江苏省淮安市淮安区2021-2022学年高一上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-08-23 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $M = {1, 2, 3}$ ， $N = {2, 4, 5}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $\emptyset$ B、{2} C、 ${1, 2, 3, 4, 5}$ D、 $(1, 5)$

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2. 函数 $y = \frac{\sqrt{x + 3}}{2 x}$ 的定义域是（）

A、[-3，+∞） B、（0，+∞） C、（-3，+∞） D、 $[- 3 ， 0) ∪ (0 ， + \infty)$

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3. “ $\exists x \in R$ ， $x + | x | < 0$ ”的否定是（）

A、 $\exists x \in R$ ， $x + | x | \geq 0$ B、 $\forall x \in R$ ， $x + | x | \geq 0$ C、 $\forall x \in R$ ， $x + | x | < 0$ D、 $\exists x \in R$ ， $x + | x | \leq 0$

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4. 若正数 $a ， b$ 满足 $a b = 1$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{4}{b}$ 的最小值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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5. “ $x > 7$ ”是“ $x > 5$ ”成立的是（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 若关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} + b x + 2 > 0$ 的解集为 ${x | - 1 < x < 2}$ ，则 $a - b =$ （）

A、0 B、2 C、-2 D、2或-2

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7. 下列各组函数中，表示同一函数的是（）

A、 $y = \frac{x}{x}$ 与 $y = x^{0}$ B、 $y = | x |$ 与 $y = \sqrt[3]{x^{3}}$ C、 $y = x$ 与 $y = \sqrt{x^{2}}$ D、 $y = \sqrt{x + 2} \cdot \sqrt{x - 2}$ 与 $y = \sqrt{x^{2} - 4}$

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8. 已知 $x$ ， $y$ 满足 $x + y = 2$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $x y$ 的最小值为1 B、 $x^{2} + y^{2}$ 的最小值为2 C、 $x + \frac{4}{x}$ 的最小值为4 D、 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ 的最小值为2

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二、多选题

9. 设全集 $U = {0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4}$ ，集合 $A = {0 ， 1 ， 4}$ ， $B = {0 ， 1 ， 3}$ ，则（）

A、 $A ∩ B = {0 ， 1}$ B、 $∁_{U} B = {4}$ C、 $A ∪ B = {0 ， 1 ， 3 ， 4}$ D、集合 $A$ 的真子集个数为7

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10. 对于任意实数a，b，c，d，有以下四个命题，其中正确的是（）

A、若 $a > b$ ， $c > d$ ，则 $a c > b d$ B、若 $a c^{2} > b c^{2}$ ，则 $a > b$ C、若 $a > b$ ，则 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ D、若 $a > b$ ， $c > d$ ，则 $a - d > b - c$

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11. 中国清朝数学家李善兰在 $1859$ 年翻译 $《$ 代数学 $》$ 中首次将“ $f u n c t i o n$ ”译做：“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数” $.1930$ 年美国人给出了我们课本中所学的集合论的函数定义，已知集合 $M = {- 1 ， 1 ， 2 ， 4}$ ， $N = {1 ， 2 ， 4 ， 16}$ ，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从 $M$ 到 $N$ 的函数的是（）

A、 $y = 2 x$ B、 $y = x + 2$ C、 $y = 2^{| x |}$ D、 $y = x^{2}$

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12. 已知函数 $y = x + \frac{4}{x} + 1 (x < 0)$ ，则该函数（）

A、最小值为5 B、最大值为－3 C、没有最大值 D、没有最小值

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三、填空题

13. 集合 $A = {3 ， 1} ， B = {m^{2} + 2 m ， 1}$ ，且 $A = B$ ，则实数m=.

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14. 若 $l o g_{2} x = - 3$ ，则 $x =$ .

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15. 命题“ $\forall x \in R$ ， $x^{2} - 2 a x + 1 > 0$ ”是假命题，则实数 $a$ 的取值范围是．

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16. 中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形的三条边长分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，则三角形的面积 $S$ 可由公式 $S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ 求得，其中 $p$ 为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足 $a = 4 ， b + c = 6$ ，则此三角形面积的最大值为.

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四、解答题

17. 求值：

(1)、 ${(\frac{16}{81})}^{- \frac{3}{4}} - 0 . 5^{- \frac{1}{2}} + π^{0} - \sqrt{{(\sqrt{2} - 3)}^{2}}$ ；

(2)、 $2 l g 5 + l o g_{2} \frac{1}{8} + l g 4$ .

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18. 已知集合 $A = {x | 2 \leq x \leq 6} ， B = {x | 3 x - 7 \geq 8 - 2 x}$ .

(1)、求 $A ∩ B$ ， $∁_{R} (A ∩ B)$ ；

(2)、若 $C = {x | a - 4 < x \leq a + 4}$ ，且A $\subseteq$ C，求a的取值范围.

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19. 已知正数a，b满足a+3b=2

(1)、求ab的最大值，写出取得最大值时a，b的值；

(2)、求 $\frac{1}{a} + \frac{3}{b}$ 的最小值，且写出取得最小值时a，b的值.

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20. 设条件 $p$ ：实数 $x$ 满足 $x^{2} - 4 a x + 3 a^{2} < 0$ ， $(a > 0)$ .条件 $q$ ：实数 $x$ 满足 $6 x < x^{2} + 8$ ；

(1)、求出条件 $q$ 的解集.

(2)、若 $p$ 是 $q$ 的充分不必要条件，求实数 $a$ 的取值范围.

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21. 中国“一带一路”倡议构思提出后，某科技企业为抓住“一带一路”带来的机遇，决定开发生产一款大型电子设备，生产这种设备的年固定成本为500万元，每生产 $x$ 台，需另投入成本 $C (x)$ (万元)，当年产量不足80台时， $C (x) = \frac{1}{2} x^{2} + 40 x$ (万元)；当年产量不小于80台时 $C (x) = 101 x + \frac{8100}{x} - 2180$ (万元)，若每台设备售价为100万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完.

(1)、求年利润 $y$ (万元)关于年产量 $x$ （台）的函数关系式；

(2)、年产量为多少台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大？

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22. 在①函数的最小值为 $1$ ；②函数图象过点 $(- 2 ， 2)$ ；③函数的图象与 $y$ 轴交点的纵坐标为 $2$ .这三个条件中任选一个，将下面问题补充完整，并求解.
已知二次函数 $f (x) = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ ，满足 $f (x + 1) - f (x) = 2 x + 3$ ，且满足____(填所选条件的序号).

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、设 $g (x) = f (x) - 2 t x$ ，当 $x \in [1 ， + \infty)$ 时，函数 $g (x)$ 的最小值为-2，求实数 $t$ 的值.

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