江苏省盐城市五校2021-2022学年高一上学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2022-08-23 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4}$ ， $B = {y | y = 2 x ， x \in A}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${0 ， 2}$ B、 ${0 ， 2 ， 4}$ C、 ${0 ， 4}$ D、 ${0 ， 1 ， 2 ， 4}$

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2. 命题“ $\exists x_{0} \in R$ ， $f (x_{0}) < 0$ ”的否定是（）

A、 $\exists x_{0} \notin R$ ， $f (x_{0}) \geq 0$ B、 $\forall x \notin R$ ， $f (x) \geq 0$ C、 $\forall x \in R$ ， $f (x) \geq 0$ D、 $\forall x \in R$ ， $f (x) < 0$

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3. 下列各组函数表示同一个函数的是（）

A、 $f (x) = \sqrt{x^{2}}$ ， $g (x) = {(\sqrt{x})}^{2}$ B、 $f (x) = 1$ ， $g (x) = x^{0}$ C、 $f (x) = {\begin{array}{l} x ， x \geq 0 \\ - x ， x < 0 \end{array}$ ， $g (t) = | t |$ D、 $f (x) = x + 1$ ， $g (x) = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$

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4. 已知 $l o g_{3} 2 = a$ ， $3^{b} = 5$ ，则 $l o g_{15} \sqrt{30}$ 用 $a$ ， $b$ 表示为（）

A、 $\frac{1 + a + b}{1 + b}$ B、 $\frac{1 + a + b}{2 (1 + b)}$ C、 $\frac{a + b}{1 + b}$ D、 $\frac{a + b}{2 (1 + b)}$

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5. 某工厂过去的年产量为 $a$ ，技术革新后，第一年的年产量增长率为 $p (p > 0)$ ，第二年的年产量增长率为 $q (q > 0, p \neq q)$ ，这两年的年产量平均增长率为 $x$ ，则（）

A、 $x = \frac{p + q}{2}$ B、 $x = \sqrt{p q}$ C、 $x > \frac{p + q}{2}$ D、 $x < \frac{p + q}{2}$

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6. 函数 $f (x) = {(1 - x)}^{- \frac{3}{4}} + {(2 x - 1)}^{0}$ 的定义域是（）

A、 $(- \infty ， 1]$ B、 $(- \infty ， \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2} ， 1)$ C、 $(- \infty ， \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2} ， 1]$ D、 $(- \infty ， \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2} ， + \infty)$

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7. 已知 $p$ ： $\frac{1}{a} < 1$ ， $q$ ： $a > 1$ ，则 $p$ 是 $q$ 的（）条件

A、充分不必要 B、必要不充分 C、既不充分也不必要 D、充分必要

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8. 某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润 $y$ （单位：10万元）与营运年数 $x (x \in N^{*})$ 为二次函数关系（如图所示），则每辆客车营运（）年时，其营运的年平均利润 $\frac{y}{x}$ 最大.

A、3 B、4 C、5 D、6

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二、多选题

9. 给出下列四个对应，其中构成函数的是（）

A、 B、 C、 D、

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10. 若a＞0，a≠1，则下列说法不正确的是（）

A、若logaM＝logaN，则M＝N B、若M＝N，则logaM＝logaN C、若logaM²＝logaN² ，则M＝N D、若M＝N，则logaM²＝logaN²

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11. 已知集合 $P = {x | - 2 < x \leq 5}$ ， $Q = {x | k - 1 \leq x \leq k + 1}$ ，当 $k \in M$ 时， $P ∩ (∁_{R} Q) = P$ 恒成立，则集合 $M$ 可以为（）

A、 $(- \infty ， - 3]$ B、 $[6 ， + \infty)$ C、 ${8 ， - 8}$ D、 $(- \infty ， - 3] \cup (6 ， + \infty)$

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12. 已知函数 $f (x)$ 满足 $f (\frac{1}{x}) = \frac{2 x + 1}{x + 1}$ ，则关于函数 $f (x)$ 正确的说法是（）

A、 $f (x)$ 的定义域为 ${x | x \neq - 1}$ B、 $f (x)$ 值域为 ${y | y \neq 1 且 y \neq 2}$ C、 $f (2) = \frac{4}{3}$ D、不等式 $f (x) > 2$ 的解集为 $(- 1 ， 0)$

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三、填空题

13. 函数 $f (x) = - 4 x^{2} - 4 x - 1$ 的零点是.

