北京市门头沟区2021-2022学年八年级下学期期末数学试题

试卷更新日期：2022-08-25 类型：期末考试

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一、单选题

1. 在函数 $y = \sqrt{x - 1}$ 中，自变量 $x$ 的取值范围是（）

A、 $x \leq 1$ B、 $x \geq 1$ C、 $x < 1$ D、 $x > 1$

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2. 下列关于奥运会的剪纸图形中是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 下列函数中，y是x的正比例函数的是（）

A、 $y = x^{2}$ B、 $y = x$ C、 $y = x + 1$ D、 $y = \frac{1}{x}$

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4. 五边形的内角和是（）

A、180° B、360° C、540° D、720°

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5. 下表记录了甲、乙、丙、丁四名滑雪选手

10

次测试成绩的平均数与方差：

	甲	乙	丙	丁
平均数（分）	$9.2$	$9.7$	$9.7$	$9.2$
方差	$2.5$	$2.1$	$5.6$	$5.1$

要选择一名成绩较高且状态稳定的选手参加滑雪比赛，那么应该选择的选手是（）

A、甲 B、乙 C、丙 D、丁

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6. 电影《长津湖》讲述了一段波澜壮阔的历史，自上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房收入约 $2$ 亿元，第三天票房收入约达到 $4$ 亿元，设票房收入每天平均增长率为 $x$ ，下面所列方程正确的是（）

A、 $2 (1 + x)^{2} = 4$ B、 $2 (1 + 2 x) = 4$ C、 $2 (1 - x)^{2} = 4$ D、 $2 + 2 (1 + x) + 2 (1 + x)^{2} = 4$

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7. 如图，在菱形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点 $O$ ，只需添加一个条件，即可证明菱形 $A B C D$ 是正方形，这个条件可以是（）

A、 $∠ A B C = 90 °$ B、 $A B = B C$ C、 $A C ⊥ B D$ D、 $A B = C D$

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8. 如图 $1$ ，甲、乙两个容器内都装有一定数量的水，现将甲容器中的水匀速注入乙容器中．图 $2$ 中的线段 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 分别表示甲、乙容器中的水的深度 $h$ （厘米）与注入时间t（分钟）之间的函数图象．
下列四个结论中错误的是（）

A、甲容器内的水 $4$ 分钟全部注入乙容器 B、注水前，乙容器内水的深度是 $20$ 厘米 C、注水 $1$ 分钟时，甲容器的水比乙容器的水深 $10$ 厘米 D、注水 $2$ 分钟时，甲、乙两个容器中的水的深度相等

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二、填空题

9. 平面直角坐标系中的点 $P (1 ， 2)$ 在第象限．

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10. 如果关于x的一元二次方程 $x^{2} + 2 x + a = 0$ 的一个根为1，那么a的值为．

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11. 请写出一个与y轴交于点（0，1）的一次函数的表达式.

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12. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，一次函数 $y_{1} = k x$ 与 $y_{2} = - x + b$ 的图象交于点 $A (1 ， 2)$ ，那么关于 $x$ 的不等式 $k x > - x + b$ 的解集是．

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13. 菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的面积是．

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14. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，一次函数 $y = (k - 2) x + 1$ 的图象经过点 $A (1 ， y_{1})$ ， $B (2 ， y_{2})$ ，如果 $y_{1} < y_{2}$ ，那么 $k$ 的取值范围是．

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15. 在▱ $A B C D$ 中，对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点 $O$ ，点 $E$ 为 $A D$ 的中点，如果▱ $A B C D$ 周长为 $20$ ， $O E = 2$ ，那么 $B C =$ ．

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16. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，四边形 $A B C O$ 是矩形，且 $B (8 ， 4)$ ，动点 $E$ 从点 $A$ 出发，以每秒 $1$ 个单位的速度沿线段 $A B$ 向点 $B$ 运动，同时动点 $F$ 从点 $B$ 出发，以同样每秒 $1$ 个单位的速度沿折线 $B C \to C O$ 向点 $O$ 运动，当 $E$ ， $F$ 有一点到达终点时，点 $E$ ， $F$ 同时停止运动．设点 $E$ ， $F$ 运动时间为 $t$ 秒，在运动过程中，如果 $A E = 3 C F$ ，那么 $t =$ 秒．

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三、解答题

17. 用适当的方法解方程： $x^{2} - 2 x = 0$ ．

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18. 已知：如图，在▱ $A B C D$ 中，点 $E$ 在 $B C$ 上，点 $F$ 在 $B C$ 的延长线上，且 $C F = B E$ ，连接 $A E$ ， $D F$ ．求证： $A E = D F$ ．

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19. 阅读材料，并回答问题：
王林在学习一元二次方程时，解方程 $x^{2} + 4 x - 2 = 0$ 的过程如下：

解： $x^{2} + 4 x - 2 = 0$

$x^{2} + 4 x = 2$ ①

$x^{2} + 4 x + 4 = 2$ ②

$(x + 2)^{2} = 2$ ③

$x + 2 = \pm \sqrt{2}$ ④

$x + 2 = \sqrt{2}$ ， $x + 2 = - \sqrt{2}$ ⑤

$x_{1} = \sqrt{2} - 2$ ， $x_{2} = - \sqrt{2} - 2$ ⑥

问题：

(1)、王林解方程的方法是____；

A、直接开平方法 B、配方法 C、公式法 D、因式分解法

(2)、上述解答过程中，从步开始出现了错误（填序号），发生错误的原因是；

(3)、在下面的空白处，写出正确的解答过程．

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20. 下表是一次函数 $y = k x + b (k ， b$ 为常数， $k \neq 0)$ 中 $x$ 与 $y$ 的两组对应值．
$x$
$1$
$0$
$y$
$3$
$2$

