山东省威海市环翠区2021-2022学年八年级下学期期末数学试题

试卷更新日期：2022-08-26 类型：期末考试

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一、单选题

1. 若式子 $\frac{\sqrt{x + 2}}{x - 1}$ 有意义，则实数x的取值范围是（）．

A、 $x \geq - 2$ 且 $x \neq 1$ B、 $x \neq 1$ C、 $x > 1$ D、 $x \geq - 2$

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2. 在一组对边平行的四边形中，增加一个条件，使得这个四边形是菱形，那么增加的条件可以是（）

A、另一组对边相等，对角线相等 B、另一组对边相等，对角线互相垂直 C、另一组对边平行，对角线相等 D、另一组对边平行，对角线相互垂直

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3. 下列运算正确的是（）

A、 $\sqrt{3} \div \sqrt{\frac{1}{3}} = 3$ B、 $\sqrt{12} - \sqrt{3} = 2 \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{3} \times \sqrt{2} = 6$ D、 $\sqrt{5} + \sqrt{3} = \sqrt{8}$

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4. 用配方法解一元二次方程 $y^{2} - y - \frac{1}{2} = 0$ 时，下列变形正确的是（）

A、 ${(y + \frac{1}{2})}^{2} = 1$ B、 ${(y - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{3}{4}$ C、 ${(y + \frac{1}{2})}^{2} = \frac{3}{4}$ D、 ${(y - \frac{1}{2})}^{2} = 1$

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5. 已知 $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ ，则下列各式成立的是（）

A、 $\frac{a}{c} = \frac{d}{b}$ B、 $\frac{b}{c} = \frac{a}{d}$ C、 $\frac{a}{a + d} = \frac{c}{c + b}$ D、 $\frac{a + b}{c + d} = \frac{a}{c}$

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6. 疫情期间，某快递公司推出无接触配送服务，4月份第1周接到1.5万件订单，前3周共接到4.8万件订单，设第1周到第3周订单的周平均增长率为x，则可列方程为（）

A、 $1.5 (1 + 2 x) = 4.8$ B、 $1.5 \times 2 (1 + x) = 4.8$ C、 $1.5 (1 + x)^{2} = 4.8$ D、 $1.5 + 1.5 (1 + x) + 1.5 (1 + x)^{2} = 4.8$

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7. 下列说法中，错误的是（）

A、等边三角形都相似 B、等腰直角三角形都相似 C、矩形都相似 D、正八边形都相似

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8. 新定义运算： $a ※ b = a^{2} - a b + b$ ，例如 $2 ※ 1 = 2^{2} - 2 \times 1 + 1 = 3$ ，则方程 $x ※ 2 = 5$ 两根的平方和为（）

A、4 B、8 C、10 D、不存在

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9. 若关于x的方程 $x^{2} + 2 x + a = 0$ 两根异号，则a的取值范围是（）

A、 $a < 1$ B、 $a > 1$ C、 $a < 0$ D、 $0 < a < 1$

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10. 如图，D是 $△ A B C$ 的边 $A C$ 上一点，那么下面四个命题中错误的是（）

A、如果 $∠ A D B = ∠ A B C$ ，则 $△ A D B ∽ △ A B C$ B、如果 $∠ A B D = ∠ C$ ，则 $△ A B D ∽ △ A C B$ C、如果 $\frac{A B}{A C} = \frac{A D}{A B}$ ，则 $△ A B C ∽ △ A D B$ D、如果 $\frac{A D}{A B} = \frac{A B}{B C}$ ，则 $△ A D B ∽ △ A B C$

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11. 如图是某数学兴趣小组设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图，在点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，CD⊥BD，且测得AB＝4m，BP=6m，PD＝12m，那么该古城墙CD的高度是（　　）

