浙江省浙东北联盟（ZDB）2021-2022学年高一上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-08-23 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | - 3 \leq x < 2}$ ， $B = {x | x \geq 1}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${x | x \geq - 3}$ B、 ${x | x \geq 1}$ C、 ${x | - 3 \leq x < 1}$ D、 ${x | 1 \leq x < 2}$

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2. 命题“ $\exists x \in R$ ， $| x | + 1 < 2$ ”的否定是（）

A、 $\exists x \in R$ ， $| x | + 1 > 2$ B、 $\exists x \in R$ ， $| x | + 1 \geq 2$ C、 $\forall x \in R$ ， $| x | + 1 > 2$ D、 $\forall x \in R$ ， $| x | + 1 \geq 2$

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3. 下列图形能表示函数 $y = f (x)$ 的图象的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 若 $3 \in {a ， a^{2} - 2 a}$ ，则实数 $a$ 的值等于（）

A、-1 B、3 C、±1 D、3或-1

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5. 已知正实数 $x$ ， $y$ 满足 $2 x - 2 y < \sqrt{y} - \sqrt{x}$ ，则（）

A、 $x > y$ B、 $x < y$ C、 $x = y$ D、 $x$ ， $y$ 大小不确定

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6. 函数 $f (x)$ 的定义域为 $[0 ， 1]$ ，则“函数 $f (x)$ 在 $[0 ， 1]$ 上单调递减”是“函数 $f (x)$ 在 $[0 ， 1]$ 的最小值为 $f (1)$ ”（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 正实数 $x$ ， $y$ 满足 $x^{2} + 3 x y - 1 = 0$ ，则 $x + y$ 的最小值是（）

A、 $\sqrt{2}$ B、1 C、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$

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8. 设函数 $f (x)$ 的定义域为R， $f (x + 1)$ 为偶函数， $f (x + 2)$ 为奇函数，当 $x \in [1 ， 2]$ 时， $f (x) = a x^{2} + b$ ，若 $f (0) + f (3) = 6$ ，则 $f (\frac{1}{2}) =$ （）

A、 $- \frac{9}{4}$ B、 $- \frac{3}{2}$ C、 $- \frac{7}{2}$ D、 $\frac{5}{2}$

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二、多选题

9. 下列函数中，既是奇函数又在区间 $(0 ， + ∞)$ 是增函数的是（）

A、 $y = x^{2}$ B、 $y = x^{3}$ C、 $y = x + \frac{2}{x}$ D、 $y = x - \frac{2}{x}$

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10. 下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（）

A、 $f (x) = \sqrt{x^{2} - 1}$ 与 $g (x) = \sqrt{x + 1} \cdot \sqrt{x - 1}$ B、 $f (x) = | x |$ 与 $g (x) = \sqrt{x^{2}}$ C、 $f (x) = \frac{| x |}{x}$ 与 $g (x) = {\begin{array}{l} 1 ， x > 0 \\ - 1 ， x < 0 \end{array}$ D、 $f (x) = x^{2} - x + 1$ 与 $g (t) = t^{2} - t + 1$

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11. $a ， b \in R$ ，且 $a b > 0$ ，则下列不等式恒成立的序号为（）

A、 $a^{2} + b^{2} \geq 2 a b$ B、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq \frac{2}{\sqrt{a b}}$ C、 $\frac{b}{a} + \frac{a}{b} \geq 2$ D、 $\sqrt{a b} ≥ \frac{2 a b}{a + b}$

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12. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，对任意的 $x_{1} < x_{2}$ ，都有 $f (x_{1}) - f (x_{2}) < x_{1} - x_{2}$ ， $f (3) = 4$ ，则下列结论中正确的有（）

A、 $f (x)$ 为增函数 B、 $g (x) = f (x) - x$ 为增函数 C、 $f (2 x - 1) > 4$ 的解集为 $(- \infty ， 2)$ D、 $f (2 x - 1) > 2 x$ 的解集为 $(2 ， + ∞)$

