北京市昌平区2021--2022学年高二下学期数学期末质量抽测试卷

试卷更新日期：2022-08-25 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {- 2 ， - 1 ， 0 ， 1}$ ， $B = {x | - 1 < x \leq 1}$ ，则图中阴影部分所表示的集合为（）

A、 ${- 1 ， 0 ， 1}$ B、 ${0 ， 1}$ C、 ${- 2 ， - 1 ， 0}$ D、 ${- 2 ， - 1}$

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2. 下列函数中，在区间 $(0 ， + \infty)$ 上单调递减的是（）

A、 $y = x^{\frac{1}{2}}$ B、 $y = \frac{1}{x}$ C、 $y = 2^{x}$ D、 $y = l o g_{2} x$

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3. 命题“ $\forall x \in (0 ， + \infty)$ ， $x - 1 \geq l n x$ ”的否定是（）

A、 $\exists x \in (0 ， + \infty)$ ， $x - 1 \geq l n x$ B、 $\forall x \in (0 ， + \infty)$ ， $x - 1 < l n x$ C、 $\exists x \in (0 ， + \infty)$ ， $x - 1 < l n x$ D、 $\forall x \in (- \infty ， 0]$ ， $x - 1 \geq l n x$

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4. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，角 $α$ 以 $O x$ 为始边，终边经过点 $P (- 2 ， 3)$ ，则 $t a n (α + \frac{π}{4}) =$ （）

A、 $- \frac{1}{5}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、1 D、5

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5. 将红、蓝两个均匀的骰子各掷一次，设事件 $A$ 为“两个骰子的点数之和为6”，事件 $B$ 为“红色骰子的点数大于蓝色骰子的点数”，则 $P (B | A)$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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6. 已知 $0 < a < 1 ， b < 0$ ，则下列大小关系正确的是（）

A、 $a b < 1 < a^{2} b$ B、 $1 < a b < a^{2} b$ C、 $a b < a^{2} b < 1$ D、 $a^{2} b < a b < 1$

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7. 已知某手机专卖店只售卖甲、乙两种品牌的智能手机，其占有率和优质率的信息如下表所示.

品牌

甲

乙

占有率

60%

40%

优质率

95%

90%

从该专卖店中随机购买一部智能手机，则买到的是优质品的概率是（）

A、93% B、94% C、95% D、96%

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8. 已知函数 $f (x) = x^{2} - 2 k x + 2 k^{2} - 1 (k \in R)$ ，则“对任意实数 $x$ ， $f (x) > 0$ 恒成立”是“ $k > 1$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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9. 设 $α ， β$ 均为锐角，且 $t a n α c o s β - s i n β = 1$ ，则（）

A、 $3 α + β = π$ B、 $2 α + β = \frac{π}{2}$ C、 $3 α - β = π$ D、 $2 α - β = \frac{π}{2}$

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10. 已知函数 $f (x)$ 是定义域为 $(- \infty ， + \infty)$ 的奇函数，满足 $f (2 - x) = f (2 + x)$ ，若 $f (1) = 2$ ，则 $f (1) + f (2) + f (3) + ⋯ + f (2022) =$ （）

A、-2 B、0 C、2 D、4

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二、填空题

11. 已知 $x > 0 ， y > 0$ ，且 $x y = 9$ ，则 $x + y$ 的最小值为 .

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12. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，角 $α$ 与角 $β$ 均以 $O x$ 为始边，它们的终边关于 $x$ 轴对称．则 $c o s α - c o s β =$ ．

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13. 已知函数 $f (x) = l n 2 x$ ，其导函数为 $f^{^{'}} (x)$ ，则 $f^{^{'}} (e) =$ ．

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14. 设数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} = 2 ， a_{2} = 6$ ，若数列 ${\sqrt{S_{n}}}$ 是等差数列，则 $S_{4} =$ .

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15. 已知函数 $f (x)$ 与 $f^{^{'}} (x)$ 的图像如下图所示，设函数 $g (x) = \frac{f (x)}{e^{x}}$ . 给出下列四个结论
①函数 $f (x)$ 在区间 $(- \infty ， 0)$ 上是减函数，在区间 $(0 ， + \infty)$ 上是增函数；
②函数 $f (x)$ 在区间 $(- \infty ， - 1)$ 和 $(1 ， + \infty)$ 上是增函数，在区间 $(- 1 ， 1)$ 上是减函数；
③函数 $g (x)$ 有三个极值点；
④函数 $g (x)$ 有三个零点.
其中，所有正确结论的序号是 .

