北京市延庆区2021-2022学年八年级下学期期末数学试题

试卷更新日期：2022-08-25 类型：期末考试

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一、单选题

1. 下列图形中，不是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 下列曲线中，表示y是x的函数的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 在平面直角坐标系中，下列各点在第四象限的是（）

A、 $(2 ， - 1)$ B、 $(- 2 ， 3)$ C、 $(0 ， 5)$ D、 $(3 ， 0)$

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4. 下列各点中，在直线 $y = 2 x + 1$ 上的点是（）

A、 $(- 2 ， 1)$ B、 $(1 ， 3)$ C、 $(- 3 ， 2)$ D、 $(3 ， 3)$

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5. 下列多边形中，内角和与外角和相等的是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近10次训练成绩（单位：cm）的平均数与方差：

甲
乙
丙
丁
平均数
181
183
183
181
方差
1.6
3.4
1.6
3.4
要选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，应该选择（）

A、甲 B、乙 C、丙 D、丁

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7. 矩形和菱形都一定具有的性质是（）

A、对角线互相垂直 B、对角线互相平分 C、对角线长度相等 D、对角线平分一组对角

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8. 某农业基地现有杂交水稻种植面积36公顷，计划两年后将杂交水稻种植面积增加到48公顷，设该农业基地杂交水稻种植面积的年平均增长率为x，则可列方程为（）

A、 $48 (1 + x)^{2} = 36$ B、 $48 (1 - x)^{2} = 36$ C、 $36 (1 + x)^{2} = 48$ D、 $36 (1 - x)^{2} = 48$

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二、填空题

9. 函数y= $\frac{1}{x - 2}$ 中，自变量x的取值范围是．

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10. 方程 $x^{2} - 2 x = 0$ 的解为．

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11. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $B C = 10$ ， $D E = 4$ ， $∠ A B C$ 的平分线 $B E$ 交 $A D$ 于点E，则 $A B$ 的长为．

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12. 如图，A，B两点被池塘隔开，在直线 $A B$ 外选一点C，连接 $A C$ 和 $B C$ 分别取 $A C$ ， $B C$ 的中点D，E，测得D，E两点间的距离为10 m，则A，B两点间的距离为m．

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13. 请写出一个图形经过一、三象限的正比例函数的解析式．

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14. 关于x 的一元二次方程 $x^{2} + 2 x - m = 0$ 有两个不相等的实数根，则m的取值范围是．

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15. 如果点 $A (1 ， m)$ 与点 $B (3 ， n)$ 都在直线 $y = - 2 x + 1$ 上，那么mn（填“＞”、“＜”或“=”）．

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16. 平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $y = k x + b$ 与 $y = m x + n$ 相交于点 $M (2 ， 4)$ ，下列结论中正确的是（填写序号）．
①关于x，y的方程组 ${\begin{array}{l} y = k x + b \\ y = m x + n \end{array}$ 的解是 ${\begin{array}{l} x = 2 \\ y = 4 \end{array}$ ；
②关于x的不等式 $k x + b < m x + n$ 的解集是 $x > 2$ ；
③ $k + b < 0$ ．

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三、解答题

17. 解方程：

(1)、 $x^{2} - 4 x + 3 = 0$ ；

(2)、 $3 x^{2} + 2 x - 2 = 0$ ．

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18. 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，BE⊥AC，DF⊥AC，求证：BE＝DF.

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19. 阅读下面材料：

在数学课上，老师提出如下问题：

已知：如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ．

求作：矩形 $A B C D$ ．

小明的思考过程是：

①由于求作矩形，回顾了矩形的定义和判定：

矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；

矩形判定1：对角线相等的平行四边形是矩形；

矩形判定2：有三个角是直角的四边形是矩形．

②条件给出了 $∠ A B C = 90 °$ ，可以选矩形的定义或者矩形判定2；经过思考，小明选择了“矩形定义”．

③小明决定通过作线段AC的垂直平分线，作出线段 $A C$ 的中点O，再倍长线段 $B O$ ，从而确定点D的位置．

小明的作法如下：

作法：①分别以点A，C为圆心，大于 $\frac{1}{2} A C$ 的同样长为半径作弧，两弧分别交于点E，F；

③作直线 $E F$ ，直线 $E F$ 交 $A C$ 于点O；

③作射线 $B O$ ，在 $B O$ 上截取 $O D$ ，使得 $O D = O B$ ；

④连接 $A D$ ， $C D$ ．

∴ 四边形 $A B C D$ 就是所求作的矩形．

请你根据小明同学设计的尺规作图过程：

(1)、使用直尺和圆规，依作法在图1中补全图形（保留作图痕迹）；

(2)、完成下面的证明：

证明：∵直线 $E F$ 是 $A C$ 的垂直平分线，

∴ $A O = O C$ ，

∵ $B O = D O$ ，

∴四边形 $A B C D$ 是平行四边形（ ① ）（填推理的依据）．

∵ $∠ A B C = 90 °$ ，

∴四边形 $A B C D$ 是矩形（ ② ）（填推理的依据）．

(3)、参考小明的作图思路，另外设计一种作法，利用直尺和圆规在图2中完成．

（温馨提示：保留作图痕迹，不用写作法和证明）

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20. 已知一次函数 $y = k x + b$ （ $k \neq 0$ ）的图像经过点 $A (4 ， - 1)$ 和点 $B (1 ， 2)$ ，与y轴交于点C．

