江苏省南京市鼓楼区2021-2022学年七年级下学期期中数学试卷

试卷更新日期：2022-08-23 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列图形中，可以由其中一个图形通过平移得到的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 下列运算正确的是（）

A、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{6}$ B、 ${(a^{2})}^{3} = a^{5}$ C、 ${(2 a^{2})}^{3} = 6 a^{6}$ D、 $a^{3} \div a^{2} = a$ （ $a \neq 0$ ）

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3. 下列从左到右的变形，属于因式分解的是（）

A、 $(x + 3) (x - 3) = x^{2} - 9$ B、 $x^{2} - 2 x - 1 = x (x - 2) - 1$ C、 $x^{2} - 2 x + 1 = {(x - 1)}^{2}$ D、 $8 a^{2} b^{3} = 2 a^{2} \cdot 4 b^{3}$

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4. 已知一个n边形的每个外角都等于 $60 °$ ，则n的值是 $($ $)$

A、5 B、6 C、7 D、8

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5. 如图， $A F / / B E / / C D$ ，若 $∠ 1 = 40 °$ ， $∠ 2 = 50 °$ ， $∠ 3 = 120 °$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $∠ F = 100 °$ B、 $∠ C = 140 °$ C、 $∠ A = 130 °$ D、 $∠ D = 60 °$

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6. 如图，四边形 $A B C D$ 中， $∠ A D C = ∠ A B C = 90 °$ ，与 $∠ A D C$ 、 $∠ A B C$ 相邻的两外角平分线交于点E，若 $∠ A = 50 °$ ，则 $∠ E$ 的度数为（）

A、45° B、60° C、40° D、50°

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二、填空题

7. 因式分解 $12 m^{3} n - 9 m^{2} n^{2}$ 的结果是．

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8. 计算：（﹣4）²⁰×0.25¹⁸＝．

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9. 如图，木工用角尺画出 $C D / / E F$ ，其依据是．

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10. 如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠1＝∠2，则∠APB＝°．

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11. 如图，已知 $∠ B = 35 °$ ，则 $∠ A + ∠ D + ∠ C + ∠ G =$ ．

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12. 若 $x + y - 2 = 0$ ，则代数式 $x^{2} + 4 y - y^{2}$ 的值等于．

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13. 如图，∠ABC=100°， $M N ∥ B C$ ，动点P在射线BA上从点B开始沿BA方向运动，连接MP，当∠PMN=120°时，∠BPM的度数为．

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14. 代数式 $a^{a} + a^{a} + \cdot \cdot \cdot + a^{a}$ （ $a$ 个 $a^{a}$ 相加， $a$ 为正整数）化简的结果是．

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15. 如图是 A 型卡片（边长a的正方形）、B 型卡片（长为 a、宽为 b的长方形）、C 型卡片（边长为 b的正方形）．现有 4张 A卡片，11张 B卡片，7张 C卡片，选用它们无缝隙、无重叠地拼正方形或长方形，下列说法正确的是．（只填序号）
①可拼成边长为 $a + 2 b$ 的正方形；
②可拼成边长为 $2 a + 3 b$ 的正方形；
③可拼成长、宽分别为 $2 a + 4 b$ 、 $2 a + b$ 的长方形；
④用所有卡片可拼成一个大长方形．

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16. 如图，△ABC的角平分线CD、BE相交于F，∠A＝90°，EG∥BC，且CG⊥EG于G，下列结论：①∠CEG＝2∠DCB；②∠DFB＝ $\frac{1}{2}$ ∠CGE；③∠ADC＝∠GCD；④CA平分∠BCG.其中正确的结论是.

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三、解答题

17. 计算：

(1)、 ${(2 - π)}^{0} + {(\frac{1}{3})}^{- 2} + {(- 2)}^{3}$

(2)、 ${(2 a^{n} b^{3 n})}^{2} + {(a^{2} b^{6})}^{n}$

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18. 把下列各式分解因式；

(1)、 $3 a^{2} b - 6 a b^{2} + 9 a b$ ；

(2)、 ${(a^{2} + 1)}^{2} - 4 a^{2}$ ．

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19. 先化简，再求值： ${(a + 3)}^{2} - (a + 1) (a - 1) + 2 (2 a + 4)$ ，其中 $a = - \frac{1}{2}$ ．

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20. 如图，方格纸中每一个小方格的边长为1个单位，△ABC的顶点都在方格纸的格点上．

(1)、画出将△ABC向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到的△A₁B₁C₁（点A₁、B₁、C₁分别是点A、B、C的对应点）；

(2)、连接AA₁、BB₁ ，则线段AA₁、BB₁的位置关系为；

(3)、试在边AC上确定点P，连接BP，使BP平分△ABC的面积（要求：在图中画出线段BP）．

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21. 如图，四边形 $A B C D$ 中， $A C ⊥ A D$ ，作 $C E ⊥ A B$ 于点 $E$ ，设 $B D$ 分别与 $A C$ 、 $C E$ 交于点 $F$ 、 $G$ ．若 $B D$ 平分 $∠ A B C$ ，且 $∠ 2 = ∠ 3$ ，求证： $∠ C F G = ∠ C G F$ ．

