天津市河西区2021-2022学年高三上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2022-08-22 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知全集 $U = {- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3}$ ，集合 $A = {- 1 ， 0 ， 1}$ ， $B = {- 1 ， 1 ， 2}$ ，则 $(∁_{U} A) ∪ (∁_{U} B) =$ （）

A、 ${- 1 ， 1}$ B、 ${- 2 ， 3}$ C、 ${- 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ D、 ${- 2 ， 0 ， 2 ， 3}$

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2. 命题“ $\forall x \in [- 2 ， + \infty)$ ， $x + 3 \geq 1$ ”的否定为（）

A、“ $\exists x_{0} \in [- 2 ， + \infty)$ ， $x_{0} + 3 < 1$ ” B、“ $\exists x_{0} \in [- 2 ， + \infty)$ ， $x_{0} + 3 \geq 1$ ” C、“ $\forall x \in [- 2 ， + \infty)$ ， $x + 3 > 1$ ” D、“ $\forall x \in [- 2 ， + \infty)$ ， $x + 3 < 1$ ”

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3. 命题 $p$ ：函数 $f (x) = x + \frac{2}{x}$ 的最小值为 $2 \sqrt{2}$ ，命题 $q$ ： $x > 0$ ，则 $p$ 是 $q$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 函数 $f (x) = \frac{3^{| x |} \cdot c o s 2 x}{x}$ 的部分图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 若 $α \in （ 0, \frac{π}{2})$ , $\tan 2 α = \frac{\cos α}{2 - \sin α}$ ，则 $\tan α =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{15}}{15}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{15}}{3}$

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6. 《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗．问：五人各得几何？”其大意为：有5个人分60个橘子，他们分得的橘子数成公差为3的等差数列，问5人各得多少个橘子？这个问题中，得到橘子最少的人所得的橘子个数是（）

A、3 B、6 C、9 D、12

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7. 定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ 在 $(- \infty ， 0)$ 上是增函数，若 $a = - f (l o g_{2} \frac{1}{5})$ ， $b = f (l o g_{2} 4.1)$ ， $c = f (2^{0.8})$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系为（）

A、 $c < b < a$ B、 $b < a < c$ C、 $c < a < b$ D、 $a < b < c$

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8. 函数 $f (x) = 1 n x + x^{2} -$ $b x + a (b > 0 ， a \in R)$ 的图像在点 $(b ， f (b))$ 处的切线斜率的最小值是（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、1 D、2

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9. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 3^{x - 1} + 1 ， (x \leq 1) \\ | l n (x - 1) | ， (x > 1) \end{array}$ ，若 $F (x) = f^{2} (x) - 2 a f (x) + \frac{4}{3}$ 的零点个数为4，则实数 $a$ 取值范围为（）

A、 $(\frac{\sqrt{6}}{3} ， \frac{5}{6}] ∪ (\frac{4}{3} ， + \infty)$ B、 $(\frac{\sqrt{6}}{3} ， \frac{5}{6}] ∪ (2 ， + \infty)$ C、 $[\frac{5}{6} ， 2)$ D、 $(\frac{4}{3} ， + \infty)$

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二、填空题

10. 集合 $A = {x | | x - 3 | < 1}$ ， $B = {x | 3 x - 7 \geq 8 - 2 x}$ ，则 $A ∩ B =$ .

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11. 记 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $a ： b ： c = 4 ： 5 ： 6$ ，则三个内角中最大角的余弦值为.

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12. 若2^a=5^b=10，则 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ = ．

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13. 已知 $5 x^{2} y^{2} + y^{4} = 1 (x, y \in R)$ ，则 $x^{2} + y^{2}$ 的最小值是．

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14. 已知函数 $f (x) = 2 \cos (ωx + φ)$ 的部分图像如图所示，则满足条件 $（ f (x) - f (- \frac{7 π}{4})) (f (x) - f (\frac{4 π}{3})) > 0$ 的最小正整数x为。

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15. 已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = - 1$ ， $a_{n} = 2 a_{n - 1} + 3$ ，则通项公式 $a_{n} =$ ；前 $n$ 项和 $S_{n} =$ .

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三、解答题

16. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ .已知 $a c o s C + \frac{1}{3} c = b$ .

(1)、求 $c o s A$ 的值；

(2)、求 $s i n (2 A - \frac{π}{3})$ 的值.

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17. 已知函数 $f (x) = \sin^{2} x - \sin^{2} (x - \frac{π}{6})$ ， $x \in R$
(I)求 $f (x)$ 最小正周期；

(II)求 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{3} ， \frac{π}{4}]$ 上的最大值和最小值.

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18. 已知函数 $f (x) = a x^{2} + (b - 2) x + 3$ （ $a \neq 0$ ）.

(1)、若不等式 $f (x) > 0$ 的解集为 $(- 1 ， 1)$ ，求 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、若 $f (1) = 2$ ，
（i） $a > 0$ ， $b > 0$ ，求 $\frac{1}{a} + \frac{4}{b}$ 的最小值；
（ii）若不等式 $f (x) < 1$ 在 $R$ 上的解集为空集，求实数 $a$ 的取值范围.

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19. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，数列 ${b_{n}}$ 是等比数列，满足 $a_{1} = 3$ ， $b_{1} = 1$ ， $b_{2} + S_{2} = 10$ ， $a_{5} - 2 b_{2} = a_{3}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 通项公式；

(2)、令 $c_{n} = {\begin{array}{l} \frac{2}{S_{n}} ， (n = 2 k - 1 ， k \in N^{+}) \\ a_{\frac{n}{2}} \cdot b_{\frac{n}{2}} ， (n = 2 k ， k \in N^{+}) \end{array}$ 设数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ，求 $T_{2 n}$ .

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20. 已知函数 $f (x) = \frac{a + l n x}{x}$ 在点 $(e ， f (e))$ 处的切线与直线 $e^{2} x - y + e = 0$ 垂直.

(1)、若函数 $f (x)$ 在区间 $(m ， m + 1)$ 上存在极值，求实数 $m$ 的取值范围；

(2)、求证：当 $x > 1$ 时， $\frac{f (x)}{e + 1} > \frac{2 e^{x - 1}}{(x + 1) (x e^{x} + 1)}$ .

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