河北省唐山市滦南县2021-2022学年高一上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-08-22 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {1 ， 3 ， \sqrt{m}}$ ， $B = {1 ， m}$ ，若 $B \subseteq A$ ，则 $m =$ （）

A、1 B、0或1或3 C、0或3 D、1或3

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2. 已知集合U={1，2，3，4，5，6}，M={2，3，5}，N={4，6}，则（∁_UM）∩N=（）

A、{4，6} B、{1，4，6} C、∅ D、{2，3，4，5，6}

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3. 已知命题 $p : \forall x < 2, x^{3} - 8 < 0$ ，那么 $\neg p$ 是（）

A、 $\exists x \geq 2, x^{3} - 8 \geq 0$ B、 $\forall x \leq 2, x^{3} - 8 > 0$ C、 $\forall x > 2, x^{3} - 8 > 0$ D、 $\exists x < 2, x^{3} - 8 \geq 0$

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4. 已知 $x, y \in R$ ，则“ $x + y \leq 2$ ”是“ $x \leq 1$ 且 $y \leq 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 已知 $a, b \in R^{+}$ ， $a + 2 b = 1$ ，求 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值为（）

A、 $3 + 2 \sqrt{2}$ B、 $3 - 2 \sqrt{2}$ C、 $4 \sqrt{2}$ D、4

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6. 我国著名数学家华岁庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数 $f (x) = \frac{3 x}{1 - x^{2}}$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 已知定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ 在 $(- \infty, 0]$ 上单调递增，且满足 $f (2) = 1$ ，则不等式 $f (x^{2} + 3 x) + 1 < 0$ 的解集为（）．

A、 $(- \infty, - 2) \cup (- 1, + \infty)$ B、 $(1, 2)$ C、 $(- \infty, 1) \cup (2, + \infty)$ D、 $(- 2, - 1)$

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8. 已知奇函数 $f (x)$ ，当 $x > 0$ 时， $f (x) = x^{2} - \frac{1}{x}$ ，则当 $x < 0$ 时， $f (x) =$ （）

A、 $x^{2} - \frac{1}{x}$ B、 $x^{2} + \frac{1}{x}$ C、 $- x^{2} - \frac{1}{x}$ D、 $- x^{2} + \frac{1}{x}$

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二、多选题

9. 下列四个条件，能推出 $\frac{1}{a}$ ＜ $\frac{1}{b}$ 成立的有（）

A、b＞0＞a B、0＞a＞b C、a＞0＞b D、a＞b＞0

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10. 已知 $a > b$ ，若 $a x^{2} + 2 x + b \geq 0$ 对一切实数 $x$ 恒成立，且一元二次方程 $a x^{2} + 2 x + b = 0$ 有实数根﹐则（）

A、 $a > 0$ B、 $a < 0$ C、 $\frac{a - b}{a^{2} + b^{2}} \leq \frac{\sqrt{2}}{6}$ D、 $\frac{a - b}{a^{2} + b^{2}} \leq \frac{\sqrt{2}}{4}$

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11. 已知函数 $f (x) = x^{α}$ 图像经过点(4，2)，则下列命题正确的有（）

A、函数为增函数 B、函数为偶函数 C、若 $x > 1$ ，则 $f (x) > 1$ D、若 $0 < x_{1} < x_{2}$ ，则 $\frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2} < f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2})$

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12. 定义在R上的偶函数f(x)，当x∈[1，2]时，f(x)<0且f(x)为增函数，下列四个结论其中正确的结论是（）

A、当x∈[-2，-1]时，有f（x）<0 B、f（x）在[-2，-1]上单调递增 C、f（-x）在[-2，-1]上单调递减 D、 $| f (x) |$ 在[-2，-1]上单调递减

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三、填空题

13. 已知集合 $A = {- 1 ， 0 ， 1} ， B = {a^{2} ， 1}$ ，若 $B \subseteq A$ ，则实数 $a$ 的值为.

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14. 若 $\forall x \in (0 ， + \infty)$ ， $\frac{4 x^{2} + 1}{x} \geq m$ ，则实数 $m$ 的取值范围为.

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15. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x + 2 ， x < a \\ x^{2} ， x \geq a \end{array}$ ，若函数 $f (x)$ 在 $R$ 上是单调的，则实数 $a$ 的取值范围是.

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16. 若函数 $f (x)$ 同时满足：(1)对于定义域上的任意 $x$ ，恒有 $f (x) + f (- x) = 0$ ；(2)对于定义域上的任意 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，当 $x_{1} \neq x_{2}$ 时，恒有， $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < 0$ 则称函数 $f (x)$ 为“理想函数”．给出下列四个函数中：① $f (x) = \frac{1}{x}$ ； ② $f (x) = x^{2}$ ； ③ $f (x) = \frac{2 x - 1}{2 x + 1}$ ；④ $f (x) = {\begin{array}{l} - x^{2}, x \geq 0 \\ x^{2}, x < 0 \end{array}$ ，则被称为“理想数”的有(填相应的序号)．

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四、解答题

17. 已知集合 $A = {x | m - 4 < x \leq m + 4}$ ， $B = {x | - 1 < x \leq 5}$ .

(1)、 $m = 0$ 时，求 $A \cup B$ ， $(∁_{R} A) \cap B$

(2)、若 $B \subseteq A$ ，求m的取值范围.

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18. 已知p： $x^{2} - 2 x < 3$ ， q： $k - 2 \leq x \leq k + 5$ ，若p是q的充分不必要条件，求实数k的取值范围．

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19.

(1)、若 $x > 0$ ，求函数 $y = x + \frac{4}{x}$ 的最小值，并求此时 $x$ 的值；

(2)、已知 $a ， b \in (0 ， + \infty)$ ，比较 $\frac{a^{2}}{b} + \frac{b^{2}}{a}$ 与 $a + b$ 的大小.

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20. 已知函数 $g (x) = a x^{2} - 2 a x + 1 + b (a > 0)$ 在区间[2，3]上有最大值4和最小值1.

(1)、求a、b的值；

(2)、设 $f (x) = \frac{g (x)}{x - 2}$ ，若不等式 $f (x) - k > 0$ 在x∈ $(2 ， 5]$ 上恒成立，求实数 $k$ 的取值范围．

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21. 已知函数 $f (x) = 2 x - \frac{a}{x}$ ，且 $f (2) = \frac{9}{2}$ .

(1)、求实数 $a$ 的值并判断该函数的奇偶性；

(2)、判断函数 $f (x)$ 在（1，+∞）上的单调性并证明.

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22. 经检测，餐后4小时内，正常人身体内某微量元素在血液中的浓度 $y_{1}$ 与时间 $t$ 满足关系式： $y_{1} = 4 - t (0 \leq t \leq 4)$ ，服用药物 $N$ 后，药物中所含该微量元素在血液中的浓度 $y_{2}$ 与时间 $t$ 满足关系式： $y_{2} = {\begin{array}{l} \sqrt{t} ， 0 \leq t < 1 \\ 3 - \frac{2}{t} ， 1 \leq t \leq 4 \end{array}$ .现假定某患者餐后立刻服用药物 $N$ ，且血液中微量元素总浓度 $y$ 等于 $y_{1}$ 与 $y_{2}$ 的和.

(1)、求4小时内血液中微量元素总浓度 $y$ 的最高值；

(2)、若餐后4小时内血液中微量元素总浓度 $y$ 不低于4的累积时长不低于两小时，则认定该药物治疗有效，否则调整治疗方案.请你判断是否需要调整治疗方案.

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