(1)、求该一次函数的表达式；

(2)、求该一次函数的图象与 $x$ 轴的交点坐标．

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21. 下面是小李设计的“利用直角和线段作矩形”的尺规作图过程．
已知：如图 $1$ ，线段 $a$ ， $b$ ，及 $∠ M A N = 90 °$ ．
求作：矩形 $A B C D$ ，使 $A B = a$ ， $A D = b$ ．
作法：如图 $2$ ，
①在射线 $A M$ ， $A N$ 上分别截取 $A B = a$ ， $A D = b$ ；
②以 $B$ 为圆心， $b$ 长为半径作弧，再以 $D$ 为圆心， $a$ 长为半径作弧，两弧在 $∠ M A N$ 内部交于点 $C$ ；
③连接 $B C$ ， $D C$ ．
$∴$ 四边形 $A B C D$ 就是所求作的矩形．
根据小李设计的尺规作图过程，解答下列问题：

(1)、使用直尺和圆规，依作法补全图 $2$ （保留作图痕迹）；

(2)、完成下面的证明．
证明： $∵ A B = D C = a$ ， $A D =$   ▲   $= b$ ，
$∴$ 四边形 $A B C D$ 是平行四边形（  ）（填推理的依据）．
$∵ ∠ M A N = 90 °$ ，
$∴$ 四边形 $A B C D$ 是矩形（   ）（填推理的依据）．

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22. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 4 x + 3 m = 0$ 有两个不相等的实数根．

(1)、求m的取值范围；

(2)、当m取正整数时，求此时方程的根．

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23. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，一次函数 $y = k x + b (k \neq 0)$ 的图象由函数 $y = 2 x$ 的图象平移得到，且经过点 $A (1 ， 4)$ ．

(1)、求k，b的值；

(2)、点 $B (2 ， 1)$ ，如果正比例函数 $y = m x (m \neq 0)$ 的图象与线段 $A B$ 有公共点，直接写出 $m$ 的取值范围．

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24. 小颖和小亮上山游玩，小颖乘坐缆车，小亮步行，两人相约在山顶的缆车终点会合.已知小亮行走到缆车终点的路程是缆车到山顶的线路长的2倍.小颖在小亮出发后50min 才乘上缆车，缆车的平均速度为180m/min.设小亮出发x min后行走的路程为y m，图中的折线表示小亮在整个行走过程中y与x的函数关系.

(1)、小亮行走的总路程是m，他途中休息了min；

(2)、①当50＜x＜80时，求y与x的函数关系式；②当小颖到达缆车终点时，小亮离缆车终点的路程是多少？

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25. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l_{1} ： y = k x + b$ 经过 $A (4 ， 1)$ 和 $B (7 ， 2)$ 两点．

(1)、求直线的表达式；

(2)、如果横、纵坐标都是整数的点叫作整点，直线 $l_{2}$ 和直线 $l_{1}$ 关于 $x$ 轴对称，过点 $C (m ， 0)$ 作垂直于 $x$ 轴的直线 $l_{3} ， l_{5}$ 与 $l_{1}$ 和 $l_{2}$ 的区域为“ $W$ ”（不包含边界）．
①当 $m = 3$ 时，求区域“ $W$ ”内整点的个数；

②如果区域“ $W$ ”内恰好有 $6$ 个整点，直接写出 $m$ 的取值范围．

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26. 已知，在正方形 $A B C D$ 中，连接对角线 $B D$ ，点 $E$ 为射线 $C B$ 上一点，连接 $A E ， F$ 是 $A E$ 的中点，过点 $F$ 作 $F M ⊥ A E$ 于 $F ， F M$ 交直线 $B D$ 于 $M$ ，连接 $M E 、 M C$ ．

(1)、如图1，当点 $E$ 在 $C B$ 边上时
①依题意补全图1；

②猜想 $∠ M E C$ 与 $∠ M C E$ 之间的数量关系，并证明．

(2)、如图2，当点 $E$ 在 $C B$ 边的延长线上时，补全图2，并直接写出 $∠ M E C$ 与 $∠ M C E$ 之间的数量关系．

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27. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，对于 $P (a ， b)$ 和 $Q (a ， b')$ 给出如下定义：
如果 $b' = {\begin{array}{l} b ， a \geq 1 \\ - b ， a < 1 \end{array}$ ，那么点 $Q$ 就是点 $P$ 的关联点．

例如，点 $(2 ， 4)$ 的关联点是 $(2 ， 4)$ ，点 $(- 1 ， 4)$ 的关联点是 $(- 1 ， - 4)$ ．

(1)、点 $(\sqrt{2} ， 1)$ 的关联点是，点 $(- 5 ， 1)$ 的关联点是．

(2)、如果点 $A (- 1 ， - 2)$ 和点 $B (- 1 ， 2)$ 中有一个点是直线 $y = 2 x$ 上某一个点的关联点，那么这个点是．

(3)、如果点 $P$ 在直线 $y = - x + 3 (- 2 \leq x \leq k ， k > - 2)$ 上，其关联点 $Q$ 的纵坐标 $b'$ 的取值范围是 $- 5 \leq b' \leq 2$ ，求 $k$ 的取值范围．

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$x$	$1$	$0$
$y$	$3$	$2$