江西省吉安市泰和县2021-2022学年八年级下学期期末数学试题

试卷更新日期：2022-08-25 类型：期末考试

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一、单选题

1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 下列说法错误的是（）

A、若 $a < b$ ，则 $a x^{2} < b x^{2}$ B、若 $a > b$ ，则 $- 4 a < - 4 b$ C、若 $a > b$ ，则 $1 - a < 1 - b$ D、若 $a > b$ ，则 $a + x > b + x$

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3. 将点A $(- 2 ， - 3)$ 向左平移3个单位，再向上平移4个单位得到点B，则点B的坐标是（）

A、（-5，-7） B、（-5，1） C、（1，1） D、（1，-7）

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4. 一个正多边形，它的每一个外角都等于40°，则该正多边形是（）

A、正六边形 B、正七边形 C、正八边形 D、正九边形

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5. 数形结合是解决数学问题常用的思想方法.如图，直线 $y = 2 x - 1$ 与直线 $y = k x + b (k \neq 0)$ 相交于点 $P (2 ， 3)$ .根据图象可知，关于x的不等式 $2 x - 1 > k x + b$ 的解集是（）

A、 $x < 2$ B、 $x < 3$ C、 $x > 2$ D、 $x > 3$

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6. 如图，点P为定角∠AOB平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补.若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：①PM=PN；②OM+ON的值不变；③MN的长不变；④四边形PMON的面积不变，其中，正确结论的是（）

A、①②③ B、①②④ C、①③④ D、②③④

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二、填空题

7. 若分式 $\frac{1 - x^{2}}{2 - 2 x}$ 的值为0，则x=.

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8. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A D$ 平分 $∠ B A C$ ， $A D$ 与 $B C$ 边交于点 $D$ ， $B D = 2 C D$ ，若点 $D$ 到 $A B$ 的距离等于5cm，则 $B C$ 的长为 cm．

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9. 如图，在实数范围内规定新运算“△”，其规则是：a△b=2a﹣b．已知不等式x△k≥1的解集在数轴上，则k的值是．

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10. 若关于 $x$ 的方程 $\frac{m}{x + 4} - \frac{x - 1}{x + 4} = 0$ 产生增根，则 $m =$ ．

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11. 如图，把直角梯形ABCD沿AD方向平移到梯形EFGH的位置，HG＝24cm，MG＝6cm，MC＝4cm，则阴影部分的面积是cm² ．

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12. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $A B = 8 c m$ ， $A D = 12 c m$ ，点P在 $A D$ 边上以 $1 c m / s$ 的速度从点A向点D运动，点Q在 $B C$ 边上以 $4 c m / s$ 的速度从点C出发，在 $C B$ 间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止运动）．设运动 $t (s)$ （其中 $t > 0$ ）时，以P、D、Q、B四点组成的四边形是平行四边形，则t的所有可能取值为．

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三、解答题

13. 分解因式及解方程：

(1)、 $x^{2} y - 2 x y^{2} + y^{3}$

(2)、 $\frac{2 x - 4}{2 x - 1} + 2 = \frac{3}{1 - 2 x}$

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14. 解不等式组 ${\begin{array}{l} 5 x - 6 \leq 3 x \\ \frac{x - 2}{3} < \frac{x + 1}{2} - 1 \end{array}$ ，并把不等式组的解集表示在数轴上．

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15. 先化简，再求值：（ $\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1}$ ）÷ $\frac{x + 2}{x^{2} - 1}$ ，然后从﹣1，1，3中选择适当的数代入求值.

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16. 如图，7×7的网格中，A，B，C均在格点上，请用无刻度的直尺作图（保留作图痕迹，不写作法）

(1)、在图1中找一格点D，使得△ACD为等腰三角形（找到一个即可）；

(2)、在图2中作出∠BAC的角平分线。

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17. 如图，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AB＝AC＝8，若 $S_{△ A B C} = 28$ ，求DE的长．

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18. 如图， $△$ ABC的外角∠DAC的平分线交BC边的垂直平分线于P点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E．

