天津市五校2021-2022学年高三上学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2022-08-22 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知 $A = {x | x \leq 2$ 或 $x \geq 5}$ ， $B = {2 ， 3 ， 4 ， 5}$ ，则 $(∁_{R} A) \cap B =$ （）

A、{4} B、 ${2 ， 5}$ C、 ${3 ， 4}$ D、 ${2 ， 3 ， 4 ， 5}$

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2. “ $m = 2$ ”是“向量 $\vec{a} = (1 ， m)$ ， $\vec{b} = (m ， 4)$ ，则 $\vec{a} / / \vec{b}$ ”的（）条件

A、充分不必要 B、必要不充分 C、充要 D、既不充分也不必要

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3. 函数 $f (x) = \frac{\sin x \cdot \ln x^{2}}{x}$ 的图像可能是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 已知 $a = 2^{0.5}$ ， $b = \log_{2} \sqrt{3}$ ， $c = {0.5}^{- 2.1}$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系为（）．

A、 $c < b < a$ B、 $b < c < a$ C、 $b < a < c$ D、 $c < a < b$

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5. 已知函数 $f (x) = s i n (2 x - \frac{3 π}{4})$ ，下列说法正确的个数为（）
① $f (x)$ 的图象的一个对称中心为 $(\frac{π}{8} ， 0)$ ② $f (x)$ 的图象的一条对称轴为 $x = - \frac{3 π}{8}$ ③ $f (x)$ 的单调递增区间是 $[\frac{π}{8} + k π ， \frac{5 π}{8} + k π] ， k \in Z$ ④函数 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{5 π}{8}$ 个单位后得到的是一个奇函数的图象

A、1 B、2 C、3 D、4

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6. 如图所示， $Δ A B C$ 中，点D是线段 $B C$ 的中点，E是线段 $A D$ 的靠近A的三等分点，则 $\overset{⇀}{A C} =$ （）

A、 $\frac{4}{3} \overset{⇀}{A D} + \overset{⇀}{B E}$ B、 $\frac{5}{3} \overset{⇀}{A D} + \overset{⇀}{B E}$ C、 $\frac{4}{3} \overset{⇀}{A D} + \frac{1}{2} \overset{⇀}{B E}$ D、 $\frac{5}{3} \overset{⇀}{A D} + \frac{1}{2} \overset{⇀}{B E}$

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7. 等差数列 ${a_{n}}$ 的前11项和 $S_{11} = 44$ ，则 $a_{3} + a_{7} + a_{8} =$ （）

A、9 B、10 C、11 D、12

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8. 已知 $α$ ， $β$ 为锐角， $\tan α = 2$ ， $\cos β = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ，则 $\tan (α - 2 β) =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $- \frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{11}$ D、 $\frac{8}{11}$

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9. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} - a x + 2 ， x \geq a \\ | x + a | ， x < a \end{array}$ ，若对于任意正数 $k$ ，关于 $x$ 的方程 $f (x) = k$ 都恰有两个不相等的实数根，则满足条件的实数 $a$ 的个数为（）

A、0 B、1 C、2 D、无数

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二、填空题

10. 设复数 $z$ 满足 $i (z + 1) = - 3 + 2 i$ ，则 $\bar{z} =$ .

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11. $f (x) = s i n (π - 2 x) + \sqrt{3} s i n (\frac{π}{2} + 2 x)$ 在区间 $[- \frac{π}{6} ， \frac{π}{3}]$ 的值域是.

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12. 函数 $f (x) = l o g_{2} (x^{2} - 2 x - 3)$ 的单调递增区间是.

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13. 平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 中，已知 $\vec{a} = (4 ， - 3)$ ， $| \vec{b} | = 1$ ，且 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 5$ ，则向量 $\vec{b} =$ .

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14. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ， $a + b + c = 1$ ，则 $\frac{a^{2} + b^{2} + 2}{c - 1}$ 的最大值是．

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15. 在平面四边形 $A B C D$ 中， $A B ⊥ A D$ ， $∠ A B C = 6 0^{∘}$ ， $∠ B C D = 15 0^{∘}$ ， $\vec{A B} = 4 \vec{E B}$ ， $B C = \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ ， $A E = 2 \sqrt{3}$ ，当点 $M$ 为边 $C D$ 的中点时， $\vec{A M} \cdot \vec{E M}$ 的值为，若点 $M$ 为边 $C D$ 上的动点，则 $\vec{A M} \cdot \vec{E M}$ 的最小值为.

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三、解答题

16. 已知函数 $f (x) = \cos^{2} x + \sqrt{3} \sin x \cos x - \frac{1}{2} (x \in R)$

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、讨论 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{4} ， \frac{π}{4}]$ 上的单调性；

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17. 在 $△ A B C$ 中， $a ， b ， c$ 分别为内角 $A ， B ， C$ 的对边， $2 c \sin C = (2 a + b) \sin A + (2 b + a) \sin B$

(1)、求角 $C$ 的大小；

(2)、若 $c = 2 \sqrt{3} ， B = \frac{π}{4}$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，满足 $S_{n} + a_{n} = 1$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记 $b_{n} = \frac{a_{n}}{(a_{n} + 1) (a_{n + 1} + 1)}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ ， $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前n项和， $a_{n} > 0$ ， $a_{2} = 4 b_{1}$ ，若 $a_{1} = 2$ ， ${a_{n}}^{2} - a_{n} a_{n - 1} - 2 {a_{n - 1}}^{2} = 0 (n \geq 2)$ ，且 $n b_{n + 1} - (n + 1) b_{n} = n^{2} + n$ ， $n \in N^{*}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、证明 ${\frac{b_{n}}{n}}$ 为等差数列；

(3)、若数列 ${c_{n}}$ 的通项公式为 $c_{n} = {\begin{array}{l} - \frac{a_{n} b_{n}}{2} ， n 为奇数 \\ \frac{a_{n} b_{n}}{4} ， n 为偶数 \end{array}$ ，令 $T_{n}$ 为 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项的和，求 $T_{2 n}$ ．

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20. 已知 $a \in R$ ，函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - a x + 4 \ln (x + 1)$ .

(1)、当 $a = 0$ 时，求曲线 $f (x)$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x)$ 在区间 $(0 ， + \infty)$ 上存在两个不同的极值点.
①求 $a$ 的取值范围；

②若当 $x \geq 0$ 时恒有 $f (x) > t$ 成立，求实数 $t$ 的取值范围.

（参考数据： $\ln 2 \approx 0.69$ ， $\ln 3 \approx 1.10$ ）

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