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16. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} + 2 x ， x \leq 0 \\ a x - l n x ， x > 0 \end{array}$ ，若 $a = - 1$ ，则函数 $f (x)$ 有个零点；若函数 $f (x)$ 有且仅有两个零点，则实数 $a$ 的取值范围是 .

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三、解答题

17. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $a_{1} = 5 ， S_{3} = 21$ ，各项均为正数的等比数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{1} = a_{1} - 1 ， b_{3} = a_{6} + 1$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = a_{n} + b_{n}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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18. 已知函数 $f (x) = c o s x (\sqrt{3} s i n x - c o s x) + m$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、在下列三个条件中选择一个作为已知，使得实数 $m$ 的值唯一确定，并求出使函数 $f (x)$ 在区间 $[0 ， a]$ 上最小值为 $- \frac{1}{2}$ 时 $a$ 的取值范围.
条件①： $f (x)$ 的最大值为 $1$ ；
条件②： $f (x)$ 的一个对称中心为 $(\frac{7 π}{12} ， 0)$ ；
条件③： $f (x)$ 的一条对称轴为 $x = \frac{π}{3}$ ．
注：如果选择条件①、条件②、和条件③分别解答，按第一个解答计分.

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19. 为了解学生上网课使用的设备类型情况，某校对学生进行简单随机抽样.获得数据如下表：
设备类型
仅使用手机
仅使用平板
仅使用电脑
同时使用两种及两种以上设备
使用其他设备或不使用设备
使用人数
17
16
65
32
0
假设所有学生对网课使用的设备类型的选择相互独立．

(1)、分别估计该校学生上网课仅使用手机的概率，该校学生上网课仅使用平板的概率；

(2)、从该校全体学生中随机抽取3人进行调查，设随机变量X表示这3人中仅使用电脑的人数，以频率估计概率，求X的分布列和数学期望；

(3)、假设样本中上网课同时使用两种设备的人数是22，用 $" ξ_{1} = 1 "$ 表示上网课仅使用一种设备， $" ξ_{1} = 0 "$ 表示上网课不仅仅使用一种设备；用 $" ξ_{2} = 1 "$ 表示上网课同时使用三种设备， $" ξ_{2} = 0 "$ 表示上网课不同时使用三种设备. 试比较方差 $D (ξ_{1})$ ， $D (ξ_{2})$ 的大小.（结论不要求证明）

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20. 已知函数 $f (x) = \frac{e^{x}}{a x - 1} (a \in R)$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在 $(2 ， f (2))$ 处的切线方程；

(2)、求函数 $f (x)$ 的单调区间和极值.

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21. 已知 ${a_{n}}$ 是由正整数组成的无穷数列．设 $q_{n} = \frac{A_{n}}{B_{n}}$ ，其中 $A_{n} = m a x {a_{1} ， a_{2} ， a_{3} ， ⋯ ， a_{n}}$ ， $B_{n} = m i n {a_{n + 1} ， a_{n + 2} ， a_{n + 3} ， ⋯}$ ，这里 $m a x {a_{1} ， a_{2} ， a_{3} ， ⋯ ， a_{n}}$ 表示 $a_{1} ， a_{2} ， a_{3} ， ⋯ ， a_{n}$ 这n个数中最大的数， $m i n {a_{n + 1} ， a_{n + 2} ， a_{n + 3} ， ⋯}$ 表示 $a_{n + 1} ， a_{n + 2} ， a_{n + 3} ， ⋯$ 中最小的数．

(1)、若 ${a_{n}}$ 为 $2 ， 1 ， 4 ， 3 ， 2 ， 1 ， 4 ， 3 ， ⋯$ ，是一个周期为 $4$ 的数列（即对任意 $n \in N^{*}$ ， $a_{n + 4} = a_{n}$ ），写出 $q_{1}$ ， $q_{2}$ ， $q_{3}$ ， $q_{4}$ 的值；

(2)、设 $q$ 是正整数．证明： $q_{n} = \frac{1}{q}$ （ $n = 1 ， 2 ， 3 ， ⋯$ ）的充分必要条件为 ${a_{n}}$ 是公比为 $q$ 的等比数列；

(3)、证明：若 $a_{1} = 2$ ， $q_{n} = 2$ （ $n = 1 ， 2 ， 3 ， ⋯$ ），则 ${a_{n}}$ 的项只能是1或者2，且有无穷多项为 $1$ ．

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设备类型	仅使用手机	仅使用平板	仅使用电脑	同时使用两种及两种以上设备	使用其他设备或不使用设备
使用人数	17	16	65	32	0

品牌	甲	乙
占有率	60%	40%
优质率	95%	90%