四川省巴中市恩阳区2021-2022学年高一上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-08-23 类型：期中考试

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一、多选题

1. 下列关系中正确的是（）

A、 $\emptyset ⊊ {0}$ B、 $0 \in \emptyset$ C、 ${0 ， 1} \subseteq {0 ， 1}$ D、 ${(a ， b)} \subseteq {(b ， a)}$

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二、单选题

2. ${\sqrt{5}}^{\sqrt{2}} \cdot$ ${\sqrt{5}}^{\sqrt{2}} =$ （）

A、 $\sqrt{5}$ B、5 C、 $5^{\sqrt{2}}$ D、25

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3. 现向一个半径为R的球形容器内匀速注入某种液体，下面图形中能表示在注入过程中容器（球形部分）的液面高度h随时间t变化的函数关系的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 若 $a ， b ， c \in R$ 且 $a > b$ ，则下列不等式成立的是（）

A、 $a^{2} > b^{2}$ B、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ C、 $a | c | > b | c |$ D、 $a + c > b + c$

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5. 在定义域内既是奇函数又是减函数的是（）

A、 $f (x) = \frac{1}{x}$ B、 $f (x) = x + \frac{1}{x}$ C、 $f (x) = - x | x |$ D、 $f (x) = {\begin{array}{l} - x + 1 ， x \in (0 ， + ∞) \\ - x - 1 ， x \in (- ∞ ， 0) \end{array}$

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6. 已知 $a = 1 . 8^{0.8}$ ， $b = 0 . 8^{1.8}$ ， $c = 1 . 8^{1.8}$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $c < b < a$ D、 $a < c < b$

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7. 对任意实数 $a < 1$ 且 $a \neq 0$ 关于x的函数 $y = {(1 - a)}^{x} + 4$ 图象必过定点（）

A、 $(0 ， 4)$ B、 $(0 ， 1)$ C、 $(0 ， 5)$ D、 $(1 ， 5)$

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8. 函数的 $y = \sqrt{- x^{2} - 6 x - 5}$ 值域为（）

A、 $[0 ， + \infty)$ B、 $[0 ， 2]$ C、 $[2 ， + \infty)$ D、 $(2 ， + \infty)$

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9. 若不等式 $a x^{2} - x - c > 0$ 的解集为 ${x | - 1 < x < \frac{1}{2}}$ ，则函数 $y = c x^{2} - x - a$ 的图象可以为（）

A、 B、 C、 D、

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10. 函数 $y = 2^{x} - 2^{- x}$ （）

A、是 $R$ 上的减函数 B、是 $R$ 上的增函数 C、在 $(- \infty ， 0)$ 上是减函数，在 $(0 ， + ∞)$ 上是增函数 D、无法判断其单调性

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11. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用他的名字命名了“高斯函数”.设 $x \in R$ ，用 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，则 $y = [x]$ 称为高斯函数.例如： $[- 3.5] = - 4$ ， $[2.1] = 2$ ，已知函数 $f (x) = x - [x]$ ，则下列选项中，正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最大值为1，没有最小值 B、 $f (x)$ 的最小值为0，没有最大值 C、 $f (x)$ 没有最大值，没有最小值 D、 $f (x)$ 的最大值为1，最小值为0

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12. 记 $m a x {x ， y} = {\begin{array}{l} x ， x \geq y \\ y ， x < y \end{array}$ ， $m i n {x ， y} = {\begin{array}{l} y ， x \geq y \\ x ， x < y \end{array}$ ，已知 $f (x)$ ， $g (x)$ 分别是奇函数和偶函数，且在 $[0 ， + \infty)$ 上单调递减，设函数 $F (x) = m a x {f (x) ， g (x)} + m i n {f (x) ， g (x)}$ ，若 $a \geq 0$ ，则（）

A、 $F (a) + F (- a) \geq 0$ B、 $F (a) + F (- a) \leq 0$ C、 $F (a) - F (- a) \geq 0$ D、 $F (a) - F (- a) \leq 0$

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三、填空题

13. $12 5^{\frac{2}{3}} + {(\frac{1}{2})}^{- 2} - {(\frac{1}{27})}^{- \frac{1}{3}} =$ ．

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14. 已知正实数 $x$ ， $y$ 满足 $x + y = 1$ ，则 $x^{2} + y^{2}$ 的最小值为．

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15. 函数 $y = | - x^{2} + 2 x + 1 |$ 的单调递增区间是．

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16. 已知函数 $f (x)$ 是定义在R上的奇函数，若对任意给定的实数 $x_{1}, x_{2}$ ， $x_{1} f (x_{1}) + x_{2} f (x_{2}) < x_{1} f (x_{2}) + x_{2} f (x_{1})$ 恒成立，则不等式 $(x + 1) f (1 - 2 x) < 0$ 的解集是.

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四、解答题

17. 设全集 $U = {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6}$ ，集合 $A = {1 ， 3 ， 4}$ ， $B = {1 ， 4 ， 5 ， 6}$ .

(1)、求 $A ∩ B$ 及 $A ∪ B$ ；

(2)、求 $(∁_{U} A) ∩ B$ .

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18. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} 3 - x^{2} & x > 0 \\ 2 & x = 0 \\ 1 - 2 x & x < 0 \end{matrix}$

(1)、画出函数 $f (x)$ 的图象；

(2)、求 $f (f (3)) ， f (a^{2} + 1) (a \in R)$ 的值；

(3)、当 $f (x) \geq 2$ 时，求x的取值范围.

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19. 美国对中国芯片的技术封锁激发了中国“芯”的研究热潮.某公司研发的 $A$ ， $B$ 两种芯片都已经获得成功.该公司研发芯片已经耗费资金2千万元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产 $A$ 芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得毛收入0.25千万元；生产 $B$ 芯片的毛收入 $y$ （千万元）与投入的资金 $x$ （千万元）的函数关系为 $y = k x^{a} (x > 0)$ ，其图像如图所示.

(1)、试分别求出生产 $A$ ， $B$ 两种芯片的毛收入 $y$ （千万元）与投入资金 $x$ （千万元）的函数关系式；

(2)、现在公司准备投入40千万元资金同时生产 $A$ ， $B$ 两种芯片，求可以获得的最大利润是多少.

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20.

(1)、已知 $h (x) = a x^{2} + b x + c (a < 0)$ ，证明： $h (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) \geq \frac{h (x_{1}) + h (x_{2})}{2}$ ；

(2)、设 $f (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$ ， $g (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$ ，求证： $g (2 x) = {[g (x)]}^{2} + {[f (x)]}^{2}$ ．

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21. 已知 $a \in R$ ，函数 $f (x) = x | x - a |$ ．

(1)、设 $a = 1$ ，判断函数 $f (x)$ 的奇偶性，请说明理由；

(2)、设 $a \neq 0$ ，函数 $f (x)$ 在区间 $(m ， n)$ 上既有最大值又有最小值，请分别求出m，n的取值范围．（只要写出结果，不需要写出解题过程）

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22. 已知函数 $f (x) = 2 x + \frac{1}{2 x}$ ．

(1)、试判断函数 $f (x)$ 在区间 $(0 ， \frac{1}{2}]$ 上的单调性，并用函数单调性定义证明；

(2)、对任意 $x \in (0 ， \frac{1}{2}]$ 时， $f (x) \geq 2 - m$ 都成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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