北京市海淀区2021-2022学年高二下学期数学学业水平调研试卷

试卷更新日期：2022-08-25 类型：水平会考

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5}$ ， $B = {x | x \leq 3}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${1 ， 2}$ B、 ${1 ， 2 ， 3}$ C、 ${3 ， 4 ， 5}$ D、 ${1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5}$

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2. 设命题 $p$ ： $\forall x \in R$ ， $e^{x} \geq x + 1$ ，则 $\neg p$ 为（）

A、 $\exists x \in R$ ， $e^{x} < x + 1$ B、 $\forall x \in R$ ， $e^{x} < x + 1$ C、 $\exists x \in R$ ， $e^{x} > x + 1$ D、 $\exists x \in R$ ， $e^{x} \geq x + 1$

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3. 在 ${(x - \frac{2}{x})}^{6}$ 的展开式中，常数项为（）

A、20 B、-20 C、160 D、-160

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4. 如果 $a < b < 0$ ，那么下列不等式成立的是（）

A、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ B、 $a^{2} < b^{2}$ C、 $\frac{a}{b} < 1$ D、 $a b > b^{2}$

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5. 已知随机变量 $ξ$ 服从正态分布 $N (2 ， σ^{2})$ ，且 $P (0 < ξ < 2) = 0.3$ ，则 $P (ξ > 4) =$ （）

A、0.6 B、0.4 C、0.3 D、0.2

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6. 某班周一上午共有四节课，计划安排语文、数学、美术、体育各一节，要求体育不排在第一节，则该班周一上午不同的排课方案共有（）

A、24种 B、18种 C、12种 D、6种

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7. 小王同学制作了一枚质地均匀的正十二面体骰子，并在十二个面上分别画了十二生肖的图案，且每个面上的生肖各不相同，如图所示．小王抛掷这枚骰子2次，恰好出现一次龙的图案朝上的概率为（）

A、 $\frac{11}{144}$ B、 $\frac{1}{12}$ C、 $\frac{11}{72}$ D、 $\frac{1}{6}$

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8. 若曲线 $y = f (x)$ 在某点 $(x_{0} ， f (x_{0}))$ 处的切线的斜率为1，则该曲线不可能是（）

A、 $y = - \frac{1}{x}$ B、 $y = s i n x$ C、 $y = x e^{x}$ D、 $y = x + l n x$

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9. 已知 ${a_{n}}$ 是等比数列，则“ $0 > a_{1} > a_{2}$ ”是“ ${a_{n}}$ 为递减数列”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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10. 已知函数 $f (x) = l n x - k s i n x$ ， $x \in (0 ， π]$ ，给出下列三个结论：
① $f (x)$ 一定存在零点；②对任意给定的实数 $k$ ， $f (x)$ 一定有最大值；③ $f (x)$ 在区间 $(0 ， π)$ 上不可能有两个极值点．其中正确结论的个数是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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二、填空题

11. 在复平面内，复数 $z$ 对应的点的坐标是 $(- 2 ， 1)$ ，则 $i \cdot z =$ ．

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12. 不等式 $\frac{3}{x - 2} > - 1$ 的解集是．

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13. 若函数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + 2$ 在区间 $[1 ， + \infty)$ 上单调递增，则 $a$ 的取值范围是．

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14. 某地要建造一批外形为长方体的简易工作房，如图所示．房子的高度为3m，占地面积为 $6 m^{2}$ ，墙体ABFE和DCGH的造价均为80元/m² ，墙体ADHE和BCGF的造价均为120元/m² ，地面和房顶的造价共2000元．则一个这样的简易工作房的总造价最低为元．

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15. 已知数列 ${a_{n}}$ 的每一项均不为0，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $3 S_{n} = a_{n} a_{n + 1} + 10$ ．
①当 $a_{1} = 1$ 时， $a_{3} =$ ；
②若对任意的 $n \in N^{*}$ ， $S_{n} \geq S_{4}$ 恒成立，则 $a_{1}$ 的最大值为．

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三、解答题

16. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的公差为 $d$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，满足 $a_{1} = 1$ ， $d > 0$ ，且 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $S_{3}$ 成等比数列．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记 $b_{n} = a_{n} + 2^{a_{n}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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17. 研究表明，过量的碳排放会导致全球气候变暖等环境问题，减少碳排放具有深远的意义．中国明确提出节能减排的目标与各项措施，在公路交通运输领域，新能源汽车逐步取代燃油车是措施之一．中国某地区从2015年至2021年每年汽车总销量如图一，每年新能源汽车销量占比如表一．（注：汽车总销量指新能源汽车销量与非新能源汽车销量之和）
年份
2015
2016
2017
2018
2019
2020
2021
新能源汽车销量占比
1.5%
2%
3%
5%
8%
9%
20%
表一

(1)、从2015年至2021年中随机选取一年，求这一年该地区汽车总销量不小于5.5万辆的概率

(2)、从2015年至2021年中随机选取两年，设X表示新能源汽车销量超过0.5万辆的年份的个数，求 $X$ 的分布列和数学期望；

(3)、对该地区连续三年的新能源汽车销量作统计分析时，若第三年的新能源汽车销量大于前两年新能源汽车销量之和，则称第三年为“爆发年”．请写出该地区从2017年至2021年中“爆发年”的年份．（只需写出结论）

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18. 已知函数 $f (x) = x^{2} - a l n x$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $f (x)$ 有两个不同的零点，求 $a$ 的取值范围．

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19. 已知 $n$ 为正整数，数列 $X$ ： $x_{1} ， x_{2} ， \cdot \cdot \cdot ， x_{n}$ ，记 $S (X) = x_{1} + x_{2} + \cdot \cdot \cdot + x_{n}$ ．对于数列 $X$ ，总有 $x_{k} \in {0 ， 1}$ ， $k = 1 ， 2 ， \cdot \cdot \cdot ， n$ ，则称数列 $X$ 为 $n$ 项0-1数列．若数列A： $a_{1} ， a_{2} ， \cdot \cdot \cdot ， a_{n}$ ， $B$ ： $b_{1} ， b_{2} ， \cdot \cdot \cdot ， b_{n}$ ，均为 $n$ 项0-1数列，定义数列 $A * B$ ： $m_{1} ， m_{2} ， \cdot \cdot \cdot ， m_{n}$ ，其中 $m_{k} = 1 - | a_{k} - b_{k} |$ ， $k = 1 ， 2 ， \cdot \cdot \cdot ， n$ ．

(1)、已知数列A：1，0，1， $B$ ：0，1，1，直接写出 $S (A^{*} A)$ 和 $S (A^{*} B)$ 的值；

(2)、若数列A， $B$ 均为 $n$ 项0-1数列，证明： $S ((A * B) * A) = S (B)$ ；

(3)、对于任意给定的正整数 $n$ ，是否存在 $n$ 项0-1数列A， $B$ ， $C$ ，使得 $S (A * B) + S (A * C) + S (B * C) = 2 n$ ，并说明理由

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年份	2015	2016	2017	2018	2019	2020	2021
新能源汽车销量占比	1.5%	2%	3%	5%	8%	9%	20%