A、8m B、9m C、16m D、18m

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12. 如图，在矩形 $A B C D$ 中，点E是 $A D$ 的中点， $∠ E B C$ 的平分线交 $C D$ 于点F将 $△ D E F$ 沿 $E F$ 折叠，点D恰好落在 $E B$ 上M点处，延长 $B C 、 E F$ 交于点N，有下列四个结论：① $B F$ 垂直平分 $E N$ ；② $△ B E N$ 是等边三角形；③ $△ D E F ∽ △ F E B$ ；④ $S_{△ B E F} = 3 S_{△ D E F}$ ．其中，正确结论的序号是（）

A、①②③ B、①③④ C、②③④ D、①②④

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二、填空题

13. 若已知数轴上的点A、点B所对应的实数分别是 $\sqrt{8}$ 、 $- \sqrt{18}$ ，那么 $A B =$ ．

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14. 代数式 $x^{2} - 2 x$ 与4x的值相等，则x的值为．

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15. 在△ABC中，已知AB＝AC＝3，BC＝4，若D，E是边BC的两个“黄金分割”点，则△ADE的面积为．

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16. 参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛42场，则参加比赛的球队有支．

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17. 如图，矩形OABC中，OA=4，AB=3，点D在边BC上，且CD=3DB，点E是边OA上一点，连接DE，将四边形ABDE沿DE折叠，若点A的对称点 $A^{'}$ 恰好落在边OC上，则OE的长为．

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18. 如图，在平面直角坐标系中，等边 $△ A B C$ 与等边 $△ B D E$ 是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为 $\frac{1}{3}$ ，点A、B、D在x轴上，若等边 $△ B D E$ 的边长为12，则点C的坐标为．

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三、解答题

19. 计算下列各题：

(1)、 $\sqrt{1 \frac{1}{2}} \times \sqrt{5 \frac{1}{4}} \div \sqrt{3.5}$

(2)、 $\sqrt{18} + \frac{1}{5} \sqrt{50} - 4 \sqrt{\frac{1}{2}}$

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20. 用适当的方法解下列方程：

(1)、 $(2 x - 1)^{2} = 3 x (2 x - 1)$

(2)、 $3 x^{2} - 5 x + 5 = 7$

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21. 如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，对角线AC、BD交于点O，过点B作BE∥CD交AC于点E．

(1)、求证；四边形BCDE是菱形；

(2)、若AB=5，E为AC的中点，当BC的长为时，四边形BCDE是正方形．

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22. 已知关于x的方程x²+2mx+n=0（m、n是常数）有两个相等的实数根．

(1)、求证： $m^{2} = n$ ；

(2)、求证： $m + n \geq - \frac{1}{4}$ ．

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23. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A D$ 是角平分线，点E是边 $A C$ 上一点，且满足 $∠ A D E = ∠ B ， A E = 3$ ， $A D = 5$ ，求 $A B$ 的长．

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24. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $A D = 10 .$ 直角尺的直角顶点P在 $A D$ 上滑动时（点P与A、D不重合），一直角边经过点C，另一直角边 $A B$ 交于点E．

(1)、求证： $R t Δ A E P$ ∽ $R t Δ D P C$ ；

(2)、当 $∠ C P D = 30 °$ 时，求 $A E$ 的长；

(3)、是否存在这样的点P，使 $Δ D P C$ 的周长等于 $Δ A E P$ 周长的2倍？若存在，求出 $D P$ 的长；若不存在，请说明理由．

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25. 将一个矩形ABCD绕点B顺时针旋转 $α (0 ° < α \leq 90 °)$ ，得到矩形 $B C^{'} D^{'} A^{'}$ ．

(1)、如图1，当 $α = 90 °$ 时，连接 $C^{'} A^{'}$ ，点D恰好在 $C^{'} A^{'}$ 的延长线上．若AB＝1，求BC的长；

(2)、如图2，连接BD，过点C作 $C E ∥ B D$ 交 $A^{'} C^{'}$ 于点E．求证： $C E = C^{'} E$ ；

(3)、如图3，在探究（2）的条件下，射线 $C^{'} A^{'}$ 分别交BC，BD于点F，G，直接写出线段 $C^{'} G$ ， FG，EG的数量关系．

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