福建省龙岩市六县一中联考2021-2022学年高一上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-08-22 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合M={（x，y）|x，y∈N^* ， x+y<3}，则M中元素的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、0

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2. 命题“ $\forall x \in R ， x^{2} + 1 > x$ ”的否定为（）

A、 $\forall x \in R ， x^{2} + 1 < x$ B、 $\forall x \in R ， x^{2} + 1 \leq x$ C、 $\exists x \in R ， x^{2} + 1 < x$ D、 $\exists x \in R ， x^{2} + 1 \leq x$

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3. 为安全燃放某种烟花，现收集到以下信息：
①此烟花导火索燃烧的速度是每秒0.6厘米；

②人跑开的速度为每秒4米；

③距离此烟花燃放点50米以外（含50米）为安全区.

为了使导火索燃尽时人能够跑到安全区，导火索的长度 $x$ （厘米）应满足的不等式为（）

A、 $4 \times \frac{x}{0.6} < 50$ B、 $4 \times \frac{x}{0.6} \geq 50$ C、 $4 \times \frac{x}{0.6} \leq 50$ D、 $4 \times \frac{x}{0.6} > 50$

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4. 已知 $a ， b \in R$ 且 $a > 0$ ，则“ $a > b$ ”是“ $\frac{b}{a} < 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件

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5. 已知a=0.6^0.6 ， b=0.6^1.6 ， c=1.6^0.6 ，则（）

A、a>b>c B、a>c>b C、c>b>a D、c>a>b

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6. 函数 $f (x) = \frac{x \cdot 2^{x}}{| x |} - x$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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7. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} - 4 a x + 5 a ， x \leq 1 \\ \frac{2 a}{x} ， x > 1 \end{array}$ 在 $R$ 上为减函数，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， \frac{1}{2}]$ C、 $[\frac{1}{2} ， 1]$ D、 $[\frac{1}{2} ， + \infty)$

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8. 已知函数 $f (x) = a^{x^{2} - 2 a x}$ （a>0，且a≠1），若对于任意 $x \in [- 2 ， - 1]$ ， $f (x) \leq a$ 恒成立，则a的取值范围是（）

A、（1，2） B、（0， $\frac{1}{2}$ ） C、（0，1） D、（1，+∞）

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二、多选题

9. 已知函数f（x）=xa的图象经过点（ $\frac{1}{2}$ ， 2），则（）

A、f（x）的图象经过点（2，4） B、f（x）的图象关于原点对称 C、f（x）在（0，+∞）上单调递增 D、f（x）在（0，+∞）内的值域为（0，+∞）

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10. 已知函数 $f (x) = x ， g (x) = \sqrt{x}$ ，则下列说法正确的是（）

A、函数 $y = \frac{1}{f (x)} + g (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递增 B、函数 $y = \frac{1}{f (x)} - g (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上单调逆减 C、函数 $y = f (x) + g (x)$ 的最小值为0 D、函数 $y = f (x) - g (x)$ 的最小值为 $- \frac{1}{4}$

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11. 已知x>0，y<0，且x+y=1，则（）

A、 $x^{2} - y^{2} < 0$ B、 $\frac{9}{x} + \frac{1}{y} \leq 4$ C、 $2^{x} - 2^{- y} > 1$ D、 $2^{x} + 2^{y} < 2^{- x} + 2^{- y}$

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12. 若函数 $f (x) = x | x - a |$ 在[0，2]上的最大值为2，则a的取值可以为（）

A、1 B、3 C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $4 \sqrt{2} - 4$

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三、填空题

13. 函数f（x）=a^1-x+2（a>0，且a≠1）的图象所过定点的坐标为.

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14. 若 $\sqrt[3]{a^{\frac{1}{3}} \sqrt{a}} = a^{m}$ （a>0），则m=.

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15. 国庆期间，高一某班31名学生去电影院观看了《长津湖》《我和我的父辈》《峰爆》这三部电影.其中有15人观看了《长津湖》，有14人观看了《我和我的父辈》，有11人观看了《峰爆》，没有人同时观看这三部电影，则仅观看了其中一部电影的共有人.

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16. 定义在R上的奇函数f（x）满足对任意的x₁ ， x₂ ，当x₁+x₂≠0时，都有 $\frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{x_{1} + x_{2}} < 0$ ，则不等式f（x+1）<f（x²-1）的解集为.

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四、解答题

17. 知集合 $A = {x ∣ x^{2} - 2 x - 3 < 0}$ ， $B = {x ∣ 5 - 2 x < 1}$ .

(1)、求 $A \cup B ， A \cap B$ ；

(2)、求 $∁_{R} (A \cap B)$ ， $(∁_{R} B) \cap A$ .

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18. 已知定义在R上的函数 $f (x) = \frac{a x + 1}{x^{2} + 1}$ 为偶函数.

(1)、求a的值；

(2)、判断 $f (x)$ 在 $[0 ， + ∞)$ 上的单调性，并用定义法证明.

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19. 已知命题 $p ： \forall x \in [1 ， 3] ， x^{2} + 2 x - a ⩾ 0$ ；命题 $q ： \exists x \in R ， x^{2} + a x + a + 3 = 0$ .

(1)、若命题p为真命题，求a的取值范围；

(2)、若命题p ， q一真一假，求a的取值范围.

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20. 已知函数 $f (x) = 2 \times 4^{x + 1} - a \cdot 2^{x} + 1$ .

(1)、若 $a = 6$ ，求不等式 $f (x) < 0$ 的解集；

(2)、若关于 $x$ 的方程 $f (x) = 0$ 有解，求 $a$ 的取值范围.

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21. 某企业为生产某种产品，每月需投入固定成本 $2$ 万元，每生产 $x$ 万件该产品，需另投入流动成本 $W (x)$ 万元，且 $W (x) = {\begin{array}{l} \frac{1}{3} x^{2} + x ， 0 < x < 9 \\ 5 x + \frac{81}{x} - 18 ， x \geq 9 \end{array}$ ，每件产品的售价为 $4.75$ 元，且该企业生产的产品当月能全部售完.

(1)、写出月利润 $L (x)$ （单位：万元）关于月产量 $x$ （单位：万件）的函数关系式；

(2)、试问当月产量为多少万件时，企业所获月利润最大？最大利润是多少？

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22. 已知函数 $f (x) = x^{2} - 4 x + m$ .

(1)、若 $f (x)$ 在[2，3]上的最大值为0，求m的值.

(2)、是否存在常数n，使得当x∈[n，4]时， $f (x)$ 的值域为区间D，且D的长度（定义区间[a，b]的长度为b-a）为2n-1？若存在，求出常数n；若不存在，请说明理由.

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