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14. 设a，b，c为实数，不等式 $a x^{2} + b x + c > 0$ 的解集是 $(- \infty ， 1) \cup (3 ， + \infty)$ ，则 $a ： b ： c =$ .

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15. 已知 $a + a^{- 1} = 4$ ，则 $a^{\frac{1}{2}} - a^{- \frac{1}{2}}$ =.

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16. 若 $a$ ， $b$ 为正实数， $m ， n \in N^{*}$ ，且 $a + 3 b = 2$ ， $\frac{4}{a} + \frac{1}{n b + m} \geq 3$ ，则 $m n =$ .

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四、解答题

17. 计算：

(1)、 $\sqrt[3]{(- 8)^{3}} - (\frac{1}{2})^{0} + 0.2 5^{\frac{1}{2}} \times (\frac{- \sqrt{2}}{2})^{- 4}$ ；

(2)、 $l o g_{3} \sqrt{27} + l g 25 + l g 4 - 7^{l o g_{7} 2} + l o g_{3} 8 \cdot l o g_{4} \sqrt[3]{3}$ .

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18. 已知函数 $f (x) = \frac{l o g_{2} (4 - x)}{\sqrt{2 x + 1}}$ 的定义域为集合A，关于x的不等式 $(x - m^{2}) (x - 2 m + 1) \leq 0$ 的解集为B．

(1)、当m＝2时，求 $(∁_{R} A) ∪ B$ ；

(2)、若x∈A是x∈B的充分条件，求实数m的取值范围.

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19. 已知函数 $y = | x | (x - 4)$ .

(1)、将函数 $y = | x | (x - 4)$ 写出分段函数的形式，并画出图象.

(2)、利用图象回答：当 $k$ 为何值时，方程 $| x | \cdot (x - 4) = k$ 有一解？有两解？有三解？

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20. 数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养.因为运算，数的威力无限；没有运算，数就只是一个符号.对数运算与指数幂运算是两类重要的运算.

(1)、对数的运算性质降低了运算的级别，简化了运算，在数学发展史上是伟大的成就.对数运算性质的推导有很多方法.请同学们根据所学知识推导如下的对数运算性质：如果 $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ， $M > 0$ ，那么 $\log_{a} M^{n} = n \log_{a} M (n \in R)$ ；

(2)、请你运用上述对数运算性质计算 $\frac{\lg 3}{\lg 4} (\frac{\lg 8}{\lg 9} + \frac{\lg 16}{\lg 27})$ 的值；

(3)、因为 $2^{10} = 1024 \in (10^{3} ， 10^{4})$ ，所以 $2^{10}$ 的位数为4(一个自然数数位的个数，叫做位数).请你运用所学过的对数运算的知识，判断 $2019^{2020}$ 的位数.(注 $\lg 2019 \approx 3.305$ )

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21. 某校课外兴趣小组的学生为了给学校边的一口被污染的池塘治污，他们通过实验后决定在池塘中投放一种能与水中的污染物质发生化学反应的药剂．已知每投放 $m (1 \leq m \leq 4 ，且 m \in R)$ 个单位的药剂，它在水中释放的浓度（克/升）随着时间（天）变化的函数关系式近似为 $y = m \cdot f (x)$ ，其中 $f (x) = {\begin{array}{l} \frac{16}{8 - x} ， 0 \leq x \leq 4 ， \\ 5 - \frac{1}{2} x ， 4 < x \leq 10 ． \end{array}$ 若多次投放，则某一时刻水中的药剂浓度为各次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当水中药剂的浓度不低于4（克/升）时，它才能起到有效治污的作用．
(Ⅰ)若一次投放4个单位的药剂，则有效治污时间可达几天？

(Ⅱ)若第一次投放2个单位的药剂，6天后再投放m个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效治污，试求m的最小值．

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22. 已知二次函数 $f (x) = a x^{2} + b x + c (a ， b ， c \in R ， a \neq 0)$ 满足：①当 $x \in R$ 时， $f (x - 4) = f (2 - x)$ 且 $f (x) \geq x$ ；②当 $x \in (0 ， 2)$ 时， $f (x) \leq {(\frac{x + 1}{2})}^{2}$ ；③ $f (x)$ 在 $R$ 上的最小值为0.

(1)、求a，b，c的值；

(2)、试求最大的 $m (m > 1)$ ，使得存在 $t \in R$ ，只要 $x \in [1 ， m]$ ，都有 $f (x + t) \leq x$ .

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