山西省大同市2021-2022学年八年级下学期期末数学试题

试卷更新日期：2022-08-26 类型：期末考试

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一、单选题

1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{\frac{1}{2}}$ B、 $\sqrt{20}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{0.2}$

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2. 公元前500年，古希腊毕达哥拉斯（Pythagoras）学派的弟子希帕索斯（Hippasus）发现了一个惊人的事实：边长为1的正方形的对角线的长度是不可公度的，即不能表示成两个整数之比．这个发现是基于一个表述直角三角形三条边长之间关系的定理，请问这个定理被称为（）

A、勾股定理 B、韦达定理 C、费马大定理 D、阿基米德折弦定理

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3. 已知在 $△ A B C$ 中， $∠ A$ ， $∠ B$ ， $∠ C$ 的对边分别记为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，则下列条件不能判定 $△ A B C$ 为直角三角形的是（）

A、 $∠ B = ∠ C - ∠ A$ B、 $a ： b ： c = 3 ： 4 ： 5$ C、 $c^{2} + b^{2} = a^{2}$ D、 $∠ A ： ∠ B ： ∠ C = 5 ： 12 ： 13$

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4. 随着我国综合国力的增强，人们生活水平也不断提升，越来越多的人开始关注健康、锻炼身体．其中走路是最简单的锻炼方法之一，舒适的运动鞋就成为走路锻炼的必要装备．运动鞋的鞋底柔软而富有弹性，能起到一定的缓冲作用，防止脚踝受伤．某运动鞋品牌店试销一种新款男鞋，试销期间销售情况如下表：
鞋的尺码/ $c m$
24
24.5
25
25.5
26
26.5
销售量/双
3
8
16
10
6
2
父亲节来临之际，该品牌店店主为了促销再次进货，此次进货应参考的是试销期间所售出鞋的尺码的（）

A、平均数 B、众数 C、中位数 D、方差

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5. 将直线 $y = - 2 x + 3$ 向上平移2个单位长度，则平移后的直线所对应的函数解析式为（）

A、 $y = - 2 x + 1$ B、 $y = - 4 x + 5$ C、 $y = - 2 x + 5$ D、 $y = - 4 x + 1$

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6. 学习完“一次函数”，王老师出了一道题：已知 $k b < 0$ ，且 $b > 0$ ，则一次函数 $y = k x + b$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 某场比赛，共有10位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从10个原始评分中去掉一个最高分、一个最低分，得到8个有效评分，8个有效评分与10个原始评分相比，一定不变的数据特征是（）

A、平均数 B、众数 C、中位数 D、方差

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8. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = B C$ ， $E$ ， $F$ ， $G$ ， $H$ 分别是边 $A B$ ， $B C$ ， $C D$ ， $D A$ 的中点，连接 $E F$ ， $F G$ ， $G H$ ， $H E$ ，则对四边形 $E F G H$ 的形状描述最准确的是（）

A、平行四边形 B、矩形 C、菱形 D、正方形

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9. 已知林茂的家、体育场、文具店在同一直线上，图中的信息反映的过程是林茂从家跑步去体育场，在体育场锻炼了一阵后又走到文具店买笔，然后再走回家，图中 $x$ 表示时间， $y$ 表示林茂离家的距离。依据图中的信息，下列说法错误的是（）

A、体育场离林茂家2.5km B、体育场离文具店1km C、林茂从体育场出发到文具店的平均速度是50m/min D、林茂从文具店回家的平均速度是60m/min

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10. 如图，正方形 $A B C D$ 的边长为4，先以正方形的对角线 $A C$ 为直径画圆，再以正方形的各边长为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为（）

A、16 B、 $8 π$ C、 $16 π$ D、8

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二、填空题

11. 写出一个比 $\sqrt{5}$ 大且比 $\sqrt{17}$ 小的整数．

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12. 如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，试添加一个条件：，使得平行四边形ABCD为菱形．

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13. 《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高丈，末折抵地，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原来高一丈（一丈为十尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部三尺远，那么原处还有尺高的竹子．

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14. 数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设一个三角形的三边长分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，三角形的面积 $S$ 可由公式 $S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ 求得，其中 $p$ 为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．请你利用公式解答下列问题：在 $△ A B C$ 中，已知 $a = 3$ ， $b = 6$ ， $c = 5$ ，则 $△ A B C$ 的面积为．

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15. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A D = 8$ ， $A B = 4$ ， $E$ ， $F$ 分别是边 $A D$ ， $B C$ 上的点（点 $E$ ， $F$ 不与顶点重合）．将矩形沿直线 $E F$ 折叠，点 $B$ 恰好与点 $D$ 重合，点 $A$ 的对应点为点 $G$ ，则线段 $E F$ 的长为．

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三、解答题

16.

