江苏省南京市鼓楼区2021-2022学年七年级下学期期末数学试题

试卷更新日期：2022-08-24 类型：期末考试

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一、单选题

1. 下列运算正确的是（）

A、 $a^{3} \cdot a^{2} = a^{5}$ B、 $(a^{2})^{3} = a^{5}$ C、 $a^{3} + a^{3} = a^{6}$ D、 $(a + b)^{2} = a^{2} + b^{2}$

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2. 下列各式从左边到右边的变形，是因式分解且分解正确的是（）

A、（a+1）（a-1）=a²-1 B、ab+ac+1=a（b+c）+1 C、a²-2a-3=（a-1）（a-3） D、a²-8a+16=（a-4）²

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3. 若实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，则下列不等式成立的是（）

A、ac＞bc B、ab＞cb C、a+c＞b+c D、a+b＞c+b

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4. 如图，下列条件中，不能判断直线a//b的是（）

A、∠1=∠3 B、∠2+∠4=180° C、∠4=∠5 D、∠2=∠3

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5. 给出下列4个命题：①垂线段最短；②互补的两个角中一定是一个为锐角，另一个为钝角；③同旁内角相等，两直线平行；④同旁内角的两个角的平分线互相垂直.其中真命题的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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6. 如图，P为△ABC内一点，连接AP、BP、CP并延长分别交边BC、AC、AB于点D、E、F，则把△ABC分成六个小三角形，其中四个小三角形面积已在图上标明，则△ABC的面积为（）

A、300 B、315 C、279 D、342

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二、填空题

7. 石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度仅有0.00000000034米，将数据0.00000000034用科学记数法表示为．

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8. 已知 $x^{m} = 6$ ， $x^{n} = 3$ ，则 $x^{2 m - n}$ 的值为．

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9. 一个正多边形的内角和等于720°，则它的边数是．

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10. 已知三角形三边长分别为2，9， $x$ ，若 $x$ 为偶数，则这样的三角形有个．

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11. 已知a²﹣4b²＝12，且a﹣2b＝﹣3，则a+2b＝．

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12. 直角三角形中两锐角互余，这一命题的逆命题是．

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13. 已知关于 $x$ 的不等式组 ${\begin{array}{l} x - a \leq 2 \\ x + 3 > 4 \end{array}$ 有且仅有3个整数解，则 $a$ 的取值范围是.

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14. 如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠P＝°.

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15. 如图，将四边形纸片ABCD沿MN折叠，点A、D分别落在 $A_{1}$ 、 $D_{1}$ 处，若 $∠ 1 + ∠ 2 = 150 °$ ，则 $∠ B + ∠ C =$ °．

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16. 如图，红黄绿三块一样大的正方形纸片放在一个底面为正方形盒内，它们之间互相重叠．已知露在外面的部分中，红色的面积是20，黄色的面积是13，绿色的面积是11，则盒子底面的面积为．

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三、解答题

17. 计算：

(1)、 ${(π - 2)}^{0} - {(\frac{1}{2})}^{- 2} + 3^{2}$ ；

(2)、 ${(- 2 x^{2})}^{2} + x^{3} \cdot x - x^{5} \div x$ ．

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18. 因式分解：

(1)、 $4 x^{2} - 64$ ；

(2)、 $- a + 2 a^{2} - a^{3}$ ．

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19. 先化简，再求值： ${(x - y)}^{2} - (2 x + y) (2 x - y) + 3 x (x + y)$ ，其中 $| x + 3 | + {(y - 2)}^{2} = 0.$

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20. 解方程组 ${\begin{array}{l} x + 4 y = 3 \\ 5 x - 2 y = 4 \end{array}$ ．

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21. 解不等式组 ${\begin{array}{l} 2 (x + 8) \leq 10 - 4 (x - 3) \\ x - \frac{3 x + 1}{2} < 1 \end{array}$ ，并写出它的所有整数解．

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22. 如图，△ABC中，D为AC边上一点，过D作DE∥AB，交BC于E；F为AB边上一点，连接DF并延长，交CB的延长线于G，且∠DFA＝∠A.

(1)、求证：DE平分∠CDF；

(2)、若∠C＝80°，∠ABC＝60°，求∠G的度数.

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23. 已知：如图， $P$ 是 $△ A B C$ 内一点．求证： $A B + A C > P B + P C$ ．

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24. 某出租汽车公司计划购买 $A$ 型和 $B$ 型两种节能汽车，若购买 $A$ 型汽车 $4$ 辆， $B$ 型汽车 $7$ 辆，共需 $310$ 万元；若购买 $A$ 型汽车 $10$ 辆， $B$ 型汽车 $15$ 辆，共需 $700$ 万元．

(1)、 $A$ 型和 $B$ 型汽车每辆的价格分别是多少万元？

(2)、该公司计划购买 $A$ 型和 $B$ 型两种汽车共 $10$ 辆，费用不超过 $285$ 万元，且 $A$ 型汽车的数量少于 $B$ 型汽车的数量，请你给出费用最省的方案，并求出该方案所需费用．

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25.

(1)、如图1，AC平分 $∠ D A B$ ， $∠ 1 = ∠ 2$ ，试说明AB与CD的位置关系，并予以证明；

(2)、如图2，在（1）的结论下，AB的下方点Р满足∠ABP=38°，G是CD上任一点，PQ平分∠BPG，PQ∥GN，GM平分∠DGP，下列结论：①∠DGP-∠MGN的值不变；②∠MGN的度数不变．可以证明，只有一个是正确的，请你作出正确的选择并求值．

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26. 【概念认识】
如图①，在 $∠ A B C$ 中，若 $∠ A B D = ∠ D B E = ∠ E B C$ ，则BD，BE叫做 $∠ A B C$ 的“三分线”．其中，BD是“邻AB三分线”，BE是“邻BC三分线”．

(1)、【问题解决】
如图②，在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 70 °$ ， $∠ B = 45 °$ ，若 $∠ B$ 的三分线BD交AC于点D，则 $∠ B D C =$ °；

(2)、如图③，在 $△ A B C$ 中，BP、CP分别是 $∠ A B C$ 邻AB三分线和 $∠ A C B$ 邻AC三分线，且 $B P ⊥ C P$ ，求 $∠ A$ 的度数；

(3)、【延伸推广】
如图，直线AC、BD交于点O， $∠ A D B$ 的三分线所在的直线与 $∠ A C B$ 的三分线所在的直线交于点P．若 $∠ A = 66 °$ ， $∠ B = 45 °$ ， $∠ A D B = m °$ ，直接写出 $∠ D P C$ 的度数．

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