北京市顺义区2021-2022学年高二下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-08-25 类型：期末考试

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一、单选题

1. $A_{5}^{2}$ 的值为（）

A、20 B、10 C、5 D、2

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2. $(1 - x)^{4}$ 的展开式中， $x^{2}$ 的系数为（）

A、12 B、-12 C、6 D、-6

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3. 已知离散型随机变量X的分布列如下表，则X的数学期望 $E (X)$ 等于（）
X
0
1
2
P
0.2
a
0.5

A、0.3 B、0.8 C、1.2 D、1.3

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4. 设函数 $f (x) = \frac{1}{x + 1}$ ，则 $f^{'} (1) =$ （）

A、0 B、 $- \frac{1}{4}$ C、1 D、 $\frac{1}{4}$

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5. 已知函数 $y = f (x)$ 的部分图象如图所示，其中 $A (x_{1} ， f (x_{1})) ， B (x_{2} ， f (x_{2})) ， C (x_{3} ， f (x_{3}))$ 为图上三个不同的点，则下列结论正确的是（）

A、 $f^{'} (x_{1}) > f^{'} (x_{2}) > f^{'} (x_{3})$ B、 $f^{'} (x_{3}) > f^{'} (x_{2}) > f^{'} (x_{1})$ C、 $f^{'} (x_{3}) > f^{'} (x_{1}) > f^{'} (x_{2})$ D、 $f^{'} (x_{1}) > f^{'} (x_{3}) > f^{'} (x_{2})$

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6. 已知某居民小区附近设有A，B，C，D4个核酸检测点，居民可以选择任意一个点位去做核酸检测，现该小区的3位居民要去做核酸检测，则检测点的选择共有（）

A、64种 B、81种 C、7种 D、12种

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7. 中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛､马､羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马､”马主曰：“我马食半牛，”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛，马，羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟，羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半，”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？试问：该问题中牛主人应偿还（）斗粟

A、 $\frac{5}{7}$ B、 $\frac{20}{7}$ C、 $\frac{5}{2}$ D、 $\frac{10}{7}$

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8. 降低室内微生物密度的有效方法是定时给室内注入新鲜空气，即开窗通风换气.在某室内，空气中微生物密度（c）随开窗通风换气时间（t）的关系如下图所示.则下列时间段内，空气中微生物密度变化的平均速度最快的是（）

A、 $[5 ， 10]$ B、 $[5 ， 15]$ C、 $[5 ， 20]$ D、 $[5 ， 35]$

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9. 已知数列 ${a_{n}}$ 为各项均为整数的等差数列，公差为d，若 $a_{1} = 1 ， a_{n} = 25$ ，则 $n + d$ 的最小值为（）

A、9 B、10 C、11 D、12

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10. 已知 $x_{0} (x_{0} \neq 0)$ 是函数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + c$ 的极大值点，则下列结论不正确的是（）

A、 $\exists x \in R ， f (x) > f (x_{0})$ B、 $f (x)$ 一定存在极小值点 C、若 $a = 0$ ，则 $- x_{0}$ 是函数 $f (x)$ 的极小值点 D、若 $b = 0$ ，则 $a < 0$

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二、填空题

11. 已知等差数列 ${a_{n}}$ ， $a_{1} = 3 ， a_{5} = 7$ ，则 $a_{3} =$ .

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12. 某学校拟邀请5位学生家长中的3位参加一个座谈会，其中甲同学家长必须参加，则不同的邀请方法有种.

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13. 已知某品牌只卖A，B两种型号的产品，两种产品的比例为 $8 ： 2$ ，其中A型号产品优秀率为 $75 %$ ， B型号产品优秀率为 $90 %$ ，则购买一件该品牌产品为优秀品的概率为.

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14. 函数 $f (x) = e^{x + 1} - x$ 的最小值为.

