北京市平谷区2021-2022学年高二下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-08-25 类型：期末考试

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一、单选题

1. 抛物线 $y^{2} = 2 x$ 的焦点到其准线的距离是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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2. 已知函数 $y = f (x)$ 的导函数 $y = f^{'} (x)$ 的图象如图所示，那么（）

A、函数 $y = f (x)$ 在 $(- 1 ， 2)$ 上不单调 B、函数 $y = f (x)$ 在 $x = 1$ 的切线的斜率为0 C、 $x = - 1$ 是函数 $y = f (x)$ 的极小值点 D、 $x = 2$ 是函数 $y = f (x)$ 的极大值点

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3. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = - 1 ， a_{4} = 8$ ，则 $a_{7}$ 等于（）

A、±32 B、-32 C、±64 D、-64

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4. 我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“ ”和阴爻“”，如图就是一重卦.在所有重卦中恰有3个阳爻的个数是（）

A、20 B、8 C、9 D、120

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5. 已知{a_n}是等差数列，a₁₀=10，其前10项和S₁₀=70，则其公差d=（）

A、 $- \frac{2}{3}$ B、 $- \frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{2}{3}$

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6. 若 $S_{n}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和， $S_{n} = 2 n^{2}$ ，则 $a_{6}$ 的值为（）

A、26 B、18 C、22 D、72

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7. 函数 $f (x) = x + 2 c o s x$ 在 $[0 ， π]$ 上的极小值点为（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{5 π}{6}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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8. 口袋中装有三个编号分别为1，2，3的小球，现从袋中随机取球，每次取一个球，确定编号后放回，连续取球两次．则“两次取球中有3号球”的概率为（）

A、 $\frac{5}{9}$ B、 $\frac{4}{9}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{1}{2}$

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9. 已知直线 $y = k x + 1$ 与曲线 $y = x^{3} + a x + b$ 切于点 $(1 ， 3)$ ，则b的值为（）

A、3 B、-3 C、5 D、-5

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10. 放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M（单位：太贝克）与时间t（单位：年）满足函数关系：M（t）=M₀ $2^{- \frac{t}{30}}$ ，其中M₀为t=0时铯137的含量．已知t=30时，铯137含量的变化率是﹣10In2（太贝克/年），则M（60）=（）

A、5太贝克 B、75In2太贝克 C、150In2太贝克 D、150太贝克

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二、填空题

11. ${(\sqrt{x} - \frac{2}{x})}^{5}$ 的展开式中x的系数为（用数字作答）.

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12. 甲､乙两人向同一目标各射击一次，已知甲命中目标的概率为0.6，乙命中目标的概率为0.5，已知目标至少被命中1次，则乙命中目标的概率为.

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13. 设双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}}$ ＝1(a>0，b>0)的虚轴长为2，焦距为2 $\sqrt{3}$ ，则双曲线的渐近线方程为.

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14. 已知数列 $A ： a_{1} ， a_{2} ， ⋯ ， a_{n} (0 ⩽ a_{1} < a_{2} < ⋯ < a_{n} ， n ⩾ 3)$ 具有性质 $P ：$ 对任意 $i ， j (1 ⩽ i ⩽ j ⩽ n) ， a_{j} + a_{i}$ 与 $a_{j} - a_{1}$ 两数中至少有一个是该数列中的一项.现给出以下四个命题：
①数列 $0 ， 1 ， 3$ 具有性质 $P$ ；

②数列 $0 ， 2 ， 4 ， 6$ 具有性质 $P$ ；

③若数列 $A$ 具有性质 $P$ ，则 $a_{1} = 0$ ；

④若数列 $a_{1} ， a_{2} ， a_{3} (0 ⩽ a_{1} < a_{2} < a_{3})$ 具有性质 $P$ ，则 $a_{1} + a_{3} = 2 a_{2}$ .

其中正确的命题有.

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15. 在等比数列 ${a_{n}}$ 中，若 $a_{1} = - 24 ， a_{4} = - \frac{8}{9}$ ，则公比 $q =$ ； $n =$ 时， ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项积最大.

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三、解答题

16. 已知函数 $f (x) = \frac{a}{3} x^{3} + 4 c x ， f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线斜率为-6，且当 $x = 2$ 时， $f (x)$ 取得极值.

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求函数 $f (x)$ 的单调区间.

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17. 已知 ${a_{n}}$ 是等差数列， $a_{4} + a_{6} = 8$ ，其前5项和 $S_{5} = 40$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项 $a_{n}$ ；

(2)、求 ${a_{n}}$ 前 $n$ 项和 $S_{n}$ 的最大值.

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18. 某学校为了解高一新生的体质健康状况，对学生的体质进行了测试，现从男､女生中各随机抽取20人作为样本，把他们的测试数据，按照《国家学生体质健康标准》整理如下表，规定：数据 $⩾ 60$ ，体质健康为合格.
等级
数据范围
男生人数
女生人数
优秀
$[90 ， 100]$
4
2
良好
$[80 ， 89]$
5
4
及格
$[60 ， 79]$
8
11
不及格
60以下
3
3
总计
—
20
20

(1)、估计该校高一年级学生体质健康等级是合格的概率；

(2)、从样本等级为优秀的学生中随机抽取3人进行再测试，设抽到的女生数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望；

(3)、从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人健康等级是优秀的概率.

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19. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的短轴的两个端点分别为 $A (0 ， 1) ， B (0 ， - 1)$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、设点 $N (0 ， - 3)$ ，点 $M$ 为椭圆 $C$ 上异于 $A ， B$ 的任意一点，过原点且与直线 $M A$ 平行的直线与直线 $y = 3$ 交于点 $P$ ，直线 $M B$ 与直线 $y = 3$ 交于点 $Q$ ，求证： $∠ P N Q$ 为定值.

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20. 已知函数 $f (x) = \frac{e^{a x}}{x - 1}$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求曲线 $f (x)$ 在 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程；

(2)、当 $a = 2$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调区间.

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21. 已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $B (1 ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ ，且点 $B$ 到其两个焦点距离之和为4.

(1)、求椭圆 $E$ 的方程；

(2)、设 $O$ 为原点，点 $A$ 为椭圆 $E$ 的左顶点，过点 $C (1 ， 0)$ 的直线 $l$ 与椭圆 $E$ 交于 $P ， Q$ 两点，且直线 $l$ 与 $x$ 轴不重合，直线 $A P ， A Q$ 分别与 $y$ 轴交于 $M ， N$ 两点.求证： $| O M | \cdot | O N |$ 为定值.

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等级	数据范围	男生人数	女生人数
优秀	$[90 ， 100]$	4	2
良好	$[80 ， 89]$	5	4
及格	$[60 ， 79]$	8	11
不及格	60以下	3	3
总计	—	20	20