(1)、计算： $\sqrt{18} - \sqrt{8} + \sqrt{2}$ ；

(2)、下面是小明同学计算 $\sqrt{\frac{4}{3}} - \frac{1}{2} (\sqrt{12} - \sqrt{75})$ 的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解： $\sqrt{\frac{4}{3}} - \frac{1}{2} (\sqrt{12} - \sqrt{75})$

$= \frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{1}{2} (2 \sqrt{3} - 5 \sqrt{3})$ …………………………………………………………………第一步

$= \frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{1}{2} \times 2 \sqrt{3} - \frac{1}{2} \times 5 \sqrt{3}$ ………………………………………………………………第二步

$= \frac{2 \sqrt{3}}{3} - \sqrt{3} - \frac{5 \sqrt{3}}{2}$ ……………………………………………………………………… 第三步

$= \frac{4 \sqrt{3}}{6} - \frac{6 \sqrt{3}}{6} - \frac{15 \sqrt{3}}{6}$ ………………………………………………………………………第四步

$= - \frac{17 \sqrt{3}}{6}$ ． …………………………………………………………………………………第五步

任务一：小明同学的解答过程从第步开始出现错误，这一步错误的原因是．

任务二：请你写出正确的计算过程．

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17. 如图，四边形ABCD是平行四边形，BE//DF且分别交对角线于点E，F，连接ED，BF．
求证： $∠ 1 = ∠ 2$

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18. 某校八年级举办“防溺水安全知识答题竞赛”，甲、乙两个班根据初赛成绩各选出5名选手组成甲班代表队（简称：甲队）和乙班代表队（简称：乙队）参加学校决赛，甲队5名选手的决赛成绩（单位：分）分别是：85，80，75，85，100；乙队5名选手的决赛成绩（单位：分）分别是：100，80，100，75，70．
现将有关成绩整理成如下表格：

平均数/分
中位数/分
众数/分
方差
甲队
$a$
85
$b$
$s_{甲}^{2}$
乙队
85
$c$
100
160

(1)、直接写出 $a$ ， $b$ ， $c$ 的值．

(2)、结合两队成绩的平均数和中位数进行分析，哪个队的决赛成绩较好？

(3)、学校决定从甲队和乙队中选择成绩较为稳定的一个代表队参加省级竞赛，你认为选哪个代表队合适？

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19. 如图，在 $4 \times 4$ 的菱形斜网格图中（每个小菱形的边长均为1，且较小的内角为 $60 °$ ），我们把每个菱形网格的交点叫做格点，四个顶点都在格点上的矩形叫做格点矩形．请按下列要求作图：

(1)、在图1中画出一个以 $A B$ 为边的格点矩形．

(2)、在图2中画出一个面积为 $2 \sqrt{3}$ 的格点矩形．

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20. 暑假将至，某游泳馆面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下．
方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次游泳的费用按六折优惠．
方案二：不购买学生暑期专享卡，每次游泳的费用按八折优惠．
设李强暑期游泳的次数为 $x$ ，按照方案一所需费用为 $y_{1}$ （元），按照方案二所需费用为 $y_{2}$ （元），其函数图象分别如图所示．

(1)、求按方案一所需费用 $y_{1}$ 与游泳次数 $x$ 的函数解析式及打折前每次游泳的费用．

(2)、求按方案二所需费用 $y_{2}$ 与游泳次数 $x$ 的函数解析式．

(3)、假设李强计划暑期前往该游泳馆游泳7次，选择哪种方案所需费用较少？请说明理由．

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21. 某学习小组探究函数 $y = | x + 2 |$ 的图象与性质．下面是该组同学的探究过程，请补充完整：

(1)、函数 $y = | x + 2 |$ 中自变量 $x$ 的取值范围是．

(2)、下表是 $x$ 与 $y$ 的几组对应值．
$x$
…
－6
－5
－4
－3
－2
－1
0
1
2
…
$y$
…
4
3
2
m
0
1
$n$
3
4
…
填空：m= ， n= ．

(3)、在如图所示的正方形网格中，建立合适的平面直角坐标系 $x O y$ ，描出以上表中各组对应值为坐标的点，并画出该函数的图象．

(4)、根据所画函数图象，你能得出哪些合理的结论？（写出一条即可）

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22. 综合与实践
问题情境：
已知四边形 $A B C D$ 是正方形， $A C$ 是对角线，将等腰直角三角形 $A M N$ 的底角顶点与点 $A$ 重合， $A M$ ， $A N$ 分别与边 $B C$ ， $C D$ 相交于点 $E$ ， $F$ （点 $E$ ， $F$ 不与线段的端点重合），连接 $E F$ ．
特例感知：

(1)、如图1，当 $A E$ 平分 $∠ B A C$ 时，
①试判断 $B E$ 和 $D F$ 的数量关系，并说明理由；
② $E F$ 和 $B E$ 的数量关系是 ▲ ．

(2)、如图2，当 $A E$ 不是 $∠ B A C$ 的平分线时，试判断 $B E$ ， $E F$ ， $D F$ 的数量关系，并说明理由．

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23. 如图，在平面直角坐标系中，直线 $l_{1}$ ： $y = 2 x - 1$ 与 $x$ 轴， $y$ 轴分别交于点 $A$ ， $B$ ，直线 $l_{2}$ ： $y = - \frac{1}{2} x + 1$ 与 $x$ 轴， $y$ 轴分别交于点 $P$ ， $C$ ，连接 $A C$ ，直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 交于点 $D$ ．

(1)、求点 $D$ 的坐标，并直接写出不等式 $2 x - 1 > - \frac{1}{2} x + 1$ 的解集．

(2)、求 $△ A C D$ 的面积．

(3)、若点 $E$ 在直线 $l_{1}$ 上， $F$ 为坐标平面内任意一点，试探究：是否存在以点 $B$ ， $C$ ， $E$ ， $F$ 为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点 $F$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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	平均数/分	中位数/分	众数/分	方差
甲队	$a$	85	$b$	$s_{甲}^{2}$
乙队	85	$c$	100	160

鞋的尺码/ $c m$	24	24.5	25	25.5	26	26.5
销售量/双	3	8	16	10	6	2

$x$	…	－6	－5	－4	－3	－2	－1	0	1	2	…
$y$	…	4	3	2	m	0	1	$n$	3	4	…