山东省济南市莱芜区2021-2022学年八年级下学期期末数学试题

试卷更新日期：2022-08-26 类型：期末考试

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一、单选题

1. 下列运算正确的是（）

A、 $\sqrt{2} + 2 = 2 \sqrt{2}$ B、 $4 \sqrt{3} - \sqrt{3} = 4$ C、 $\sqrt{2} \times \sqrt{3} = \sqrt{6}$ D、 $\sqrt{24} \div \sqrt{6} = 4$

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2. 用配方法解一元二次方程 $x^{2} - 6 x + 4 = 0$ ，配方正确的是（）

A、 ${(x + 3)}^{2} = - 5$ B、 ${(x - 3)}^{2} = 13$ C、 ${(x + 3)}^{2} = 5$ D、 ${(x - 3)}^{2} = 5$

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3. 顺次连接矩形各边中点得到的四边形是（）

A、平行四边形 B、矩形 C、菱形 D、正方形

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4. 若两个相似三角形的周长之比为1∶4，则它们的面积之比为（）

A、1∶2 B、1∶4 C、1∶8 D、1∶16

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5. 以 $x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 4 c}}{2}$ 为根的一元二次方程可能是（）

A、 $x^{2} - 4 x - c = 0$ B、 $x^{2} + 4 x - c = 0$ C、 $x^{2} - 4 x + c = 0$ D、 $x^{2} + 4 x + c = 0$

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6. 下列命题中，真命题是（）

A、两组邻边分别相等的四边形是平行四边形 B、两条对角线相等的四边形是矩形 C、两条对角线互相垂直的四边形是菱形 D、两条对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形

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7. 已知三角形的两边长为3和6，第三边的长是方程 $x^{2} - 7 x + 12 = 0$ 的一个根，则这个三角形的周长是（）

A、12 B、13 C、12或13 D、15

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8. 如图，在 $△ A B C$ 中，E是线段AC上一点， $A E ： C E = 1 ： 2$ ，过点C作 $C D ∥ A B$ ，交BE的延长线于点D．若 $△ E C D$ 的面积等于16，则 $△ A B C$ 的面积等于（）

A、8 B、10 C、12 D、16

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9. 直角三角形两条直角边长分别为 $\sqrt{5} - \sqrt{3}$ 和 $\sqrt{5} + \sqrt{3}$ ，则该直角三角形斜边上的中线长为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、1 D、2

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10. 如图，在 $△ A B C$ 中，AD是BC边上的高，在 $△ A B C$ 的内部，作一个正方形PQRS，若 $B C = 3$ ， $A D = 2$ ，则正方形PQRS的边长为（）

A、 $\frac{6}{5}$ B、 $\frac{5}{4}$ C、1 D、 $\frac{3}{2}$

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11. 如图，在平面直角坐标系中，矩形OEFG与矩形ABCD是位似图形，其中对应点C和F的坐标分别为 $(4 ， 4)$ ， $(- 2 ， 1)$ ，则位似中心的坐标是（）

A、 $(0 ， 1.5)$ B、 $(0 ， 2)$ C、 $(0 ， \frac{7}{3})$ D、 $(0 ， 2.5)$

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12. 如图，菱形ABCD的边长为6， $∠ D = 120 °$ ，点E是AB的中点，点P是对角线AC上一动点，则 $B P + E P$ 的最小值是（）

A、 $3 \sqrt{3}$ B、 $6 \sqrt{3}$ C、3 D、 $6 \sqrt{2}$

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二、填空题

13. 若式子 $\sqrt{x + 4}$ 在实数范围内有意义，则x的取值范围是．

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14. 若关于 $x$ 的方程 $x^{2} + 2 x + m = 0$ 有两个不相等的实数根，则 $m$ 的取值范围是．

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15. 计算： $\sqrt{3^{2} - 2^{2} - 1^{2}} =$ ．

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16. 近期随着国家抑制房价新政策的出台，某楼盘房价连续两次下跌，由原来的每平方米10000元降至每平方米8100元，设每次降价的百分率相同,则降价百分率为.

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17. 如图，已知 $△ A B C ∽ △ A D B$ ，点D是AC的中点， $C D = 2$ ，则AB的长为．

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18. 将矩形纸片ABCD折叠，使点B和点D重合，折痕EF与BD交于点O．若 $D E = \frac{5}{2}$ ， $C F = \frac{3}{2}$ ，则 $O D =$ ．

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三、解答题

19. 计算： $(\sqrt{2} + \sqrt{3})^{2}$ ﹣（ $\sqrt{2}$ ＋ $\sqrt{3}$ ）（ $\sqrt{2} - \sqrt{3}$ ）．

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20. 计算： $- 1^{2022} - \sqrt{12} + {(3.14 - π)}^{0} - | 3 - \sqrt{3} |$ ．

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21. 如图，等边 $△ A B C$ 的边长为6，点P，D分别是BC、AC边上的点，且 $∠ A P D = 60 °$ ， $B P = 2$ ，求CD的长．

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22. 已知：关于x的方程 $3 x^{2} + m x - 8 = 0$ 有一个根是－4，求另一个根及m的值．

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23. 如图，在四边形ABCD中， $A B ∥ C D$ ， $A B = A D$ ，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD．

(1)、求证：四边形ABCD是菱形；

(2)、点P是边BC上的动点（不包括端点），过点P作 $P E ⊥ A C$ ， $P F ⊥ B D$ ，垂足分别为E，F，求证： $O P = E F$ ．

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24. 已知一个矩形相邻的两边长分别是a，b，且 $a = \frac{1}{2} \sqrt{48}$ ， $b = \frac{1}{3} \sqrt{27}$ ．

(1)、求此矩形的周长；

(2)、若一个正方形的周长与上述矩形的周长相等，求此正方形的面积．

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25. 某农户生产经营一种农产品，已知这种农产品的成本价为每千克20元，经市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．

(1)、求y与x之间的函数关系式；

(2)、该农户想要每天获得150元的利润，又要让利消费者，销售价应定为每千克多少元？

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26. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，连接AE，BF交于点G．

(1)、AE，BF之间有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由；

(2)、求四边形FGEC的面积．

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27. 某校数学活动小组探究了如下数学问题：

(1)、问题发现：如图1， $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C$ ．点P是底边BC上一点，连接AP，以AP为腰作等腰 $R t △ A P Q$ ，且 $∠ P A Q = 90 °$ ，连接CQ、则BP和CQ的数量关系是；

(2)、变式探究：如图2， $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C$ ．点P是腰AB上一点，连接CP，以CP为底边作等腰 $R t △ C P Q$ ，连接AQ，判断BP和AQ的数量关系，并说明理由；

(3)、问题解决：如图3，在正方形ABCD中，点P是边BC上一点，以DP为边作正方形DPEF，点Q是正方形DPEF两条对角线的交点，连接CQ．若正方形DPEF的边长为 $\sqrt{10}$ ， $C Q = \sqrt{2}$ ，求正方形ABCD的边长．

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