北京市朝阳区2021-2022学年高二下学期数学期末质量检测试卷

试卷更新日期：2022-08-25 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {- 1 ， 0 ， 1} ， B = {x | x (x - 1) \leq 0}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $\emptyset$ B、{0} C、{1} D、 ${0 ， 1}$

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2. 已知 $a < b < 0$ ，则下列不等式中成立的是（）

A、 $2^{a} < 2^{b}$ B、 $a b < b^{2}$ C、 $a^{2} < b^{2}$ D、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$

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3. 下列函数中既是奇函数又在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递增的是（）

A、 $y = 2^{x}$ B、 $y = x + \frac{1}{x}$ C、 $y = x | x |$ D、 $y = l n | x |$

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4. 已知一组样本数据 $(x_{1} ， y_{1}) ， (x_{2} ， y_{2}) ， ⋯ ， (x_{n} ， y_{n})$ ，根据这组数据的散点图分析x与y之间的线性相关关系，若求得其线性回归方程为 $\hat{y} = 0.85 x - 85.7$ ，则在样本点 $(165 ， 57)$ 处的残差为（）

A、-2.45 B、2.45 C、3.45 D、54.55

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5. 在抗击新冠疫情期间，有6名男生和5名女生共11名大学生报名参加某社区疫情防控志愿服务，现从6名男生中选出2名组成一个小组，从5名女生中选出2名组成一个小组，在周日的上午和下午各安排一个小组值班，则不同的排班种数为（）

A、75 B、150 C、300 D、600

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6. “ $- 2 < m < 2$ ”是“ $x^{2} - m x + 1 > 0$ 在 $x \in (1 ， + \infty)$ 上恒成立”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 已知函数 $f (x)$ 的导函数 $f^{^{'}} (x)$ 的图象如图所示，则下列结论中正确的是（）

A、曲线 $y = f (x)$ 在点 $(- 2 ， f (- 2))$ 处的切线斜率小于零 B、函数 $f (x)$ 在区间 $(- 1 ， 1)$ 上单调递增 C、函数 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处取得极大值 D、函数 $f (x)$ 在区间 $(- 3 ， 3)$ 内至多有两个零点

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8. 为了了解居家学习期间性别因素是否对学生体育锻炼的经常性有影响，某校随机抽取了40名学生进行调查，按照性别和体育锻炼情况整理出如下的 $2 \times 2$ 列联表：
性别
锻炼情况
合计
不经常
经常
女生/人
14
7
21
男生/人
8
11
19
合计/人
22
18
40
注： $χ^{2}$ 独立性检验中， $χ^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)} ， n = a + b + c + d$ ．
常用的小概率值和相应的临界值如下表：
$α$
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
根据这些数据，给出下列四个结论：
①依据频率稳定于概率的原理，可以认为性别对体育锻炼的经常性有影响；②依据频率稳定于概率的原理，可以认为性别对体育锻炼的经常性没有影响；③根据小概率值 $α = 0.05$ 的独立性检验，可以认为性别对体育锻炼的经常性有影响，这个推断犯错误的概率不超过0.05；④根据小概率值 $α = 0.05$ 的独立性检验，没有充分证据推断性别对体育锻炼的经常性有影响，因此可以认为性别对体育锻炼的经常性没有影响．
其中，正确结论的序号是（）

A、①③ B、①④ C、②③ D、②④

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9. 若对任意 $x \in [0 ， π]$ 都有 $m \leq s i n 2 x - x \leq M$ 成立，其中m，M为实数，则 $M - m$ 的最小值为（）

A、π B、 $1 + \frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{5 π}{6}$ D、 $\sqrt{3} + \frac{2 π}{3}$

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10. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{3} ， x \geq 0 ， \\ - 2 | x + 1 | + 2 ， x < 0 ， \end{array}$ 若存在唯一的整数x，使得 $\frac{x - a}{3 f (x) - 2} < 0$ 成立，则所有满足条件的整数a的取值集合为（）

A、 ${- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ B、 ${- 2 ， - 1 ， 0 ， 1}$ C、 ${- 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ D、 ${- 1 ， 0 ， 1}$

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二、填空题

11. 计算： $2 l o g_{9} 3 + l o g_{3} 15 - l o g_{3} 5 =$ ．

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12. 在一组数据0，3，5，7，10中加入一个整数a得到一组新数据，这组新数据与原数据相比平均数不增大且方差减小，则a的一个取值为．

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13. 已知某地只有A，B两个品牌的计算机在进行降价促销活动，售后保修期为1年，它们在市场的占有率之比为3∶2．根据以往数据统计，这两个品牌的计算机在使用一年内，A品牌有5%需要维修，B品牌有6%需要维修．若某人从该地随机购买了一台降价促销的计算机，则它在一年内不需要维修的概率为．

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14. 激活函数是神经网络模型的重要组成部分，是一种添加到人工神经网络中的函数． $t a n h$ 函数是常用的激活函数之一，其解析式为 $f (x) = \frac{2}{1 + e^{- 2 x}} - 1$ ．关于 $t a n h$ 函数的以下结论
① $t a n h$ 函数是增函数；
② $t a n h$ 函数是奇函数；
③对于任意实数a，函数 $y = | f (x) | - a x - 1$ 至少有一个零点；
④曲线 $y = f (x)$ 不存在与直线 $x + \sqrt{2} y = 0$ 垂直的切线．
其中所有正确结论的序号是．