完成下面的证明过程：

证明：∵ $A C ⊥ A D$ ， ∴ $∠ C A D = 90 °$ ，

∵ $B D$ 平分 $∠ A B C$ ， ∴ $∠ 1 = ∠ 2$ ，

$∵$ $∠ 2 = ∠ 3$ ，

∴ （等量代换），

∴ $A D / / B C$ （），

∴ $= ∠ C A D = 90 °$ （两直线平行，内错角相等），

∴ $∠ 1 + ∠ C F G = 90 °$ （），

∵ $C E ⊥ A B$ ， ∴ $∠ 2 + ∠ B G E = 90 °$

∴ $∠ C F G = ∠ B G E$ （），

又∵ ，

∴ $∠ C F G = ∠ C G F$ （等量代换）．

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22. 有些同学会想当然地认为 $(x - y)^{3} = x^{3} - y^{3}$ ．

(1)、举出反例说明该式不一定成立；

(2)、计算 $(x - y)^{3}$ ；

(3)、直接写出当 $x$ 、 $y$ 满足什么条件，该式成立．

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23. 如图，在△ABC中，AD是角平分线，E为边AB上一点，连接DE，∠EAD＝∠EDA，过点E作EF⊥BC垂足为F．

(1)、DE与AC平行吗？请说明理由；

(2)、若∠BAC＝95°，∠B＝35°，求∠DEF的度数．

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24. 如图1，是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线剪开分成四块相同的小长方形，然后拼成一个正方形（如图2）．

(1)、用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积：
方法1：S_阴影＝．

方法2：S_阴影＝．

(2)、写出（a+b）² ，（a﹣b）² ， ab这三个代数式之间的等量关系为．

(3)、①若（2m+n）²＝14，（2m﹣n）²＝6，则mn的值为 ▲ ．
②已知x+y＝10，xy＝16，求x﹣y的值．

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25. 如图，已知直线AB∥CD，直线EF分别与AB，CD交于O点，G点．P点是直线EF上的一个动点．

(1)、如图1，当 $P$ 运动至 $A B$ 与 $C D$ 之间时，过点 $P$ 作 $P M ⊥ P N$ 分别交 $A B$ ， $C D$ 于 $M$ ， $N$ ．若 $∠ B M P = 15 °$ ，则 $∠ P N G =$ 度．

(2)、如图2，当 $P$ 运动至直线 $A B$ 上方时，过点 $P$ 作 $P M ⊥ P N$ 分别交 $A B$ ， $C D$ 于 $M$ 、N．作 $∠ E P M$ 的角平分线并反向延长交 $A B$ 于点 $T$ ，交 $C D$ 于点 $Q$ ，作 $∠ N P F$ 的角平分线与 $C D$ 交于点 $H$ ，若 $∠ P H C = 72 °$ ，求 $∠ B T Q$ 的度数．

(3)、过点 $P$ 作 $P M ⊥ P N$ 分别交 $A B$ ， $C D$ 于 $M$ ， $N$ ，设 $P N$ 与 $A B$ 交于点 $K$ ，点 $O$ 在 $M$ 、 $K$ 之间且MO： $M O ： K O = 3 ： 1$ ， $S_{△ P O K} = 8$ ．沿直线 $E F$ 方向平移直线 $C D$ ，并保持 $C D$ 始终在 $A B$ 下方，使得 $S_{△ M O G} = 4$ ．连接 $M G$ 、 $M N$ 、 $K G$ ．在备用图中画出相关图形，并直接写出 $△ M G N$ 的面积．

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26. 阅读下面材料：小亮遇到这样问题：如图1，已知 $A B ∥ C D$ ， EOF是直线AB、CD间的一条折线．判断 $∠ C F O$ 、 $∠ B E O$ 、 $∠ D F O$ 三个角之间的数量关系．小亮通过思考发现：过点O作 $O P ∥ A B$ ，通过构造内错角，可使问题得到解决．

(1)、请回答： $∠ E O F$ 、 $∠ B E O$ 、 $∠ D F O$ 三个角之间的数量关系是．

(2)、如图2，将 $△ A B C$ 沿BA方向平移到 $△ D E F$ （B、 $D$ 、E共线）， $∠ B = 50 °$ ， AC与DF相交于点G，GP、EP分别平分 $∠ C G F$ 、 $∠ F E A$ 相交于点P，求 $∠ P$ 的度数；

(3)、如图3，直线 $m ∥ n$ ，点B、F在直线m上，点E、 $C$ 在直线n上，连接 $F E$ 并延长至点A，连接BA、BC和CA，做 $∠ C B F$ 和 $∠ C E D$ 的平分线交于点M，若 $∠ A D C = α$ ，则 $∠ M =$ （直接用含 $α$ 的式子表示）．

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