北京市东城区2021-2022学年高二下学期数学期末统一检测试卷

试卷更新日期：2022-08-25 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {1 ， 2 ， 3}$ ， $B = {x | x > 2}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $\emptyset$ B、{3} C、 ${2 ， 3}$ D、 $(2 ， 3)$

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2. ${(x^{2} + \frac{1}{x})}^{6}$ 的展开式中常数项为（）

A、30 B、20 C、15 D、10

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3. 已知函数 $f (x) = l n (3 x)$ ，则 $f^{'} (3) =$ （）

A、3 B、1 C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{9}$

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4. 若函数 $f (x) = l o g_{2} (x + a)$ 的图象过点 $(- 2 ， 0)$ ，则 $a =$ （）

A、3 B、1 C、-1 D、-3

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5. 某校为全体高中学生开设了15门校本课程，其中人文社科类6门，科学技术类6门，体育美育类3门.学校要求每位高中学生需在高中三年内选学其中的8门课程.从全校高中学生中随机抽取一名学生，设该学生选择的人文社科类的校本课程为 $X$ 门，则下列概率中等于 $\frac{C_{6}^{5} C_{9}^{3}}{C_{15}^{8}}$ 的是（）

A、 $P (X \leq 3)$ B、 $P (X = 3)$ C、 $P (X \leq 5)$ D、 $P (X = 5)$

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6. 设 $a < b < 0$ ，给出下列四个结论：① $a + b < a b$ ；② $2 a < 3 b$ ；③ $a^{2} < b^{2}$ ；④ $a | a | < b | b |$ .其中正确的结论的序号为（）

A、①② B、①④ C、②③④ D、①②③

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7. 已知函数 $f (x) = x^{3} - s i n x$ ，若对于任意 $x_{1} ， x_{2} \in R$ ，满足 $x_{1} + x_{2} = 0$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，则一定有（）

A、 $f (x_{1}) + f (x_{2}) = 0$ B、 $f (x_{1}) - f (x_{2}) = 0$ C、 $f (x_{1}) < f (x_{2})$ D、 $f (x_{1}) > f (x_{2})$

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8. 算盘是中国古代的一项重要发明，迄今已有2600多年的历史.现有一算盘，取其两档（如图一），自右向左分别表示十进制数的个位和十位，中间一道横梁把算珠分为上下两部分，梁上一珠拨下，记作数字5，梁下四珠，上拨一珠记作数字1（如图二算盘表示整数51）.若拨动图1的两枚算珠，则可以表示不同整数的个数为（）

A、6 B、8 C、10 D、15

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9. “ $x < 0$ ”是“ $x + \frac{4}{x} \leq - 4$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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10. “字节”（Byte，B）常用于表示存储容量或文件的大小.随着网络存储信息量的增大，我们还用千（K，kilo）､兆（M，mega）､吉（G，giga）､太（T，tera）､拍（P，peta）等单位表示存储容量.各单位数量级之间的换算关系如下：1KB=1024B；1MB=1024KB；1GB=1024MB；1TB=1024GB；1PB==1024TB=xB。已知 $x$ 是一个 $m$ 位整数，则 $m =$ （）
（参考数据： $l g 2 \approx 0.3010$ ）

A、8 B、9 C、15 D、16

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二、填空题

11. 函数 $y = \frac{\sqrt{x - 1}}{x}$ 的定义域为.

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12. 已知事件A，B相互独立， $P (A) = 0.7$ ， $P (B) = 0.4$ ，则 $P (B | A) =$ .

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13. 将若干红球与黄球放进一个不透明的袋子中，这些球的大小与重量完全相同.已知袋子中红球与黄球个数之比为 $6 ： 4$ ，其中 $\frac{1}{3}$ 的红球印有商标， $\frac{3}{4}$ 的黄球印有商标.现从袋子中随机抽取一个小球，则小球印有商标的概率为.

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14. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为D，给出下列三个条件：
① $\forall x \in D$ ，有 $f (x) + f (- x) = 0$ ；
② $\forall x \in D$ ，有 $f^{'} (x) \leq 0$ ；
③ $\exists x_{1} ， x_{2} \in D$ 且 $x_{1} < x_{2}$ ，有 $f (x_{1}) < f (x_{2})$ .
试写出一个同时满足条件①②③的函数 $f (x)$ ，则 $f (x) =$ .