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15. 在 ${(x^{2} + \frac{1}{x})}^{5}$ 的展开式中， $x$ 的系数为；各项系数之和为．（用数字作答）

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16. 设函数 $y = f (x)$ 的定义域为R，且满足 $f (1 + x) = f (3 - x) ， f (4 + x) + f (4 - x) = 0$ ，当 $x \in (0 ， 2]$ 时， $f (x) = x^{2} - 2 x$ ．则 $f (3) =$ ；当 $x \in (5 ， 7)$ 时， $f (x)$ 的取值范围为．

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三、解答题

17. 某数学教师组织学生进行线上说题交流活动，规定从8道备选题中随机抽取题目作答，假设在8道备选题中，学生甲能答对每道题的概率都是 $\frac{2}{3}$ ，且每道题答对与否互不影响，学生乙、丙都只能答对其中的6道题．

(1)、若甲、乙两人分别从8道备选题中随机抽取1道作答，求至少有1人能答对的概率；

(2)、若学生丙从8道备选题中随机抽取2道作答，以X表示其中丙能答对的题数，求X的分布列及数学期望 $E (X)$ ．

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18. 已知函数 $f (x) = 2 l n (1 - x) - \frac{1}{x}$ ．

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(- 1 ， f (- 1))$ 处的切线方程；

(2)、求函数 $y = f (x)$ 的单调区间．

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19. 第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月20日在北京圆满闭幕，这是一次创造诸多“第一”的盛会．某学校为了了解学生收看北京冬奥会的情况，随机调查了100名学生，获得他们日均收看北京冬奥会的时长数据，将数据分成6组： $[0 ， 0.5] ， (0.5 ， 1] ， (1 ， 1.5] ， (1.5 ， 2] ， (2 ， 2.5] ， (2.5 ， 3]$ ，并整理得到如下频率分布直方图：
假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替．

(1)、试估计该校学生日均收看北京冬奥会的时长的平均值；

(2)、以频率估计概率，从全校学生中随机抽取3人，以X表示其中日均收看北京冬奥会的时长在 $(1.5 ， 2.5]$ 的学生人数，求X的分布列和数学期望 $E (X)$ ；

(3)、经过进一步调查发现，这100名学生收看北京冬奥会的方式有：①收看新闻或收看比赛集锦，②收看比赛转播或到现场观看．他们通过这两种方式收看的日均时长与其日均收看北京冬奥会的时长的比值如下表：
日均收看北京冬奥会的时长/小时
通过方式①收看
通过方式②收看
$[0 ， 0.5]$
1
0
$(0.5 ， 1.5]$
$\frac{2}{3}$
$\frac{1}{3}$
$(1.5 ， 3]$
$\frac{1}{3}$
$\frac{2}{3}$
日均收看北京冬奥会的时长在 $[0 ， 0.5] ， (0.5 ， 1.5] ， (1.5 ， 3]$ 的学生通过方式①收看的平均时长分别记为 $μ_{1} ， μ_{2} ， μ_{3}$ ，写出 $μ_{1} ， μ_{2} ， μ_{3}$ 的大小关系．（结论不要求证明）

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20. 已知函数 $f (x) = x e^{x} - a x (a \in R)$ ．

(1)、若 $y = f (x)$ 在R上是增函数，求实数a的取值范围；

(2)、当 $a = 1$ 时，判断0是否为函数 $f (x)$ 的极值点，并说明理由；

(3)、若存在三个实数 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，满足 $f (x_{1}) = f (x_{2}) = f (x_{3})$ ，求实数a的取值范围．

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21. 已知集合 $M = {\frac{1}{k} | 1 \leq k \leq 100 ，且 k \in N^{*}}$ ， $A = {a_{1} ， a_{2} ， ⋯ ， a_{n}}$ ，其中 $n \in N^{*}$ ，且 $n \geq 2$ ．若 $A \subseteq M$ ，且对集合A中的任意两个元素 $a_{i} ， a_{j} ， i \neq j$ ，都有 $| a_{i} - a_{j} | \geq \frac{1}{30}$ ，则称集合A具有性质P．

(1)、判断集合 ${\frac{1}{3} ， \frac{1}{4} ， \frac{1}{5} ， \frac{1}{6} ， \frac{1}{7}}$ 是否具有性质P；并另外写出一个具有性质P且含5个元素的集合A；

(2)、若集合 $A = {a_{1} ， a_{2} ， ⋯ ， a_{n}}$ 具有性质P．
①求证： $(a_{i} - a_{j})$ 的最大值不小于 $\frac{n - 1}{30}$ ；
②求n的最大值．

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性别	锻炼情况		合计
性别	不经常	经常	合计
女生/人	14	7	21
男生/人	8	11	19
合计/人	22	18	40

日均收看北京冬奥会的时长/小时	通过方式①收看	通过方式②收看
$[0 ， 0.5]$	1	0
$(0.5 ， 1.5]$	$\frac{2}{3}$	$\frac{1}{3}$
$(1.5 ， 3]$	$\frac{1}{3}$	$\frac{2}{3}$

$α$	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828