北京市石景山区2021-2022学年高二下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-08-25 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为 $a_{n} = 5 - 2 n$ ，则它的公差是（）

A、-5 B、-2 C、2 D、5

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2. 如果一个物体的运动方程为 $s (t) = t^{3} (t > 0)$ ，其中 $s$ 的单位是千米， $t$ 的单位是小时，那么物体在4小时末的瞬时速度是（）

A、12千米/小时 B、24千米/小时 C、48千米/小时 D、64千米/小时

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3. 一名老师和四名学生站成一排照相，学生请老师站在正中间，则不同的站法为（）

A、4种 B、12种 C、24种 D、120种

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4. 在 ${(x - \frac{1}{x})}^{7}$ 的展开式中，含 $x$ 项的系数为（）

A、21 B、－21 C、35 D、－35

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5. 已知曲线 $y = f (x)$ 在 $(5 ， f (5))$ 处的切线方程是 $y = - x + 5$ ，则 $f (5)$ 与 $f' (5)$ 分别为（）

A、5，-1 B、-1，5 C、-1，0 D、0，-1

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6. 从 $1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5$ 中任取2个不同的数，事件 $A =$ “取到的2个数之和为偶数”，事件 $B =$ “取到两个数均为偶数”，则 $P (B | A) =$ （）

A、 $\frac{1}{8}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{1}{2}$

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7. 下列命题错误的是（）

A、随机变量 $ξ \sim B (n ， \frac{1}{3})$ ，若 $E (ξ) = 30$ ，则 $n = 90$ B、线性回归直线 $\hat{y} = b x + a$ 一定经过样本点的中心 $(\bar{x} ， \bar{y})$ C、两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1 D、设 $ξ ∼ N (1 ， σ^{2})$ ，且 $P (ξ < 0) = 0.2$ ，则 $P (1 < ξ < 2) = 0.2$

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8. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{n} = \frac{1}{1 + 2 + 3 + \cdot \cdot \cdot + n}$ ，则 $S_{5} =$ （）

A、2 B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{5}{3}$ D、 $\frac{8}{5}$

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9. 已知函数 $f (x) = x + 1 - a e^{- x}$ 有两个零点，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- \frac{1}{e^{2}} ， 0)$ B、 $(- \frac{1}{e^{2}} ， + \infty)$ C、 $(- e^{2} ， 0)$ D、 $(- e^{2} ， + \infty)$

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10. 等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，前 $n$ 项积为 $T_{n}$ ，已知 $a_{2} = - 11$ ， $a_{4} = - 7$ ，则（）

A、 $S_{n}$ 有最小值， $T_{n}$ 有最小值 B、 $S_{n}$ 有最大值， $T_{n}$ 有最大值 C、 $S_{n}$ 有最小值， $T_{n}$ 有最大值 D、 $S_{n}$ 有最大值， $T_{n}$ 有最小值

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二、填空题

11. 离散型随机变量 $ξ$ 的分布列如下表：
$ξ$
0
1
2
$P$
$a$
$\frac{1}{2}$
$\frac{1}{4}$
则 $E (ξ) =$ ； $D (ξ) =$ ．

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12. 在 ${(1 + 3 x)}^{4}$ 的展开式中，二项式系数之和为；各项系数之和为．（用数字作答）

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13. 已知函数 $f (x) = - x^{3} + a x^{2} - x - 1$ 在 $R$ 上是单调函数，则实数 $a$ 的取值范围是．

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14. 在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = \frac{1}{2}$ ， $a_{n} a_{n + 1} + 1 = a_{n}$ ， $n \in N^{*}$ ，则 $a_{2022} =$ ．

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15. 若存在常数 $k$ 和 $b$ ，使得函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ 对其公共定义域上的任意实数 $x$ 都满足： $f (x) \geq k x + b$ 和 $g (x) \leq k x + b$ 恒成立或（ $f (x) \leq k x + b$ 和 $g (x) \geq k x + b$ 恒成立），则称此直线 $y = k x + b$ 为 $f (x)$ 和 $g (x)$ 的“隔离直线”．已知函数 $f (x) = x^{2}$ ， $g (x) = \frac{1}{x} (x < 0)$ ，有下列命题：
①直线 $y = 0$ 为 $f (x)$ 和 $g (x)$ 的“隔离直线”．
②若 $y = - x + b$ 为 $f (x)$ 和 $g (x)$ 的“隔离直线”，则 $b$ 的范围为 $[- 4 ， - \frac{1}{4}]$ ．
③存在实数 $k$ ，使得 $f (x)$ 和 $g (x)$ 有且仅有唯一的“隔离直线”．
④ $f (x)$ 和 $g (x)$ 之间一定存在“隔离直线”，且 $b$ 的最小值为 $- 4$ ．
其中所有正确命题的序号是．

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三、解答题

16. 已知数列 ${a_{n}}$ 是公比为2的等比数列，且 $a_{2} ， a_{3} + 1 ， a_{4}$ 成等差数列．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记 $b_{n} = a_{n} + l o g_{2} a_{n}_{+ 1}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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17. 某射手每次射击击中目标的概率是 $\frac{2}{3}$ ，且各次射击的结果互不影响，假设这名射手射击3次．

(1)、求恰有2次击中目标的概率；

(2)、现在对射手的3次射击进行计分：每击中目标1次得1分，未击中目标得0分；若仅有2次连续击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分．记 $X$ 为射手射击3次后的总得分，求 $X$ 的概率分布列与数学期望 $E (X)$ ．

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18. 已知函数 $f (x) = a x^{3} + b x^{2}$ ，当 $x = 1$ 时， $f (x)$ 取得极值-3．

(1)、求 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、若对于任意 $x > 0$ ，不等式 $f (x) + 2 m^{2} - m \geq 0$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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19. 某单位共有员工45人，其中男员工27人，女员工18人．上级部门为了对该单位员工的工作业绩进行评估，采用按性别分层抽样的方法抽取5名员工进行考核．

(1)、求抽取的5人中男、女员工的人数分别是多少；

(2)、考核前，评估小组从抽取的5名员工中，随机选出3人进行访谈，设选出的3人中男员工人数为 $X$ ，求随机变量 $X$ 的分布列和数学期望；

(3)、考核分笔试和答辩两项.5名员工的笔试成绩分别为78，85，89，92，96；结合答辩情况，他们的考核成绩分别为95，88，102，106，99．这5名员工笔试成绩与考核成绩的方差分别记为 $s_{1}^{2}$ ， $s_{2}^{2}$ ，试比较 $s_{1}^{2}$ 与 $s_{2}^{2}$ 的大小．（只需写出结论）

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20. 已知函数 $f (x) = l n x - \frac{{(x - 1)}^{2}}{2}$ ．

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程；

(2)、存在 $x_{0} > 1$ ，当 $x \in (1 ， x_{0})$ 时，恒有 $f (x) > k (x - 1)$ ，求实数 $k$ 的取值范围．

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$ξ$	0	1	2
$P$	$a$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{4}$