北京市密云区2021-2022学年高二下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-08-25 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | - 1 \leq x < 2}$ ， $B = {- 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${- 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ B、 ${- 1 ， 0 ， 1}$ C、 ${0 ， 1 ， 2}$ D、 ${x | - 1 \leq x < 2}$

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2. 命题“ $\exists x > 0$ ，使得 $2^{x} \geq 1$ ”的否定为（）

A、 $\exists x > 0$ ，使得 $2^{x} < 1$ B、 $\exists x \leq 0$ ，使得 $2^{x} \geq 1$ C、 $\forall x > 0$ ，都有 $2^{x} < 1$ D、 $\forall x \leq 0$ ，都有 $2^{x} < 1$

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3. 下列函数中，既是偶函数又在区间 $(0 ， + \infty)$ 上单调递增的是（）

A、 $y = (\frac{1}{2})^{x}$ B、 $y = - x^{2}$ C、 $y = l o g_{2} x$ D、 $y = 2 | x | + 1$

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4. $(1 - x)^{5}$ 的展开式中， $x^{3}$ 的系数为（）

A、-10 B、10 C、-1 D、1

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5. 对变量 $x$ 、 $y$ 由观测数据得散点图 $1$ ，对变量 $y$ 、 $z$ 由观测数据得散点图2.由这两个散点图可以判断（）

A、变量 $x$ 与 $y$ 负相关， $x$ 与 $z$ 正相关 B、变量 $x$ 与 $y$ 负相关， $x$ 与 $z$ 负相关 C、变量 $x$ 与 $y$ 正相关， $x$ 与 $z$ 正相关 D、变量 $x$ 与 $y$ 正相关， $x$ 与 $z$ 负相关

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6. 设 $a$ ， $b \in R$ ，则“ $a b > 0$ ，且 $a > b$ ”是“ $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 已知随机变量服从正态分布 $X ~ N (2 ， σ^{2})$ ，若 $P (X \leq 1 - 2 a) + P (X \leq 1 + a) = 1$ ，则 $a =$ （）

A、0 B、2 C、-1 D、-2

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8. 中国的 $5 G$ 技术领先世界， $5 G$ 技术的数学原理之一便是著名的香农公式： $C = W l o g_{2} (1 + \frac{S}{N})$ .它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度 $C$ 取决于信道带宽 $W$ ､信道内信号的平均功率 $S$ ､信道内部的高斯噪声功率 $N$ 的大小.其中 $\frac{S}{N}$ 叫做信噪比，当信噪比较大时，公式中真数中的 $1$ 可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽 $W$ ，而将信噪比 $\frac{S}{N}$ 从 $1000$ 提升至6000，则 $C$ 的增长率为（）（ $l g 2 \approx 0.3010$ ， $l g 3 \approx 0.4771$ ）

A、10% B、16% C、26% D、33%

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9. 已知函数 $f (x)$ 的部分图像如图所示，则函数 $f (x)$ 的解析式可能为（）

A、 $f (x) = \frac{l n x}{x} - x + 1$ B、 $f (x) = \frac{l n x}{x} + x - 1$ C、 $f (x) = x l n x - x + 1$ D、 $f (x) = x l n x + x - 1$

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10. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{3} ， x \leq a \\ x^{2} ， x > a \end{array}$ ，若函数 $g (x) = f (x) - b$ 有两个零点，则下列结论中正确的是（）

A、当 $a = 2$ 时， $4 < b < 8$ B、当 $a = - 1$ 时， $0 < b \leq 1$ C、当 $a \in (0 ， 1)$ 时， $a^{3} \leq b < a^{2}$ D、当 $a \in (1 ， + \infty)$ 时， $a^{2} < b \leq a^{3}$

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二、填空题

11. 若 $(\frac{2}{x} + \sqrt{x})^{n}$ 的展开式共有 $7$ 项，则 $n =$ ；展开式中的常数项是.

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12. 根据超市统计资料显示，顾客购买产品 $A$ 的概率为 $\frac{1}{3}$ ，购买产品 $B$ 的概率为 $\frac{1}{4}$ ，既购买产品 $A$ 又购买产品 $B$ 的概率为 $\frac{1}{8}$ ，则顾客购买产品 $A$ 的条件下购买产品 $B$ 的概率为.

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13. 已知函数 $f (x) = x + \frac{a}{x}$ 满足下列条件：①函数 $f (x)$ 在 $(- \infty ， - 3)$ 上单调递增；②函数 $f (x)$ 的极小值大于极大值.则 $a$ 的一个取值为；此时极大值为，极小值为.

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14. 某校抽调志愿者下沉社区，已知有4名教师志愿者和2名学生志愿者，要分配到3个不同的社区参加服务.每个社区分配2名志愿者，若要求两名学生不分在同一社区，则不同的分配方案有种.

