天津市红桥区2021-2022学年高三上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-08-22 类型：期中考试

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一、单选题

1. 设全集 $U = {n \in N | 1 \leq n \leq 10}$ ， $A = {1 ， 2 ， 3 ， 5 ， 8}$ ， $B = {1 ， 3 ， 5 ， 7 ， 9}$ ，则 $(∁_{U} A) ∩ B =$ （）

A、 ${4 ， 6}$ B、 ${7 ， 9}$ C、 ${1 ， 3 ， 5}$ D、 $\emptyset$

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2. 设 $x \in R$ ，则“ $2 - x \leq 0$ ”是“ $| x - 1 | \geq 1$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 设函数 $f (x)$ 为奇函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = x^{2} - 2$ ，则 $f (f (1)) =$ （）

A、-1 B、-2 C、1 D、2

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4. 下列函数是偶函数且在 $(0 ， + ∞)$ 上单调递增的为（）

A、 $f (x) = x - \frac{1}{x}$ B、 $f (x) = e^{| x |}$ C、 $f (x) = \sqrt{x}$ D、 $f (x) = l n x$

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5. 在 $△ A B C$ 中，若 $a \cos C + c \cos A = b \sin B$ ，则此三角形为（）

A、等边三角形 B、等腰三角形 C、直角三角形 D、等腰直角三角形

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6. 已知函数f(x)＝sin(ωx＋ $\frac{π}{4}$ )(x∈R，ω>0)的最小正周期为π，为了得到函数g(x)＝cosωx的图象，只要将y＝f(x)的图象(　　)

A、向左平移 $\frac{π}{8}$ 个单位长度 B、向右平移 $\frac{π}{8}$ 个单位长度 C、向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度 D、向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度

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7. 某射手每次射击击中目标的概率是 $\frac{2}{3}$ ，则这名射手在3次射击中，至少有2次击中目标的概率为（）

A、 $\frac{4}{9}$ B、 $\frac{8}{27}$ C、 $\frac{19}{27}$ D、 $\frac{20}{27}$

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8. 以下关于 $f (x) = s i n 2 x - c o s 2 x$ 的命题，正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 在区间 $(0 ， \frac{2 π}{3})$ 上单调递增 B、直线 $x = \frac{3 π}{8}$ 是函数 $y = f (x)$ 图象的一条对称轴 C、点 $(\frac{π}{4} ， 0)$ 是函数 $y = f (x)$ 图象的一个对称中心 D、将函数 $y = f (x)$ 图象向右平移 $\frac{π}{8}$ 个单位，可得到 $y = \sqrt{2} s i n 2 x$ 的图象

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9. 已知函数 $f (x) = | \ln x |$ ， $g (x) = {\begin{matrix} 0 ， 0 < x \leq 1 \\ | x^{2} - 4 | ， x > 1 \end{matrix}$ ，若关于x的方程 $f (x) + m = g (x)$ 恰有三个不相等的实数解，则m的取值范围是（）

A、 $(- \ln 2 ， 0]$ B、 $[0 ， \ln 2)$ C、 $(- 2 - \ln 2 ， 0]$ D、 $[0 ， 2 + \ln 2)$

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二、填空题

10. 若 $i$ 是虚数单位，则 $\frac{1 + 2 i}{2 + i}$ 的虚部为.

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11. 函数f（x）=（x﹣3）e^x的单调递增区间是

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12. 已知函数 $f (x) = e^{x} - x^{2} - 1$ ， $x \in R$ ，则曲线 $y = f (x)$ 在 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程为.

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13. 在 ${(2 x^{2} - \frac{1}{x})}^{5}$ 的二项展开式中，x的系数为．（用数值作答）

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14. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b} = 4$ ，则 $a + 2 b$ 的最小值为.

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15. 在矩形ABCD中，边AB､AD的长分别为2､1，若M､N分别是边BC､CD上的点，且满足 $\frac{| \vec{B M} |}{| \vec{B C} |} = \frac{| \vec{C N} |}{| \vec{C D} |}$ ，则 $\vec{A M} \cdot \vec{A N}$ 的取值范围是.

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三、解答题

16. 在 $△ A B C$ 的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，已知 $s i n A ： s i n B ： s i n C = 2 ： 1 ： \sqrt{2}$ ， $b = \sqrt{2}$ .

(1)、求a的值；

(2)、求 $c o s C$ 的值；

(3)、求 $s i n (2 C + \frac{π}{6})$ 的值.

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17. 等比数列 ${a_{n}}$ 中，首项 $a_{1} = \frac{1}{3}$ ，公比 $q > 0$ ， $q \neq 1$ ，且 $a_{1}$ ， $5 a_{3}$ ， $9 a_{5}$ 成等差数列.

(1)、求： ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、令 $b_{n} = l o g_{3} \frac{1}{a_{n}}$ ，求数列 ${\frac{1}{b_{n} b_{n + 1}}}$ 前n项和为 $T_{n}$ .

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18. 已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} s i n x c o s x - 2 c o s^{2} x + 1$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期及单调递增区间；

(2)、在 $Δ A B C$ 中， $a ， b ， c$ 分别为角 $A ， B ， C$ 所对的边，若 $f (\frac{A}{2}) = 2 ， b = 1 ， c = 2$ ，求 $a$ 的值.

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 是等差数列，设 $S_{n} (n \in N *)$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，数列 ${b_{n}}$ 是等比数列， $b_{n} > 0$ ，若 $a_{1} = 3$ ， $b_{1} = 1$ ， $b_{3} + S_{2} = 12$ ， $a_{5} - 2 b_{2} = a_{3}$ ．
（Ⅰ）求数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；
（Ⅱ）求数列 ${a_{n} \cdot b_{n}}$ 的前n项和．

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20. 已知 $f (x) = x l n x$ ， $g (x) = - x^{2} + a x - 3$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、对一切 $x \in (0 ， + \infty)$ ， $2 f (x) \geq g (x)$ 恒成立，求实数a的取值范围；

(3)、证明：对一切 $x \in (0 ， + \infty)$ ，都有 $l n x > \frac{1}{e^{x}} - \frac{2}{e x}$ 成立.

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