河南省名校大联考2021–2022学年高一上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-08-22 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 2 x - 3 < 0}$ ， $B = {- 1 ， 0 ， 3}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 ${- 1 ， 0}$ C、{0} D、 ${- 1 ， 0 ， 3}$

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2. 函数 $f (x) = x - \frac{2}{x} (x \in [1 ， 2])$ 的最大值为（）

A、-1 B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、2

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3. 已知 $p ： x > 1$ ， $q ： x^{2} - x > 0$ ，则 $p$ 是 $q$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 已知奇函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} + 4 ， x < 0 \\ g (x) ， x > 0 \end{array}$ ，则 $f (f (- 1)) - g (3) =$ （）

A、-9 B、-8 C、-16 D、9

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5. 若 $a < b < - 1$ ，则下列不等式成立的是（）

A、 $b + \frac{1}{b} > - 2$ B、 $a^{\frac{1}{3}} > b^{\frac{1}{3}}$ C、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ D、 ${(a - 1)}^{2} > {(b - 1)}^{2}$

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6. 已知函数 $f (x) = m x^{2} + n x + 2 (m ， n \in R)$ 是定义在 $[2 m ， m + 3]$ 上的偶函数，则函数 $g (x) = f (x) + 2 x$ 在 $[- 2 ， 2]$ 上的最小值为（）

A、-6 B、-2 C、3 D、0

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7. 设 $f (x)$ 为一次函数，且 $f (f (x)) = 4 x - 1$ ．若 $f (3) = - 5$ ，则 $f (x)$ 的解析式为（）

A、 $f (x) = 2 x - 11$ 或 $f (x) = - 2 x + 1$ B、 $f (x) = - 2 x + 1$ C、 $f (x) = 2 x - 11$ D、 $f (x) = 2 x + 1$

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8. 函数 $f (x) = \frac{2 x}{{(x - 1)}^{2} + 2 x}$ 的部分图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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9. 已知函数 $y = f (2 x - 1)$ 的定义域是 $[- 2 ， 3]$ ，则 $y = \frac{f (x)}{\sqrt{x + 2}}$ 的定义域是（）

A、 $[- 2 ， 5]$ B、 $(- 2 ， 3]$ C、 $[- 1 ， 3]$ D、 $(- 2 ， 5]$

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10. 某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，则每天可销售100件．现准备采用提高售价的方法来增加利润，已知这种商品每件的售价每提高1元，每天的销量就要减少10件．要使该商场每天销售该商品所得的利润最大，则该商品每件的售价为（）

A、12元 B、14元 C、15元 D、16元

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11. 已知 $p ： - x^{2} + 7 x + 8 > 0$ ； $q ： x^{2} - 2 x + 1 - m^{2} \leq 0$ （其中 $m > 0$ ）．若 $p$ 是 $q$ 的必要不充分条件，则实数 $m$ 的取值范围为（）

A、 $(0 ， 8)$ B、 $(0 ， 1)$ C、 $[2 ， 8]$ D、 $(0 ， 2)$

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12. 已知二次函数 $f (x) = 3 x^{2} + b x + c (b ， c \in R)$ 的图象的对称轴在 $y$ 轴右侧，且不等式 $f (x) < 0$ 的解集为 $(- c - \frac{2 \sqrt{3}}{3} ， - c + \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ ，若函数 $y = f (x)$ 在 $[0 ， a]$ 上的最大值为 $2$ ，则实数 $a =$ （）

A、 $1 + \sqrt{2}$ B、2 C、 $\sqrt{2}$ D、 $1$

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二、填空题

13. 已知幂函数 $f (x)$ 的图象过点 $(3 ， \sqrt[3]{3})$ 和 $(m ， 2)$ ，则实数 $m =$ ．

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14. 已知全称量词命题“ $\forall x \in$ R， $x^{2} + (a - 2) x + \frac{1}{4} \geq 0$ ”是真命题，则实数 $a$ 的取值范围是．

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15. 不等式 $\frac{3 x + 5}{x - 1} > x$ 的解集是．

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16. 已知 $a$ 、 $b \in R$ ，若不等式 $a x^{2} - x + b < 0$ 的解集为 $A = {x | \frac{1}{2} < x < 1}$ ，不等式 $a x^{2} + b x - 1 \leq 0$ 的解集为 $B$ ，则 $(∁_{R} A) ∩ B =$ ．

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三、解答题

17. 已知全集 $U = {x \in N | 0 < x < 5}$ ，集合 $A = {1 ， 2 ， m^{2}}$ ， $B = {x | x^{2} - 5 x + 4 = 0}$ ．

(1)、求 $∁_{U} B$ ；

(2)、若 $a^{2} + 1 \in ∁_{U} B$ 且 $a \in U$ ，求实数 $a$ 的值；

(3)、设集合 $C = A ∩ (∁_{U} B)$ ，若 $C$ 的真子集共有3个，求实数 $m$ 的值．

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18. 已知命题“ $\exists x \in {x | - 1 \leq x \leq 1}$ ，使等式 $x^{2} - 2 x - m = 0$ 成立”是真命题．

(1)、求实数 $m$ 的取值集合 $A$ ；

(2)、设关于 $x$ 的不等式 $x^{2} - (4 a + 2) x + 3 a^{2} + 6 a < 0$ 的解集为B，若B⫋A，求实数 $a$ 的取值范围．

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19. 已知函数 $f (x) = \frac{x}{x^{2} + (a^{2} - 2 a - 3) x + b}$ 是奇函数，且函数 $g (x) = x^{a}$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上单调递增， $a$ 、 $b \in R$ ．

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、当 $b = 1$ 时，根据定义证明 $f (x)$ 在 $[1 ， + \infty)$ 上是减函数．

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20. 某地为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念，对一矩形池塘 $A B C D$ （如图所示）进行污水治理并扩建，对于扩建后的矩形池塘 $A M P N$ ，要求 $B$ 点在 $A M$ 上， $D$ 点在 $A N$ 上，且对角线 $M N$ 过 $C$ 点，已知 $A B = 20$ 米， $A D = 30$ 米，扩建后 $A N \in [50 ， 120]$ （米），设 $\frac{D C}{A M} = k$ ，矩形池塘 $A M P N$ 的面积为 $S$ 平方米．

(1)、求 $S$ 关于 $k$ 的函数关系式，并写出 $k$ 的取值范围；

(2)、求 $S$ 的最大值和最小值．

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21. 已知 $x$ 、 $y$ 、 $z$ 都是正数．

(1)、求证： $\frac{x - y}{y z} + \frac{y - z}{z x} + \frac{z - x}{x y} \geq 0$ ；

(2)、若 $\frac{x}{y^{2}} + \frac{y}{x^{2}} \geq (m^{2} - 2 m - 2) (\frac{1}{x} + \frac{1}{y})$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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22. 已知二次函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 1) = f (1 - x)$ 且 $f (0) = 3$ ， $f (1) = 2$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式．

(2)、设函数 $g (x) = f (x) - 2 (m - 1) x$ ， $m \in R$ ．
(ⅰ)若 $g (x)$ 在 $[- 1 ， 3]$ 上具有单调性，求 $m$ 的取值范围；
(ⅱ)讨论 $g (x)$ 在 $[- 1 ， 1]$ 上的最小值．

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