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15. 已知函数 $f (x)$ 在 $[a ， b]$ 上有定义，若对 $\forall x_{1} ， x_{2} \in [a ， b]$ ，都有 $f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) \leq \frac{1}{2} [f (x_{1}) + f (x_{2})]$ ，则称 $f (x)$ 在 $[a ， b]$ 上具有性质 $P$ .给出下列四个结论：
① $f (x) = 2^{x}$ 在 $[- 1 ， 1]$ 上具有性质 $P$ ；
② $f (x) = x^{3}$ 在 $[- 1 ， 1]$ 上具有性质 $P$ ；
③若函数 $f (x)$ 在 $[1 ， 3]$ 上具有性质 $P$ 且在 $x = 2$ 处取得最大值 $1$ ，则对 $\forall x \in [1 ， 3]$ ，都有 $f (x) = 1$ ；
④若函数 $f (x)$ 在 $[a ， b]$ 上具有性质 $P$ ，对 $\forall x_{1} ， x_{2} ， x_{3} ， x_{4} \in [a ， b]$ ，都有 $f (\frac{x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4}}{4}) \leq \frac{1}{4} [f (x_{1}) + f (x_{2}) + f (x_{3}) + f (x_{4})]$ .
其中所有正确结论的序号是.

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三、解答题

16. 2022年我区正在创建全国文明城市，为了普及创城的相关知识.某校组织全体学生进行了创城知识答题比赛，现对其中20名学生的分数统计如下：
分数段
$[40 ， 50)$
$[50 ， 60)$
$[60 ， 70)$
$[70 ， 80)$
$[80 ， 90)$
$[90 ， 100]$
人数
2
2
7
4
2
3
我们规定60分以下为不及格；60分及以上至70分以下为及格；70分及以上至90分以下为良好；90分及以上为优秀.

(1)、从这20名学生中随机抽取1名学生，求该生成绩恰好为及格的概率；

(2)、从这20名学生中随机抽取2名学生，求恰好这2名学生成绩都是优秀的概率；

(3)、从这20名学生80分及以上的人中随机抽取2人，以 $X$ 表示这2人中优秀人数，求 $X$ 的分布列与期望.

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17. 已知函数 $f (x) = (x - 2) e^{x} + a$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $f (x) \geq 0$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.

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18. 已知关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} - a x - 1 \geq 0$ ，其中 $a$ 为参数.

(1)、从条件①､条件②､条件③中选择一个作为已知，使得不等式有非空解集，并求此不等式的解集；
条件①： $a = - 4$ ；条件②： $a = - 1$ ；条件③： $a = 1$ .

(2)、若不等式的解集为 $\emptyset$ ，求 $a$ 的取值范围.

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19. 某食品加工厂为了调查客户对其生产的五种口味产品的满意情况，随机抽取了一些客户进行回访，调查结果如下表：
产品口味
$A$
$B$
$C$
$D$
$E$
回访客户（单位：人）
100
150
200
300
250
满意率
0.3
0.2
0.5
0.3
0.6
满意率是指某种口味的产品的回访客户中，满意人数与总人数的比值.假设客户是否满意相互独立，且客户对于每种口味产品满意的概率与表格中该口味产品的满意率相等.

(1)、从 $D$ 口味产品的回访客户中随机选取1人，求这个客户不满意的概率；

(2)、从 $A ， C$ 所有客户中各随机抽取1，设其中的满意的人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望；

(3)、用“ $η_{1} = 1$ ”，“ $η_{2} = 1$ ”，“ $η_{3} = 1$ ”，“ $η_{4} = 1$ ”，“ $η_{5} = 1$ ”分别表示 $A ， B ， C ， D ， E$ 口味产品让客户满意，“ $η_{1} = 0$ ”，“ $η_{2} = 0$ ”，“ $η_{3} = 0$ ”，“ $η_{4} = 0$ ”，“ $η_{5} = 0$ ”分别表示 $A ， B ， C ， D ， E$ 口味产品让客户不满意.写出方差 $D (η_{1})$ ， $D (η_{2})$ ， $D (η_{3})$ ， $D (η_{4})$ ， $D (η_{5})$ 的大小关系.

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20. 已知函数 $f (x) = 2 x l n (2 x + 1) - a x^{2}$ .

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程；

(2)、当 $a < 0$ 时，求证：函数 $f (x)$ 存在极小值；

(3)、请直接写出函数 $f (x)$ 的零点个数.

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21. 设集合 $A$ 为非空实数集，集合 $B = {x y | x ， y \in A ，且 x \neq y}$ ，称集合 $B$ 为集合 $A$ 的积集.

(1)、当 $A = {1 ， 2 ， 3 ， 4}$ 时，写出集合 $A$ 的积集 $B$ ；

(2)、若 $A$ 是由5个正实数构成的集合，求其积集 $B$ 中元素个数的最小值；

(3)、判断是否存在4个正实数构成的集合 $A$ ，使其积集 $B = {2 ， 4 ， 5 ， 8 ， 10 ， 16}$ ，并说明理由.

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分数段	$[40 ， 50)$	$[50 ， 60)$	$[60 ， 70)$	$[70 ， 80)$	$[80 ， 90)$	$[90 ， 100]$
人数	2	2	7	4	2	3

产品口味	$A$	$B$	$C$	$D$	$E$
回访客户（单位：人）	100	150	200	300	250
满意率	0.3	0.2	0.5	0.3	0.6