(1)、求证：BD＝CE；

(2)、若AB＝6cm，AC＝10cm，求AD的长．

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19. 虹桥中学为了创建良好的校园读书环境，去年购买了一批图书．其中故事书的单价比文学书的单价多4元，用1200元购买的故事书与用800元购买的文学书数量相等．

(1)、求去年购买的文学书和故事书的单价各是多少元？

(2)、若今年文学书的单价比去年提高了 $25 %$ ，故事书的单价与去年相同，这所中学今年计划再购买文学书和故事书共200本，且购买文学书和故事书的总费用不超过2120元，这所中学今年至少要购买多少本文学书？

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20. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $B C = 6 c m$ ，将纸片沿对角线 $A C$ 对折， $B^{'} C$ 边与 $A D$ 边交于点E，此时， $△ C D E$ 恰为等边三角形．

(1)、猜想 $A C$ 与 $A B$ 的位置关系，并证明你的结论；

(2)、连接 $B^{'} D$ ，请说明四边形 $A C D B^{'}$ 为平行四边形；

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21. 如图，已知函数y=x+1的图象与y轴交于点A，一次函数y=kx+b的图象经过点B(0，-1)，与x轴以及y=x+1的图象分别交于点C、D，且点D的坐标为(1，n)，

(1)、求n，k ，b的值；

(2)、若函数y=kx+b的函数值大于函数y=x+1的函数值，则x的取值范围是多少？

(3)、求四边形AOCD的面积；

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22. 阅读下面材料，解答后面的问题．
解方程： $\frac{x - 1}{x}$ － $\frac{4 x}{x - 1}$ ＝0.

解：设y＝ $\frac{x - 1}{x}$ ，则原方程可化为y－ $\frac{4}{y}$ ＝0，方程两边同时乘y ，得y²－4＝0，解得y₁＝2，y₂＝－2.

经检验，y₁＝2，y₂＝－2都是方程y－ $\frac{4}{y}$ ＝0的解．

当y＝2时， $\frac{x - 1}{x}$ ＝2，解得x＝－1；当y＝－2时， $\frac{x - 1}{x}$ ＝－2，解得x＝ $\frac{1}{3}$ .

经检验，x₁＝－1，x₂＝ $\frac{1}{3}$ 都是原分式方程的解．所以原分式方程的解为x₁＝－1，x₂＝ $\frac{1}{3}$ .

上述这种解分式方程的方法称为换元法．

问题：

(1)、若在方程 $\frac{x - 1}{4 x}$ － $\frac{x}{x - 1}$ ＝0中，设y＝ $\frac{x - 1}{x}$ ，则原方程可化为；

(2)、若在方程 $\frac{x - 1}{x + 1}$ － $\frac{4 x + 4}{x - 1}$ ＝0中，设y＝ $\frac{x - 1}{x + 1}$ ，则原方程可化为；

(3)、模仿上述换元法解方程： $\frac{x - 1}{x + 2}$ － $\frac{3}{x - 1}$ －1＝0.

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23. 通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整．
原题：如图1，点E、F分别在正方形 $A B C D$ 的边 $B C$ 、 $C D$ 上， $∠ E A F = 45 °$ ，连接 $E F$ ，试猜想 $E F$ 、 $B E$ 、 $D F$ 之间的数量关系．

(1)、思路梳理
把 $△ A B E$ 绕点A逆时针旋转90°至 $△ A D G$ ，可使 $A B$ 与 $A D$ 重合，由 $∠ A D G = ∠ B = 90 °$ ，得 $∠ F D G = 180 °$ ，即点F、D、G共线，易证 $△ A F G ≅$ ，故 $E F$ 、 $B E$ 、 $D F$ 之间的数量关系为．（要求写出必要的推理过程）

(2)、类比引申
如图2，点E、F分别在正方形 $A B C D$ 的边 $C B$ 、 $D C$ 的延长线上， $∠ E A F = 45 °$ ，连接 $E F$ ，试猜想 $E F$ 、 $B E$ 、 $D F$ 之间的数量关系为，并给出证明．

(3)、联想拓展
如图3，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C$ ，点D、E均在边 $B C$ 上，且 $∠ B A D + ∠ E A C = 45 °$ ，若 $B D = 3$ ， $E C = 6$ ，求 $D E$ 的长．

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