(1)、求这个一次函数的表达式；

(2)、在坐标系中画出该一次函数的图象；

(3)、求 $△ A O C$ 的面积．

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21. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} - (m + 2) x + m + 1 = 0$ ．

(1)、如果该方程有两个相等的实数根，求m的值；

(2)、如果该方程有一个根小于0，求m的取值范围．

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22. 如图，要在墙边围一个矩形花圃．花圃的一边靠墙（墙的长度不限），另三边用篱笆围成．如果矩形花圃的面积为50平方米，篱笆长20米，求矩形花圃的长和宽各是多少米？

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23. 某通信公司推出A，B，C三种上网收费方式，每月收取的费用 $y_{A}$ ， $y_{B}$ ， $y_{C}$ 与月上网时间x的对应关系如图所示．

(1)、对于上网方式A，若月上网时间在25小时以内，月收费为元；

(2)、如果月上网时间超过35小时且不足55小时，选择方式最省钱？

(3)、对于上网方式B，若月上网时间超过60小时，超出的时间每小时收费元；

(4)、根据图象，写出一个其他的推断．

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24. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A C$ ， $B D$ 相交于点O， $A E ∥ B D$ ， $B E ∥ A C$ ．

(1)、求证：四边形 $A E B O$ 是菱形；

(2)、若 $A B = O B = 4$ ，求四边形 $A E B O$ 的面积．

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25. 2022年2月20日晚，北京冬奥会圆满落幕．伴随着北京冬奥会的举行，全国各地掀起了参与冰雪运动、了解冬奥知识的热潮．为了调查同学们对冬奥知识的了解情况，某校进行了相关测试，获得了他们的成绩（单位：分），并随机抽取了50名学生的成绩，对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出了相关信息：
a.50名学生的测试分数（百分制）如下：
77   79   80   60   85   66   86   87   68   89
91   82   68   85   65   82   57   66   86   87
69   67   79   79   86   79   87   89   90   89
81   80   72   82   84   82   65   76   76   97
98   55   89   70   71   78   59   52   70   60
b．按如下分组整理、描述样本数据：
成绩x（单位：分）
频数
频率
$50 ⩽ x ⩽ 59$
4
0.08
$60 ⩽ x ⩽ 69$
a
0.20
$70 ⩽ x ⩽ 79$
12
b
$80 ⩽ x ⩽ 89$
20
0.40
$90 ⩽ x ⩽ 100$
4
0.08
合计
50
1.00
请根据以上信息，解答下列问题：

(1)、在频数分布表中， $a =$ ， $b =$ ；

(2)、补全频数分布直方图；

(3)、该校有1000名学生，请你估计该校学生成绩不低于80分的人数．

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26. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $y = k x + b$ （ $k \neq 0$ ）与 $y = x$ 平行，且过点 $A (2 ， 1)$ ，过点A作y轴的垂线，垂足为点B．

(1)、求k，b的值；

(2)、点C在y轴上，点 $D (2 ， m)$ ，四边形 $A B C D$ 是矩形．
①如果矩形 $A B C D$ 的面积小于6，求m的取值范围；
②直线 $y = k x + b$ （ $k \neq 0$ ）与直线 $C D$ 交于点E， $C E = 2 A D$ ，直接写出点E的坐标．

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27. 如图，四边形 $A B C D$ 是正方形，点E是边 $B C$ 上的点，连接 $A E$ ， $∠ B A E = α$ ，过点D作 $D F ⊥ A E$ ，垂足为F，延长 $D F$ 到点G，使 $F G = F D$ ，连接 $A G$ ， $B G$ ，延长 $G B$ 交 $A E$ 的延长线于点H．

(1)、依题意补全图形；

(2)、用含α的式子表示 $∠ A B G$ ；

(3)、直接写出 $∠ A H B$ 的度数；

(4)、用等式表示线段 $A H$ ， $B H$ ， $G H$ 之间的数量关系，并证明．

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28. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，对于直线l： $y = k x + b$ （ $k \neq 0$ ）与图形M给出如下定义：若直线l与图形M有两个交点P，Q，则线段 $P Q$ 的长度称为直线l关于图形M的“截距”．如图，矩形 $A B C D$ 的其中三个顶点的坐标为 $A (1 ， 0)$ ， $B (3 ， 0)$ ， $D (1 ， 3)$ ．

(1)、点C的坐标是．

(2)、直线 $y = x$ 关于矩形 $A B C D$ 的“截距”是；
直线 $y = x + m$ 关于矩形 $A B C D$ 的“截距”是 $\sqrt{2}$ ，求m的值．

(3)、如果直线 $y = k x + b$ （ $k \neq 0$ ）经过点 $E (2 ， 3)$ ，且关于矩形 $A B C D$ 的“截距”的最小值是 $\sqrt{5}$ ，求k的取值范围．

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成绩x（单位：分）	频数	频率
$50 ⩽ x ⩽ 59$	4	0.08
$60 ⩽ x ⩽ 69$	a	0.20
$70 ⩽ x ⩽ 79$	12	b
$80 ⩽ x ⩽ 89$	20	0.40
$90 ⩽ x ⩽ 100$	4	0.08
合计	50	1.00

	甲	乙	丙	丁
平均数	181	183	183	181
方差	1.6	3.4	1.6	3.4