浙江省杭州市八校联盟2021-2022学年高一上学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2022-08-23 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列元素与集合的关系判断正确的是（）
① $0 \in N$ ；② $- 1 \in Z$ ；③ $π \in Q$ ；④ $\sqrt{2} \notin R$ .

A、①② B、①③ C、①④ D、②④

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2. 命题“ $\exists x \in R$ ， $x^{2} - x + 1 < 0$ ”的否定是（）

A、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} - x + 1 \geq 0$ B、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} - x + 1 > 0$ C、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} - x + 1 \geq 0$ D、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} - x + 1 > 0$

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3. 设 $a \in R$ ，则“ $a > 1$ ”是“ $a^{2} > a$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 下列图象中，以 $M = {x | 0 \leq x \leq 1}$ 为定义域， $N = {x | 0 \leq x \leq 1}$ 为值域的函数是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 若函数 $y = f (x)$ 的定义域是 $[0 ， 2]$ ，则函数 $g (x) = \frac{f (x + 1)}{x - 1}$ 的定义域是（）

A、 $[0 ， 2]$ B、 $(1 ， 3]$ C、 $[- 1 ， 1)$ D、 $[0 ， 1) \cup (1 ， 2]$

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6. 建造一个容积为 $8 m^{3}$ ，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为每平方米120元和80元，那么水池的最低总造价为（）

A、1680元 B、1760元 C、1800元 D、1820元

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7. 若A＝a²＋3ab，B＝4ab－b² ，则A、B的大小关系是（）

A、A≤B B、A≥B C、A<B或A>B D、A>B

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8. 定义在 $R$ 上的偶函数 $f (x)$ 满足：在 $[0 ， + ∞)$ 上单调递减，则满足 $f (2 x - 1) > f (1)$ 的 $x$ 的取值范围是（）

A、 $(- ∞ ， 0)$ B、 $(1 ， + \infty) ∪ (- \infty ， 0)$ C、 $(0 ， 1)$ D、 $(- 1 ， 0)$

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9. 下列各组函数中，表示同一函数的是（）

A、 $y = \sqrt{x^{2}}$ ， $y = (\sqrt{x})^{2}$ B、 $f (x) = | x |$ ， $φ (t) = \sqrt{t^{2}}$ C、 $y = \sqrt{1 + x} \cdot \sqrt{1 - x}$ ， $y = \sqrt{1 - x^{2}}$ D、 $y = \sqrt{(3 - x)^{2}}$ ， $y = x - 3$

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二、多选题

10. 对于实数a，b，c，下列说法正确的是（）

A、若 $a > b$ ，则 $a c^{2} > b c^{2}$ B、若 $a > b > 0$ ，则 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ C、若 $a > 0 > b$ ，则 $a b < a^{2}$ D、若 $c > a > b$ ，则 $\frac{a}{c - a} > \frac{b}{c - b}$

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11. 下列函数中满足“对任意x₁ ， x₂∈（0，＋∞），都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}}$ ＞0”的是（）

A、f（x）＝－ $\frac{2}{x}$ B、f（x）＝－3x＋1 C、f（x）＝x²＋4x＋3 D、f（x）＝x－ $\frac{1}{x}$

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 3 x + 1 ， x \leq 1 \\ x^{2} - 1 ， x > 1 \end{array}$ ，若 $n > m$ ，且 $f (n) = f (m)$ ，设 $t = n - m$ ，则（）

A、t没有最小值 B、t的最小值为 $\sqrt{5} - 1$ C、t的最小值为 $\frac{4}{3}$ D、t的最大值为 $\frac{17}{12}$

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三、填空题

13. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} ， x < 4 \\ x - 1 ， x \geq 4 \end{array}$ ，则 $f (f (3))$ ＝。

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14. 已知函数f(x－1)＝x²－2x＋2，则f(x)＝﹒

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15. 已知 $x > - 1$ ，则 $y = x + \frac{1}{x + 1}$ 的最小值为.

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16. 函数 $f (x) = \frac{x^{2} - x + 1}{x^{2} - x + 2}$ 的值域是.

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四、解答题

17. 已知集合A＝{x|x＞1}，集合B＝{x|m≤x≤m＋3}．

(1)、当m＝－1时，求A∩B，A∪B；

(2)、若 $B \subseteq ∁_{R} A$ ，求m的取值范围．

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18. 已知关于x的不等式2kx²+kx- $\frac{3}{8}$ <0.

(1)、若k= $\frac{1}{8}$ ，求不等式的解集；

(2)、若不等式的解集为R，求k的取值范围.

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19. 对于任意的实数a，b， $m i n {a ， b}$ 表示a，b中较小的那个数，即 $m i n {a ， b} = {\begin{array}{l} a ， a \leq b \\ b ， a > b \end{array}$ .已知函数 $f (x) = 3 - x^{2}$ ， $g (x) = 1 - x$ .

(1)、在同一直角坐标系中画出 $f (x)$ ， $g (x)$ 的图象；

(2)、设 $h (x) = m i n {f (x) ， g (x)}$ ， $x \in R$ ，写出函数 $h (x)$ 的解析式并求出 $h (x)$ 最大值.

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20. 已知函数 $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$

(1)、写出函数 $f (x)$ 的定义域，判断并证明函数 $f (x)$ 的奇偶性；

(2)、用单调性定义证明函数 $f (x)$ 在 $(- 1 ， 1)$ 上单调递增；

(3)、若 $f (x)$ 定义域为 $(- 1 ， 1)$ ，解不等式 $f (2 x - 1) + f (x) < 0$

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21. 若某公司生产某种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收入R（单位：元）关于月产量x（单位：台）满足函数： $R (x) = {\begin{array}{l} 400 x - \frac{1}{2} x^{2} ， 0 \leq x \leq 500 \\ 75000 ， x > 500 \end{array}$ .

(1)、将利润 $f (x)$ （单位：元）表示为月产量x的函数；

(2)、当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？（总收入=总成本+利润）

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22. 设 $f (x) = - x^{2} - a x + 1$ ， $g (x) = \frac{a x^{2} + x + a}{x^{2}}$ .

(1)、若 $f (x)$ 在区间 $[1 ， 2]$ 上是单调函数，求a的取值范围；

(2)、若存在 $x_{1} \in [1 ， 2]$ ，使得对任意的 $x_{2} \in [\frac{1}{2} ， 1]$ ，都有 $f (x_{1}) \geq g (x_{2})$ 成立，求实数a的取值范围.

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