北京市西城区2021-2022学年高二下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-08-26 类型：期末考试

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一、单选题

1. 若 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 成等差数列，则（）

A、 $2 b = a + c$ B、 $2 b = a c$ C、 $b^{2} = a + c$ D、 $b^{2} = a c$

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2. 函数 $f (x) = \frac{1}{x}$ 在 $x = 2$ 处的瞬时变化率为（）

A、－2 B、－4 C、－ $\frac{1}{2}$ D、－ $\frac{1}{4}$

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3. 将一枚均匀硬币随机掷4次，恰好出现2次正面向上的概率为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{3}{8}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{5}{8}$

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4. 已知函数 $f (x) = s i n x + c o s x$ ， $f^{^{'}} (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数，则（）

A、 $f (x) + f^{'} (x) = 2 s i n x$ B、 $f (x) + f^{'} (x) = 2 c o s x$ C、 $f (x) - f^{'} (x) = - 2 s i n x$ D、 $f (x) - f^{'} (x) = - 2 c o s x$

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5. 在等比数列{ $a_{n}$ }中， $a_{1} = 4 ， a_{5} = 1$ ，则 $a_{3}$ ＝（）

A、4 B、±4 C、2 D、±2

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6. 若等差数列{ $a_{n}$ }满足 $a_{8} > 0 ， a_{7} + a_{10} < 0$ ，则当{ $a_{n}$ }的前n项和最大时，n＝（）

A、7 B、8 C、9 D、10

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7. 设函数 $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + 4 x$ 的极小值为－8，其导函数 $y = f^{'} (x)$ 的图象过点（－2，0），如图所示，则 $f (x)$ ＝（）

A、 $- \frac{2}{3} x^{3} - x^{2} + 4 x$ B、 $- x^{3} - 2 x^{2} + 4 x$ C、 $- x^{3} + 4 x$ D、 $- 2 x^{3} + x^{2} + 4 x$

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8. 在等比数列{ $a_{n}$ }中， $a_{1} = 8 ， a_{4} = - 1$ ．记 $T_{n} = a_{1} a_{2} ⋯ a_{n} (n = 1 ， 2 ， ⋯)$ ，则数列{ $T_{n}$ }（）

A、有最大项，有最小项 B、有最大项，无最小项 C、无最大项，有最小项 D、无最大项，无最小项

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9. 数列{ $a_{n}$ }的通项公式为 $a_{n} = n^{2} - 2 λ n (n = 1 ， 2 ， ⋯)$ ．若{ $a_{n}$ }为递增数列，则 $λ$ 的取值范围是（）

A、[1，＋∞） B、 $(\frac{3}{2} ， + \infty)$ C、（－∞，1] D、 $(- \infty ， \frac{3}{2})$

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10. 设P为曲线 $y = e^{x}$ 上一点，Q为曲线 $y = l n x$ 上一点，则|PQ|的最小值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、2

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二、填空题

11. 设函数 $f (x) = \frac{l n x}{x}$ ，则 $f^{'} (1) =$ ．

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12. 已知{ $a_{n}$ }是公比为q的等比数列，其前n项和为 $S_{n}$ ．若 $S_{4} = 5 S_{2}$ ，则q＝．

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13. 已知正方形ABCD的边长为1.取正方形ABCD各边的中点 $A_{1}$ ， $B_{1}$ ， $C_{1}$ ， $D_{1}$ ，作第2个正方形A₁B₁C₁D₁；然后再取正方形A₁B₁C₁D₁各边的中点 $A_{2} ， B_{2} ， C_{2} ， D_{2}$ ，作第3个正方形 $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ ；…，依此方法一直继续下去．给出下列四个结论：
①从正方形ABCD开始，所有这些正方形的周长依次成等差数列；

②从正方形ABCD开始，所有这些正方形的面积依次成等比数列；

③从正方形ABCD开始，所有这些正方形周长之和趋近于8；

④从正方形ABCD开始，所有这些正方形面积之和趋近于2.

其中所有正确结论的序号是．

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14. 已知随机变量X的分布列如下：
X
0
1
2
P
0.4
p
0.4
则P＝；D（X）＝．

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15. 若曲线 $y = x e^{a - x} + b x$ 在 $x = 2$ 处的切线方程为 $y = (e - 1) x + 4$ ，则 $a =$ ； $b =$ ．

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三、解答题

16. 已知函数 $f (x) = (x - 1) e^{x}$ ．

(1)、求f（x）的极值；

(2)、求f（x）在区间[－1，2]上的最大值和最小值．

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17. 在等差数列{ $a_{n}$ }中， $a_{2} = 3 ， a_{4} = 7 .$

(1)、求{ $a_{n}$ }的通项公式；

(2)、若 ${b_{n} - a_{n}}$ 是公比为2的等比数列， $b_{1} = 3$ ，求数列{ $b_{n}$ }的前n项和 $S_{n}$ ．

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18. 某单位有A，B两家餐厅提供早餐与午餐服务，甲、乙两人每个工作日早餐和午餐都在单位用餐，近100个工作日选择餐厅用餐情况统计如下（单位：天）：
选择餐厅（早餐，午餐）
（A，A）
（A，B）
（B，A）
（B，B）
甲
30
20
40
10
乙
20
25
15
40
假设用频率估计概率，且甲、乙选择餐厅用餐相互独立．

(1)、估计一天中甲选择2个餐厅用餐的概率；

(2)、记X为一天中甲用餐选择的餐厅的个数与乙用餐选择的餐厅的个数之和，求X的分布列和数学期望E（X）；

(3)、判断甲、乙两人在早餐选择A餐厅用餐的条件下，哪位更有可能在午餐选择B餐厅用餐？说明理由．

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19. 设某商品的利润只由生产成本和销售收入决定．生产成本C（单位：万元）与生产量x（单位：百件）间的函数关系是 $C (x) = 10000 + 20 x$ ；销售收入S（单位：万元）与生产量x间的函数关系是 $S (x) = {\begin{cases} - \frac{1}{30} x^{3} + 3 x^{2} + 290 x ， 0 < x < 120 \\ 25400 ， x \geq 120 \end{cases}$ ．

(1)、把商品的利润表示为生产量x的函数；

(2)、为使商品的利润最大化，应如何确定生产量？

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20. 已知函数 $f (x) = x - l n x$ ．

(1)、判断f（x）在区间 $(0 ， 1)$ 上的单调性，并加以证明；

(2)、设 $a < 0$ ，若 $f (e^{- x}) \geq f (x^{a})$ 对 $x \in (1 ， + \infty)$ 恒成立，求a的最小值．

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21. 已知{ $a_{n}$ }是公差不为0的无穷等差数列．若对于{ $a_{n}$ }中任意两项 $a_{m}$ ， $a_{n}$ ，在{ $a_{n}$ }中都存在一项 $a_{i}$ ，使得 $a_{i} = a_{m} a_{n}$ ，则称数列{ $a_{n}$ }具有性质P．

(1)、已知 $a_{n} = 3 n ， b_{n} = 3 n + 2 (n = 1 ， 2 ， ⋯)$ ，判断数列{ $a_{n}$ }，{ $b_{n}$ }是否具有性质P；

(2)、若数列{ $a_{n}$ }具有性质P，证明：{ $a_{n}$ }的各项均为整数；

(3)、若 $a_{1} = 20$ ，求具有性质P的数列{ $a_{n}$ }的个数．

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选择餐厅（早餐，午餐）	（A，A）	（A，B）	（B，A）	（B，B）
甲	30	20	40	10
乙	20	25	15	40

X	0	1	2
P	0.4	p	0.4