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三、填空题

13. 函数f（x）= $\frac{1}{\sqrt{x - 2}}$ 的定义域为．

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14. 已知 $a \in R$ ，函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} - 4 ， x > 2 \\ | x - 3 | + a ， x \leq 2 \end{array}$ ，且 $f (f (\sqrt{5})) = 3$ ，则 $a =$ ．

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15. 若函数 $f (x)$ 为R上的奇函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = x^{3} + x^{2}$ ，则当 $x < 0$ 时， $f (x) =$ ．

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16. 已知函数 $f (x) = x^{2} - 4 x$ ， $g (x) = a x + 2 (a > 0)$ ，若对任意的 $x_{1} \in [- 1 ， 3]$ ，总存在 $x_{2} \in [- 1 ， 3]$ ，使得 $f (x_{1}) = g (x_{2})$ ，则实数 $a$ 的取值范围是．

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四、解答题

17. 集合 $A = {x | x^{2} - 5 x - 14 \leq 0}$ ， $B = {x | m + 1 < x < 2 m - 1}$ ；

(1)、若 $m = 3$ ，求 $(∁_{R} B) ∩ A$ ；

(2)、若 $A ∪ B = A$ ，求实数 $m$ 的取值范围．

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18. 已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ，且 $\frac{1}{x} + \frac{2}{y} = 3$ ．

(1)、求 $x y$ 的最小值；

(2)、求 $x + y$ 的最小值．

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19. 已知函数 $f (x) = | 2 x - 1 |$ ， $g (x) = - x^{2} - x + 3$ ， $x \in R$ ．

(1)、在图1中画出函数 $f (x)$ ， $g (x)$ 的图象；

(2)、定义： $\forall x \in R$ ，用 $m (x)$ 表示 $f (x)$ ， $g (x)$ 中的较小者，记为 $m (x) = m i n {f (x) ， g (x)}$ ，请分别用图象法和解析式法表示函数 $m (x)$ ．（注：图象法请在图2中表示，本题中的单位长度请自己定义且标明）

(3)、写出函数 $m (x)$ 的单调区间和函数的值域．

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20. 已知幂函数 $h (x) = (m^{2} + m - 5) x^{m - 1}$ 为奇函数．

(1)、求实数 $m$ 的值；

(2)、求函数 $g (x) = h (x) + \sqrt{5 - 4 h (x)} (x \in [0 ， 1])$ 的值域．

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21. 十九大以来，国家深入推进精准脱贫，加大资金投入，强化社会帮扶，为了更好的服务于人民，派调查组到某农村去考察和指导工作．该地区有300户农民，且都从事中药材种植，据了解，平均每户的年收入为2.5万元．为了调整产业结构，调查组和当地政府决定动员部分农民从事中药材加工，据估计，若能动员 $x (x > 0)$ 户农民从事中药材加工，则剩下的继续从事中药材种植的农民平均每户的年收入有望提高 $4 x %$ ，而从事中药材加工的农民平均每户收入将为 $2.5 (a - \frac{4 x}{75}) (a > 0)$ 万元．

(1)、若动员 $x$ 户农民从事中药材加工后，要使从事中药材种植的农民的总年收入不低于动员前从事中药材种植的农民的总年收入，求 $x$ 的取值范围；

(2)、在（1）的条件下，要使这300户农民中从事中药材加工的农民的总收入始终不高于从事中药材种植的农民的总收入，求 $a$ 的最大值．

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{2 x + 1 - 4 a}{2 a - x}$ （ $x \in R$ 且 $x \neq 2 a$ ）．

(1)、当 $f (x)$ 的定义域为 $[2 a + \frac{1}{2} ， + \infty)$ 时，求函数 $f (x)$ 的值域；

(2)、设函数 $g (x) = x^{2} + | (2 a - x) f (x) |$ ，求 $g (x)$ 的最小值．

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