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15. 已知数列 ${a_{n}}$ ，满足不等式 $2 a_{n} \leq a_{n - 1} + a_{n + 1}$ （其中 $n \in N^{*} ， n \geq 2$ ），对于数列 ${a_{n}}$ 给出以下四个结论：
① $a_{4} - a_{3} \geq a_{3} - a_{2}$ ；
② 数列 ${a_{n}}$ 一定是递增数列；
③ 数列 ${a_{n}}$ 的通项公式可以是 $a_{n} = 2^{n}$ ；
④ 数列 ${a_{n}}$ 的通项公式可以是 $a_{n} = n^{2} - 6 n$ .
所有正确结论的序号是.

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三、解答题

16. 已知 ${(x + \frac{3}{x})}^{n}$ 的展开式中第2项与第5项的二项式系数相等.

(1)、求n的值；

(2)、求展开式中各项系数的和；

(3)、判断展开式中是否存在常数项，并说明理由.

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17. 已知函数 $f (x) = x^{3} - x^{2}$ .

(1)、求 $f (x)$ 单调区间；

(2)、求 $f (x)$ 在区间 $[0 ， 2]$ 上的最值.

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18. 下表为高二年级某班学生体质健康测试成绩（百分制）的频率分布表，已知在 $[65 ， 75)$ 分数段内的学生数为14人.
分数段
$[65 ， 70)$
$[70 ， 75)$
$[75 ， 80)$
$[80 ， 85)$
$[85 ， 90)$
$[90 ， 95)$
$[95 ， 100]$
频率
0.12
0.16
0.2
0.18
0.14
0.1
a

(1)、求测试成绩在 $[95 ， 100]$ 分数段内的人数；

(2)、现从 $[95 ， 100]$ 分数段内的学生中抽出2人代表该班参加校级比赛，若这2人都是男生的概率为 $\frac{3}{5}$ ，求 $[95 ， 100]$ 分数段内男生的人数；

(3)、若在 $[65 ， 70)$ 分数段内的女生有4人，现从 $[65 ， 70)$ 分数段内的学生中随机抽出3人参加体质提升锻炼小组，记X为从该组轴出的男生人数，求X的分布列和数学期望 $E (X)$ .

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 为等差数列，前n项和为 $S_{n}$ ，数列 ${b_{n}}$ 是以 $q (q > 0 ， q \neq 1)$ 为公比的等比数列，且 $a_{1} = b_{1} = 1 ， S_{3} = 9 ， S_{5} = b_{3} + b_{5} + 5$ .

(1)、求数列 ${a_{n}} ， {b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ；

(3)、数列 ${c_{n}}$ 满足 $c_{n} = l o g_{q} b_{n} - 4$ ，记数列 ${c_{n}}$ 的前n项和为 $M_{n}$ ，求 $M_{n}$ 的最小值.

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20. 已知函数 $f (x) = x l n x$ .

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若函数 $g (x) = f (x) + \frac{a}{2} x^{2}$ 在区间 $(0 ， + \infty)$ 上单调递减，求实数a的取值范围.

(3)、证明： $f (x) + x^{2} + 2 > 0$ .

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21. 若存在某常数M（或m），对于一切 $n \in N^{*}$ ，都有 $a_{n} \leq M$ （或 $a_{n} \geq m$ ），则称数列 ${a_{n}}$ 的上（或下）界，若数列 ${a_{n}}$ 既有上界也有下界，则称数列 ${a_{n}}$ 为“有界”.

(1)、已知4个数列的通项公式如下：① $a_{n} = 2^{n + 1}$ ；② $b_{n} = 4 + \frac{1}{n}$ ；③ $c_{n} = 2 n + 1$ ；④ $d_{n} = (- 1)^{n + 1}$ .请写出其中“有界数列”的序号；

(2)、若 $a_{n} = \frac{3 n + 1}{3 n + 4}$ ，判断数列 ${a_{n}}$ 是否为“有界数列”，说明理由；

(3)、在（2）的条件下，记数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，是否存在正整数k，使 $n \geq k$ ，都有 $S_{n} < n - 1$ 成立？若存在，求出k的范围；若不存在，说明理由.

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分数段	$[65 ， 70)$	$[70 ， 75)$	$[75 ， 80)$	$[80 ， 85)$	$[85 ， 90)$	$[90 ， 95)$	$[95 ， 100]$
频率	0.12	0.16	0.2	0.18	0.14	0.1	a

X	0	1	2
P	0.2	a	0.5