江苏省扬州市宝应县2021-2022学年高一上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-08-23 类型：期中考试

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | 0 \leq x \leq 2}$ ， $B = {x | 1 \leq x \leq 3}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${1 ， 2}$ B、 ${1 ， 2 ， 3}$ C、 ${x | 1 \leq x \leq 2}$ D、 ${x | 0 \leq x \leq 3}$

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2. 设 $a \in R$ ，则“ $a > 1$ ”是“ $a^{2} > a$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 函数 $f (x) = \frac{x + 1}{\sqrt{x - 1}} - l n (4 - x^{2})$ 的定义域是（）

A、 $[1 ， 2)$ B、 $(1 ， 2)$ C、 $(- 2 ， 1)$ D、 $(- 2 ， 1]$

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4. 已知关于 $x$ 的不等式 $k x^{2} - 6 k x + k + 8 \geq 0$ 对任意 $x \in R$ 恒成立，则 $k$ 的取值范围是（）

A、 $0 \leq k \leq 1$ B、 $0 < k \leq 1$ C、 $k < 0$ 或 $k > 1$ D、 $k \leq 0$ 或 $k > 1$

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5. 已知x，y都是正数，且 $\frac{2}{x} + \frac{1}{y}$ =1，则x+y的最小值等于（）

A、6 B、4 $\sqrt{2}$ C、3+2 $\sqrt{2}$ D、4+2 $\sqrt{2}$

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6. 我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是 $($ ）

A、 $f (x) = \frac{1}{x^{2} - 1}$ B、 $f (x) = \frac{1}{x^{2} + 1}$ C、 $f (x) = \frac{1}{| x - 1 |}$ D、 $f (x) = \frac{1}{| | x | - 1 |}$

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7. 若 $l g 2 = a$ ， $l g 3 = b$ ，则 $l o g_{24} 5 =$ （）.

A、 $\frac{1 + a}{a + 3 b}$ B、 $\frac{1 + a}{3 a + b}$ C、 $\frac{1 - a}{a + 3 b}$ D、 $\frac{1 - a}{3 a + b}$

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8. 若 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且在 $(- \infty ， 0)$ 上是增函数， $f (- 2) = 0$ ，则 $x \cdot f (x) < 0$ 解集是（）

A、 $(- 2 ， 0) ∪ (0 ， 2)$ B、 $(- \infty ， - 2) ∪ (0 ， 2)$ C、 $(- \infty ， - 2) ∪ (2 ， + \infty)$ D、 $(- 2 ， 0) ∪ (2 ， + \infty)$

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二、多选题

9. 下列运算结果中，一定正确的是 $($ $)$

A、 $a^{3} \cdot a^{4} = a^{7}$ B、 ${(- a^{2})}^{3} = a^{6}$ C、 $\sqrt[8]{a^{8}} = a$ D、 $\sqrt[5]{{(- π)}^{5}} = - π$

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10. 若集合P={x|x²+x﹣6=0}，S={x|ax﹣1=0}，且S⊆P，则实数a的可能取值为（）

A、0 B、 $- \frac{1}{3}$ C、4 D、 $\frac{1}{2}$

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11. 已知幂函数 $f (x) = (m + \frac{9}{5}) x^{m}$ ，则下列结论正确的有（）

A、 $f (- 32) = \frac{1}{16}$ B、 $f (x)$ 的定义域是 $R$ C、 $f (x)$ 是偶函数 D、不等式 $f (x - 1) \geq f (2)$ 的解集是 $[- 1 ， 1) \cup (1 ， 3]$

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12. 下列说法不正确的是（）

A、不等式 $(2 x - 1) (1 - x) < 0$ 的解集为 ${x | \frac{1}{2} < x < 1}$ B、若实数a，b，c满足 $a c^{2} > b c^{2}$ ，则 $a > b$ C、若 $x \in R$ ，则函数 $y = \sqrt{x^{2} + 4} + \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 4}}$ 的最小值为2 D、当 $x \in R$ 时，不等式 $k x^{2} - k x + 1 > 0$ 恒成立，则k的取值范围是 $(0 ， 4)$

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三、填空题

13. 命题“ $\forall x \in R$ ， $x^{2} + 1 < 0$ ”的否定是．

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14. 设f（x）是定义在R上的奇函数，当x>0时，f（x）＝x²＋1，则f（－2）＋f（0）＝.

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15. 若函数 $f (x) = {\begin{array}{l} (3 - a) x - 3 ， & x \leq 7 \\ a x ， & x > 7 \end{array}$ 是定义在R上的增函数，则实数a的取值范围是.

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16. 若正数x，y满足 $x y = x + y + 3$ ，则 $x + y$ 的取值范围是．

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四、解答题

17. 计算：

(1)、 $8^{\frac{2}{3}} - {(- \frac{7}{8})}^{0} + {(\frac{3}{2})}^{- 2} \cdot {(3 \frac{3}{8})}^{\frac{2}{3}} + {[{(- 2)}^{6}]}^{\frac{1}{2}}$ ；

(2)、 $l o g_{3} \sqrt{27} + l g 25 + l g 4 - 9^{l o g_{9} 2}$ ．

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18. 设全集 $U = R$ ，集合 $A = {x | \frac{x - 3}{x + 2} < 0}$ ， $B = {x | x \geq 1}$ ， $C = {x | 2 a \leq x \leq a + 3}$ .

(1)、求 $C_{U} A$ 和 $A \cap B$ ；

(2)、若 $A \cup C = A$ ，求实数a的取值范围.

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19. 设命题 $p ：$ $\forall x \in [- 2 ， 1]$ ， $x^{2} - a \geq 0$ ；命题 $q ：$ $\exists x_{0} \in R$ ，使 $x_{0}^{2} + 2 a x_{0} - (a - 2) = 0$ ．

(1)、若命题 $p$ 为真命题，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、若命题 $p$ ， $q$ 一真一假，求实数 $a$ 的取值范围．

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20. 中国“一带一路”倡议构思提出后，某科技企业为抓住“一带一路”带来的机遇，决定开发生产一款大型电子设备，生产这种设备的年固定成本为500万元，每生产 $x$ 台，需另投入成本 $C (x)$ (万元)，当年产量不足80台时， $C (x) = \frac{1}{2} x^{2} + 40 x$ (万元)；当年产量不小于80台时 $C (x) = 101 x + \frac{8100}{x} - 2180$ (万元)，若每台设备售价为100万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完.

(1)、求年利润 $y$ (万元)关于年产量 $x$ （台）的函数关系式；

(2)、年产量为多少台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大？

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{a x + b}{x^{2} + 1}$ 是 $(- 1 ， 1)$ 上的奇函数，且 $f (\frac{1}{2}) = 5$ ．

(1)、求实数 $a ， b$ 的值；

(2)、判断并证明函数 $f (x)$ 在 $(- 1 ， 1)$ 上单调性；

(3)、解关于 $t$ 的不等式 $f (t - 1) + f (t) < 0$ ．

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22. 已知二次函数 $y = f (x)$ 满足 $f (0) = 1$ ，且有 $f (x + 1) = f (x) + 2 x$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若函数 $g (x) = (t + 1) x ， t \in R$ ，函数 $h (x) = g (x) + f (x)$ .
①求 $h (x)$ 在区间 $[- 1 ， 1]$ 上的最小值；
②若对于任意的 $x \in [- 1 ， 1]$ ，使得 $h (x) \geq t$ 恒成立，求实数 $t$ 的取值范围.

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