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15. 设函数 $f (x) = x$ ， $g (x) = \sqrt{x}$ ， $h (x) = x^{3}$ ，当自变量 $x$ 从0变到1时，它们的平均变化率分别记为 $m_{1}$ ， $m_{2}$ ， $m_{3}$ ，则 $m_{1}$ ， $m_{2}$ ， $m_{3}$ 之间的大小关系为（用“>”“<”“=”连接）；三个函数中在 $x = 1$ 处的瞬时变化率最大的是.

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三、解答题

16. 合理使用密码是提升网络空间安全的重要手段.密码安全性强弱与其长度､使用字符种类数及排列规律等相关，其中字符可以是数字、字母及一些特殊符号等.某密码的安全性评分主要分为以下四个方面：

长度	小于等于4个字符	5至7个字符	大于等于8个字符
长度	得5分	得10分	得30分
字母	不含字母	含字母，全用小写或全用大写	含字母，既含小写又含大写
字母	得0分	得10分	得25分
特殊符号	不含符号	含1个符号	含大于1个符号
特殊符号	得0分	得10分	得25分
数字	不含数字	含1至2个数字	含大于等于3个数字
数字	得0分	得10分	得20分

设密码安全性评分为 $x$ ，若 $x \geq 80$ 为安全性较强； $60 \leq x < 80$ 为安全性中等； $x < 60$ 为安全性较弱.

现有一个长度大于8个字符的密码，其安全性评分为85分，给出如下判断：

①该密码既含有小写字母又含有大写字母；

②该密码至少含有3个数字；

③该密码含多于1个特殊符号；

④该密码一定同时含有字母，特殊符号和数字.

其中所有正确判断的序号是.

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17. 已知函数 $f (x) = e^{x} - 3 x + 1$ .

(1)、求曲线 $f (x)$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程，

(2)、求 $f (x)$ 的最小值.

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18. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2^{x} ， x \geq 0 \\ - x^{2} - 2 x + 1 ， x < 0 \end{array}$ .

(1)、求 $f (f (- 1))$ 的值；

(2)、求不等式 $f (x) > 1$ 的解集；

(3)、当 $x_{0} < 0$ 时，是否存在使得 $f (x_{0}) - f (- x_{0}) = 0$ 成立的 $x_{0}$ 值？若存在，直接写出 $x_{0}$ 的值；若不存在，说明理由.

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19. 毛猴是老北京的传统手工艺品，制作材料都取自中药材，工序大致分为三步，第一步用蝉蜕做头和四肢；第二步用辛夷做身子：第三步用木通做道具.已知小萌同学在每个环节制作合格的概率分别为 $\frac{3}{4}$ ， $\frac{4}{5}$ ， $\frac{2}{3}$ ，只有当每个环节制作都合格时.这件作品才算制作成功，

(1)、求小萌同学制作一件作品成功的概率；

(2)、若小萌同学制作了3件作品，假设每次制作成功与否相互独立.设其中成功的作品数为 $X$ .求 $X$ 的分布列及期望.

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20. 已知函数 $f (x) = \frac{l n x}{x}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的极大值；

(2)、若 $f (x)$ 图象上的点都在直线 $y = k x - 1$ 的下方，求 $k$ 的取值范围.

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21. 设 $A$ 是非空实数集，且 $0 \notin A$ .若对于任意的 $x ， y \in A$ ，都有 $x y \in A$ ，则称集合 $A$ 具有性质 $P_{1}$ ；若对于任意的 $x ， y \in A$ ，都有 $\frac{x}{y} \in A$ ，则称集合 $A$ 具有性质 $P_{2}$ .

(1)、写出一个恰含有两个元素且具有性质 $P_{1}$ 的集合 $A$ ；

(2)、若非空实数集 $A$ 具有性质 $P_{2}$ ，求证：集合 $A$ 具有性质 $P_{1}$ ；

(3)、设全集 $U = {x | x \neq 0 ， x \in R}$ ，是否存在具有性质 $P_{1}$ 的非空实数集 $A$ ，使得集合 $∁_{U} A$ 具有性质 $P_{2}$ ？若存在，写出这样的一个集合 $A$ ；若不存在，说明理由.

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