恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{1}{8} ， + \infty)$ B、 $[- 1 ， + \infty)$ C、 $[- 6 ， + \infty)$ D、 $[- 15 ， + \infty)$

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10. 设集合 $S = {1 ， 2 ， ⋯ ， 9}$ ，集合 $A = {a_{1} ， a_{2} ， a_{3}}$ 是 $S$ 的子集，且 $a_{1} ， a_{2} ， a_{3}$ 满足 $a_{1} < a_{2} < a_{3}$ ， $a_{3} - a_{2} \leq 5$ ，那么满足条件的集合 $A$ 的个数为（）

A、74 B、77 C、80 D、83

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二、填空题

11. 函数 $f (x) = \frac{1}{x} + \sqrt{1 - x}$ 的定义域是．

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12. 若复数 $z = \frac{3 i - a}{i}$ 的模等于 $\sqrt{13}$ ，则实数 $a =$ ．

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13. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 1 ， x \in Q \\ 0 ， x \in ∁_{R} Q \end{array}$ ，
则（ⅰ） $f (f (x))$ =；
（ⅱ）给出下列三个命题：
①函数 $f (x)$ 是偶函数；
②存在 $x_{i} \in R (i = 1 ， 2 ， 3)$ ，使得以点 $(x_{i} ， f (x_{i})) (i = 1 ， 2 ， 3)$ 为顶点的三角形是等腰直角三角形；
③存在 $x_{i} \in R (i = 1 ， 2 ， 3 ， 4)$ ，使得以点 $(x_{i} ， f (x_{i})) (i = 1 ， 2 ， 3 ， 4)$ 为顶点的四边形为菱形.
其中，所有真命题的序号是.

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14. $(3 x + 1)^{5}$ 的展开式中各项的二项式系数和为；各项的系数和为．

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15. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{\frac{1}{2}} ， 0 \leq x \leq c \\ x^{2} + x ， - 2 \leq x < 0 \end{array}$ 其中 $c > 0$ ．那么 $f (x)$ 的零点是；若 $f (x)$ 的值域是 $[- \frac{1}{4} ， 2]$ ，则c的取值范围是．

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三、解答题

16. 袋中有4个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球．

(1)、若每次抽取后都放回，求恰好取到1个黑球的概率；

(2)、若每次抽取后都不放回，设取到黑球的个数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列．

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17. 已知函数 $f (x) = x^{2} - a x - a + 3$ ．

(1)、设 $f (x)$ 的两个零点分别为 $x_{1} ， x_{2}$ ，若 $x_{1} ， x_{2}$ 同号，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，求 $a$ 的取值范围；

(2)、 $f (x)$ 在区间 $[1 ， + \infty)$ 上的最小值为3，求 $a$ 的值．

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18. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A B / / C D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $A B = 2$ ， $A D = \sqrt{2}$ ， $C D = 1$ ， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P A = 2$ ．

(1)、若 $E$ 是 $P A$ 的中点，求证： $D E / /$ 平面 $P B C$ ；

(2)、求证： $B D ⊥$ 平面 $P A C$ ；

(3)、求 $B C$ 与平面 $P A C$ 所成角的正弦值．

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19. 为了解学生上网课使用的设备类型情况，某校对学生进行简单随机抽样.获得数据如下表：
设备类型
仅使用手机
仅使用平板
仅使用电脑
同时使用两种及两种以上设备
使用其他设备或不使用设备
使用人数
17
16
65
32
0
假设所有学生对网课使用的设备类型的选择相互独立．

(1)、分别估计该校学生上网课仅使用手机的概率，该校学生上网课仅使用平板的概率；

(2)、从该校全体学生中随机抽取3人进行调查，设随机变量X表示这3人中仅使用电脑的人数，以频率估计概率，求X的分布列和数学期望；

(3)、假设样本中上网课同时使用两种设备的人数是22，用 $" ξ_{1} = 1 "$ 表示上网课仅使用一种设备， $" ξ_{1} = 0 "$ 表示上网课不仅仅使用一种设备；用 $" ξ_{2} = 1 "$ 表示上网课同时使用三种设备， $" ξ_{2} = 0 "$ 表示上网课不同时使用三种设备. 试比较方差 $D (ξ_{1})$ ， $D (ξ_{2})$ 的大小.（结论不要求证明）

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20. 已知函数 $f (x) = 2 l n x - \frac{1}{2} a x^{2} + (2 a - 1) x (a > 0)$ ．

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线经过原点，求 $a$ 的值；

(2)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(3)、设 $g (x) = x^{2} - 2 x$ ，若对任意 $s \in (0 ， 2]$ ，均存在 $t \in (0 ， 2]$ ，使得 $f (s) < g (t)$ ，求 $a$ 的取值范围．

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21. 已知集合 $S_{n} = {X | X = (x_{1} ， x_{2} ， ⋯ ， x_{n}) ， x_{i} \in {k ， 1} ， i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n} (n \geq 2)$ .对于 $A = (a_{1} ， a_{2} ， ⋯ ， a_{n}) ， B = (b_{1} ， b_{2} ， ⋯ ， b_{n}) \in S_{n}$ ，定义： $A$ 与 $B$ 的差为 $A - B = (| a_{1} - b_{1} | ， | a_{2} - b_{2} | ⋯ ， | a_{n} - b_{n} |)$ ； $A$ 与 $B$ 之间的距离为 $d (A ， B) = \sum_{i = 1}^{n} | a_{i} - b_{i} |$ .

(1)、当 $k = 2 ， n = 5$ 时，设 $A = (1 ， 2 ， 1 ， 1 ， 2) ， B = (2 ， 1 ， 1 ， 2 ， 1)$ ，求 $A - B ， d (A ， B)$ ；

(2)、若对于任意的 $A ， B ， C \in S_{n}$ ，有 $A - B \in S_{n}$ ，求 $k$ 的值并证明： $d (A - C ， B - C) = d (A ， B)$ .

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设备类型	仅使用手机	仅使用平板	仅使用电脑	同时使用两种及两种以上设备	使用其他设备或不使用设备
使用人数	17	16	65	32	0